第四章平穩(wěn)時間序列模型預測

第四章平穩(wěn)時間序列模型預測1第1頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第一節(jié)預測準則稱為的預測值或的h步預測值怎樣選取預測函數呢？直觀的想法是所選取的預測函數應能夠使預測誤差盡可能的小。這就需要確定一種準則，使得依據這種準則能衡量采用某種預測函數所得的預測誤差比采用別的預測函數所得的預測誤差小。2第2頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三一、從幾何角度提出預測問題對在t+h的取值進行預測，我們所能利用的就是yt在t和以前時刻的取值

所提供的信息,也就是說是的函數，我們知道最簡單的函數是的線性函數，設為現在的問題是如何求出系數使得與最接近。3第3頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三

圖4.1在平面M上的投影從幾何圖形來看，離yt+h最近的是向量yt+h在平面M上的投影。4第4頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三二、求解正交投影基于直到時刻t的信息集對變量取值的預測記為，為獲得此預測必需指明相應的損失函數(lossfunction)。一個十分方便的結果是選取平方損失函數，即選取，使其均方誤差達到最小。容易知道，關于的條件期望是關于的最小均方誤差預測。這種預測具有許多優(yōu)良性質，但其計算比較復雜。在許多的實際應用問題，我們更感興趣于在的線性函數類中尋求的預測。5第5頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三例如時，可選取：

假定我們已求得之值，使得預測誤差與無關即有成立則稱(4.1)式為yt+1關于的線性投影。并記為

6第6頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三三、最小均方誤差預測設隨機序列適合一個ARMA模型，即在已知的條件下，很自然會考慮到的線性函數這是一種比較容易處理而在使用中最有廣泛意義的情形。作為一個好的預測值，應該滿足預測的誤差越小越好，于是問題轉化為求使與之間的誤差最小。使預報的均方誤差最小的稱為線性最小均方預測。7第7頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三綜上可得，yt+h的線性最小均方誤差預測為

稱(4.5)式為線性最小均方誤差預測的傳遞函數形式。我們知道這是可以實現的，因為一個系統(tǒng)的參數完全可以由其格林函數確定。預測的殘差為

預測誤差方差為8第8頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)ARMA模型預測前面我們對最小均方預測的基本原理進行了討論，所有的結論都是在平穩(wěn)的條件下得到的。下面我們求ARMA模型的最小均方預測。一、AR(p)模型的預測

考慮一個AR(2)模型其向前一步的預測為一步預測的誤差方差為9第9頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三向前二步的預測為注意到故二步的預測誤差的方差為10第10頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三更一般的情形，遵從AR(p)的序列滿足隨機差分方程由差分方程很容易得到AR(p)的最小均方誤差預測公式為再根據(4.9)式，AR(p)模型的遞推預報公式為：………………..11第11頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三

…………….由上式可以看出，AR(p)模型的最小均方預測公式比較簡單，只要知道這p個歷史值便可以得到任意步長的平穩(wěn)線性最小均方預測。正是因為AR模型的建模與預測的簡單性，所以它成為預測問題中應用得最為廣泛的時間序列模型。12第12頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三二、MA(q)模型的最小均方預測對于MA(q)模型我們可以得到預測值的遞推公式為分析預測公式(4.11)，可以看出MA模型的最佳預測具有以下兩個特點：(4.11)13第13頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三(1)MA(q)模型只能對未來進行q步預測，當h>q時，預測值為零(時間序列均值為零)；因此當模型階數較低時，MA模型只能進行短期預測；(2)MA模型預測中使用的，其數據需要的全部歷史數據迭代計算，并需要設的取值，由此可知這種處理比較繁瑣，有一定主觀性，故不便應用。14第14頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三設有MA(2)模型則有一步預測因而又由于，因此預測誤差的方差等于。對于前兩步預測易知預測誤差為預測誤差的方差為

15第15頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三類似可得三步預測的誤差為預測誤差的方差為與前三步預測相似，模型中已沒有記憶對前四步預測有幫助。這時的預測值已經是這個系統(tǒng)的均值。即有其預測誤差的方差為更一般的情況，對于一個MA(q)模型

h步預測公式為16第16頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三h步預測殘差的方差為三、ARMA(p,q)預測對于一個ARMA模型，仿照AR和MA模型同樣的步驟可以推得關于ARMA(p,q)模型的預測公式，

