第八章空間解析幾何與向量代數(shù)

第八章空間解析幾何與向量代數(shù)第1頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三一、向量概念二、向量的線性運(yùn)算三、空間直角坐標(biāo)系四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算五、向量的模、方向解、投影§8.1向量及其運(yùn)算第2頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又稱矢量).既有大小,又有方向的量稱為向量向徑(矢徑):自由向量:與起點(diǎn)無關(guān)的向量.起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量.單位向量:模為1的向量,零向量:模為0的向量,有向線段M1

M2,或a,第3頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三規(guī)定:零向量與任何向量平行

;若向量a與b大小相等,方向相同,則稱a與b相等,記作a＝b;若向量a與b方向相同或相反,則稱a與b平行,

a∥b;與a的模相同,但方向相反的向量稱為a的負(fù)向量,記作因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱兩向量共線.若k(≥3)個(gè)向量經(jīng)平移可移到同一平面上,則稱此k個(gè)向量共面.記作－a;第4頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三二、向量的線性運(yùn)算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運(yùn)算規(guī)律:交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加.第5頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三第6頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三2.向量的減法三角不等式第7頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三3.向量與數(shù)的乘法是一個(gè)數(shù),規(guī)定:可見與a

的乘積是一個(gè)新向量,記作總之:運(yùn)算律:結(jié)合律分配律因此第8頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三定理1.

設(shè)a為非零向量,則(為唯一實(shí)數(shù))a∥b．．OiPxx點(diǎn)P=

xi實(shí)數(shù)x軸上點(diǎn)P的坐標(biāo)為x的充分必要條件是

=xi直線上點(diǎn)的坐標(biāo)平面上點(diǎn)的坐標(biāo)OQpMxyij點(diǎn)M向量軸上點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y）的充分必要條件是

向量第9頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系.

坐標(biāo)原點(diǎn)

坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z軸(豎軸)過空間一定點(diǎn)o,

坐標(biāo)面

卦限(八個(gè))zox面1.空間直角坐標(biāo)系的基本概念Ⅰ第10頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三向徑在直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)軸上的點(diǎn)P,Q,R;坐標(biāo)面上的點(diǎn)A,B,C點(diǎn)

M特殊點(diǎn)的坐標(biāo):有序數(shù)組(稱為點(diǎn)M的坐標(biāo))原點(diǎn)O(0,0,0);第11頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三坐標(biāo)軸:坐標(biāo)面:第12頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三2.向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系下,設(shè)點(diǎn)M

則沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量.的坐標(biāo)為此式稱為向量r的坐標(biāo)分解式,任意向量r可用向徑OM表示.第13頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算設(shè)則平行向量對應(yīng)坐標(biāo)成比例:第14頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三例2.求解以向量為未知元的線性方程組解:

①②2×①－3×②,得代入②得第15頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三例3.

已知兩點(diǎn)在AB直線上求一點(diǎn)M,使解:設(shè)M的坐標(biāo)為如圖所示及實(shí)數(shù)得即第16頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三說明:

由得定比分點(diǎn)公式:點(diǎn)

M為AB的中點(diǎn),于是得中點(diǎn)公式:第17頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三五、向量的模、方向角、投影

1.向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點(diǎn)間的距離公式:對兩點(diǎn)與第18頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三例4.

求證以證:即為等腰三角形.的三角形是等腰三角形.為頂點(diǎn)第19頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三例5.

在z軸上求與兩點(diǎn)等距解:

設(shè)該點(diǎn)為解得故所求點(diǎn)為及思考:(1)如何求在

xoy

面上與A,B等距離之點(diǎn)的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B等距離之點(diǎn)的軌跡方程?離的點(diǎn).第20頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三提示:(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為利用得(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為利用得且例6.

已知兩點(diǎn)和解:求第21頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三2.方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量任取空間一點(diǎn)O,稱=∠AOB(0≤≤)為向量

的夾角.

類似可定義向量與軸,軸與軸的夾角.與三坐標(biāo)軸的夾角,,為其方向角.方向角的余弦稱為其方向余弦.

記作第22頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三方向余弦的性質(zhì):第23頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三例7.

已知兩點(diǎn)和的模、方向余弦和方向角.解:計(jì)算向量第24頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三例8.

設(shè)點(diǎn)A位于第一卦限,解:

已知角依次為求點(diǎn)A的坐標(biāo).則因點(diǎn)A在第一卦限,故于是故點(diǎn)A的坐標(biāo)為向徑