函數(shù)的最大值 與最小值

函數(shù)的最大值與最小值沙洲中學高二數(shù)學組孫衛(wèi)星編輯課件一、復習與引入1.當函數(shù)f(x)在x0處可導時,判別f(x0)是極大(小)值的方法是:

①如果在x0附近的左側右側,那么,f(x0)是極大值;

②如果在x0附近的左側右側,那么,f(x0)是極小值.2.導數(shù)為零的點是該點為極值點的必要條件,而不是充分條件.極值只能在導數(shù)為零的點取到.3.在某些問題中,往往關心的是函數(shù)在一個定義區(qū)間上,哪個值最大,哪個值最小,而不是極值.編輯課件二、新課——函數(shù)的最值xX2oaX3bx1y觀察右邊一個定義在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)y=f(x)的圖象.發(fā)現(xiàn)圖中____________是極小值，_________是極大值，在區(qū)間上的函數(shù)的最大值是______，最小值是_______。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)問題在于如果在沒有給出函數(shù)圖象的情況下，怎樣才能判斷出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？編輯課件設函數(shù)f(x)定義在[a,b]上,在(a,b)內可導,則求f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下：①:求y=f(x)在(a，b)內的極值(極大值與極小值);

②:將函數(shù)y=f(x)的各極值與f(a)、f(b)作比較,其中最大的一個為最大值,最小的一個為最小值.求函數(shù)的最值時,應注意以下幾點:(1)函數(shù)的極值是在局部范圍內討論問題,是一個局部概念,而函數(shù)的最值是對整個定義域而言,是在整體范圍內討論問題,是一個整體性的概念.(2)開區(qū)間(a,b)內的可導函數(shù)不一定有最值,但若有唯一的極值,則此極值必是函數(shù)的最值.編輯課件(3)函數(shù)在其定義域上的最大值與最小值至多各有一個,而函數(shù)的極值則可能不止一個,也可能沒有極值,并且極大值(極小值)不一定就是最大值(最小值),但除端點外在區(qū)間內部的最大值(或最小值),則一定是極大值(或極小值).(4)在解決實際應用問題中,如果函數(shù)在區(qū)間內只有一個極值點(這樣的函數(shù)稱為單峰函數(shù)),那么要根據實際意義判定是最大值還是最小值即可,不必再與端點的函數(shù)值進行比較.編輯課件三、例題選講例1:求函數(shù)y=x4-2x2+5在區(qū)間[-2,2]上的最大值與最小值.解:令,解得x=-1,0,1.當x變化時,的變化情況如下表:x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y’-0+0-0+y13↘4↗5↘4↗13從上表可知,最大值是13,最小值是4.編輯課件例2:求函數(shù)在區(qū)間[-1,3]上的最大值與最小值.解:令,得相應的函數(shù)值為:又f(x)在區(qū)間端點的函數(shù)值為:f(-1)=6,f(3)=0比較得,f(x)在點處取得最大值在點處取得最小值編輯課件延伸1:設,函數(shù)的最大值為1,最小值為,求常數(shù)a,b.解:令得x=0或a.當x變化時,,f(x)的變化情況如下表:x-1(-1,0)0(0,a)a(a,1)1f’(x)+0-0+f(x)-1-3a/2+b↗b↘-a3/2+b↗1-3a/2+b由表知,當x=0時,f(x)取得極大值b,而f(0)>f(a),f(0)>f(-1),f(1)>f(-1).故需比較f(1)與f(0)的大小.f(0)-f(1)=3a/2-1>0,所以f(x)的最大值為f(0)=b,故b=1.編輯課件又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/2<0,所以f(x)的最小值為f(-1)=-1-3a/2+b=-3a/2,所以練習1:求函數(shù)f(x)=2x3+3x2-12x+14在區(qū)間[-3,4]上的最大值和最小值.答案:最大值為f(4)=142,最小值為f(1)=7.編輯課件四、應用1.實際問題中的應用.在日常生活、生產和科研中,常常會遇到求函數(shù)的最大(小)值的問題.建立目標函數(shù),然后利用導數(shù)的方法求最值是求解這類問題常見的解題思路.在建立目標函數(shù)時,一定要注意確定函數(shù)的定義域.在實際問題中,有時會遇到函數(shù)在區(qū)間內只有一個點使的情形,如果函數(shù)在這個點有極大(小)值,那么不與端點值比較,也可以知道這就是最大(小)值.這里所說的也適用于開區(qū)間或無窮區(qū)間.滿足上述情況的函數(shù)我們稱之為“單峰函數(shù)”.編輯課件例1:在邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形,再把它的邊沿虛線折起(如圖),做成一個無蓋的方底箱子,箱底邊長為多少時,箱子的容積最大?最大容積是多少?解:設箱底邊長為x,則箱高h=(60-x)/2.箱子容積V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).令,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=16000.由題意可知,當x過小(接近0)或過大(接近60)時,箱子的容積很小,因此,16000是最大值.答:當x=40cm時,箱子容積最大,最大容積是16000cm3.編輯課件例2:圓柱形金屬飲料罐的容積一定時,它的高與底半徑應怎樣選取,才能使所用的材料最省?解:設圓柱的高為h,底半徑為r,則表面積S=2πrh+2πr2.由V=πr2h,得,則令,解得,從而,即h=2r.由于S(r)只有一個極值,所以它是最小值.答:當罐的高與底半徑相等時,所用的材料最省.編輯課件xy例1:如圖,在二次函數(shù)f(x)=4x-x2的圖象與x軸所圍成的圖形中有一個內接矩形ABCD,求這個矩形的最大面積.解:設B(x,0)(0<x<2),則A(x,4x-x2).從而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面積為:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).令,得所以當時,因此當點B為時,矩形的最大面積是編輯課件例2:已知x,y為正實數(shù),且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值.解:由x2-2x+4y2=0得:(x-1)2+4y2=1.設,由x,y為正實數(shù)得:設令,得又,又f(0)=f(π)=0,故當時,編輯課件例3:證明不等式:證:設則令,結合x>0得x=1.而0<x<1時,;x>1時,,所以x=1是f(x)的極小值點.所以當x=1時,f(x)取最小值f(1)=1.從而當x>0時,f(x)≥1恒成立,即:

成立.編輯課件五、小結1.求函數(shù)f(x)在[a,b]上的最值的步驟:(1)求f(x)在(a,b)內的極值;(2)將f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值.2.求函數(shù)的最值時,應注意以下幾點:(1)要正確區(qū)分極值與最值這兩個概念.(2)在(a,b)上可導的函數(shù)f(x)在(a,b)內未必有最大值