……………..17第17頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三

………………..分析上面的公式可知，ARMA(p,q)模型的最佳計算具有以下特點：

(1)當時，預測計算公式中包含了

…,這q個值，與MA模型的預測計算一樣，需要由迭代計算出，因此ARMA

模型的預測計算也非常繁瑣；

(2)當h<q時，預測計算中不包含MA部分，可由進行遞推計算；18第18頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三(3)當h>q時，如果把看成h的函數(記為)，則預測公式是一個關于的齊次差分方程；因此，如同AR模型的最佳預測一樣，也可以由齊次差分方程所確定。根據上面的分析可知，ARMA模型的最佳預測計算遠較AR模型復雜，同時其建模過程也是繁瑣的。19第19頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第三節(jié)案例分析【例4.1】基于批發(fā)價格指數的美國通貨膨脹研究批發(fā)價格指數(WholesalePriceIndex，簡記為WPI)是通貨膨脹測定指標的一種，它是根據大宗物資批發(fā)價格的加權平均價格編制而得的物價指數,反應不同時期生產資料和消費品批發(fā)價格的變動趨勢與幅度的相對數。包括在內的產品有原料、中間產品、最終產品與進出口品，但不包括各類勞務。批發(fā)價格是在商品進入零售，形成零售價格之前，有中間商或批發(fā)企業(yè)所訂，其水平決定于出廠價格或收購價格，對零售價格有決定性影響。

20第20頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三所以有經濟學家認為批發(fā)價格指數比消費物價指數具有更廣泛的物價變動代表性，為此我們搜集了1960年第1季度至1990第4季度美國的WPI指數進行研究，數據來源于美國勞工統(tǒng)計局網站/。從1960年第1季度至1990第4季度的WPI共有124個數據，使用EViews命令

PlotWPI

可得其水平序列圖如下21第21頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三圖4.2美國批發(fā)價格指數22第22頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三在EViews中雙擊WPI這個序列，點擊View\DescriptiveStatistics\HistogramandStats，則可以得到它基本描述統(tǒng)計特征圖4.3。23第23頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三從圖4.3可以得知，WPI的平均值是62.7742，最大值是116.2000，最小值是30.5000，標準差是30.2436，并且這是一個服從雙峰分布的變量。為了判斷時間序列模型的類型，我們要計算出自相關函數與偏相關函數值。在EViews中雙擊WPI這個序列，點擊View\Correlogram…，在彈出的對話框中選擇Level，然后點擊確定，可得WPI的自相關函數與偏相關函數圖4.424第24頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三

圖4.4WPI的自相關函數與偏相關函數圖雖然偏相關函數是截尾的，但自相關函數衰減很慢(幾乎不減少，所以不是拖尾的)，因此WPI是一個非平穩(wěn)序列。25第25頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三如果非要認為自相關函數是拖尾的，則照第三章的標準，模型應該是AR(1)的，使用命令LSWPIcAR(1)可得輸出輸出結果表4.126第26頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三從表4.1的最后一行的輸出結果“EstimatedARprocessisnonstationary”，可看出這個AR(1)過程是非平穩(wěn)的。所以下面我們依照博克斯－詹金斯方法的思路：原始序列不平穩(wěn)，但其差分序列可能是平穩(wěn)的。所以下面我們對WPI的差分序列建模。使用命令genrDwpi=D(WPI),生成WPI的差分序列。然后用命令PlotDwpi畫出Dwpi的差分圖形4.5。雙擊Dwpi這個序列,點擊View\Correlogram…，在彈出的對話框中選擇Level，然后點擊確定，可得WPI的自相關函數與偏相關函數圖4.627第27頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三圖4.5WPI的差分序列圖28第28頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三從圖4.5看出序列Dwpi是一個無趨勢的序列；從圖4.6可以看出序列Dwpi偏相關函數3階以后是截尾的，但自相關函數是拖尾的。因此序列Dwpi是一個平穩(wěn)序列，適合建立一個AR(3)的模型，使用命令LSDwpicAR(1)AR(2)AR(3)可得輸出輸出結果表4.2圖4.6Dwpi的自相關函數與偏相關函數圖

29第29頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三表4.2AR(3)模型的輸出結果30第30頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三從表4.2可以看出AR(2)的系數對應的p值較大，所以統(tǒng)計上不顯著。因此剔除AR(2)這一項以后，再對模型進行擬合可得表4.331第31頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三從表4.3可以看出，模型的三個參數都通過了t檢驗，所以這些變量選用是恰當的；且F統(tǒng)計量對應的p值較小，所以模型的整體擬合效果較好。在輸出結果視圖下，點擊View\ResidualsTests\Correlogram-Q-Statistic，可得模型殘差序列的自相關函數與偏相關函數圖4.732第32頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三因為Q(3)～Q(10)對應的p值都比0.05大，可以認為模型的殘差序列為白噪聲，這也說明模型的擬合效果比較好。所以最終模型為即由于變量差分后損失了很多信息，所以差分序列的模型的R2不可能很高。還需要注意的是對輸出結果解釋，根據Wold分解定理EViews的輸出格式表示的是：對序列(Dwpit-0.8280)建立剔除AR(2)這一項后的AR(3)模型，而不是對Dwpit建立AR(3)模型；33第33頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三輸出結果中的0.8280是Dwpit的均值，而不漂移項，它的經濟學含義是41年間的WPI的季度平均凈增值是0.8280。上述案例分析中描述統(tǒng)計量、自相關函數、偏相關函數和ARMA模型的估計也可以用R軟件來實現，下面我們給出相應的R程序。其中的中文是對下面各語句的文字說明，在運行中可以去掉。(讀取數據)WPI.dat=read.table("c:/WPI.txt",header=T)attach(WPI.dat)WPI34第34頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三(畫圖)plot(WPI,type="l")#畫線圖

hist(WPI)#畫直方圖

acf(WPI,type="correlation")#畫自相關函數圖

acf(WPI,type="partial")#畫偏相關函數圖

plot(diff(WPI),type="l")#畫差分序列Dwpi線圖

hist(diff(WPI))#畫差分序列Dwpi直方圖

acf(diff(WPI),type=“correlation)#畫差分序列

Dwpi自相關函數圖

acf(diff(WPI),type="partial")#畫差分序列Dwpi

偏相關函數圖35第35頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三(描述統(tǒng)計量)summary(WPI)#給出最小值、第一分位數、中位數、平均值、第三分位數、最大值

var(WPI)#給出方差

sd(WPI)#給出標準差(估計模型)arima(WPI,order=c(1,0,0),method=“CSS”)#對WPI擬合AR(1)模型

fit=arima(diff(WPI),order=c(3,0,0),method="CSS")#對差分序列Dwpi擬合AR(3)模型36第36頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三

resid=fit$residuals#給出AR(3)模型的殘差

Box.test(resid,lag=3,type=“Ljung-Box”)#給出Ljung–Box檢驗統(tǒng)計量，檢驗殘差是否還有自相關性本章小結1.預測是計量經濟分析的重要部分，對某些人來說也許是最重要的部分。預測是經濟與管理決策中最普遍且重要的一環(huán)，唯有把握未來，才能做出正確的決策。2.博克斯－詹金斯方法(Box-Jenkins)或者ARMA方法。這種方法的要點是：在“數據自己說話”的哲理指引下，著重于分析經濟時間序列本身的概37第37頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三率或隨機性質，而不在意于構造單一方程抑或聯立方程組模型。所以此方法和傳統(tǒng)的單一方程和聯立方程模型是相對立的。3.對于一個時間序列的預測，基本的博克斯－詹金斯策略如下：(1)首先檢驗序列的平穩(wěn)性，這可以通過自相關函數(ACF)與偏相關函數(PACF)或者通過以后學習的單位根檢驗來實現；(2)如果時間序列不平穩(wěn)，將它差分一次或多次以獲得平穩(wěn)性；(3)然后計算此時間序列的ACF和PACF，以判斷序列是純自回歸還是純移動平均的，或這二者的一種混合體；(4)然后估計此嘗試模型；38第38頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三

(5)分析嘗試模型的殘差，看它是