第四章平穩(wěn)時(shí)間序列模型預(yù)測(cè)

第四章平穩(wěn)時(shí)間序列模型預(yù)測(cè)1第1頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第一節(jié)預(yù)測(cè)準(zhǔn)則稱為的預(yù)測(cè)值或的h步預(yù)測(cè)值怎樣選取預(yù)測(cè)函數(shù)呢？直觀的想法是所選取的預(yù)測(cè)函數(shù)應(yīng)能夠使預(yù)測(cè)誤差盡可能的小。這就需要確定一種準(zhǔn)則，使得依據(jù)這種準(zhǔn)則能衡量采用某種預(yù)測(cè)函數(shù)所得的預(yù)測(cè)誤差比采用別的預(yù)測(cè)函數(shù)所得的預(yù)測(cè)誤差小。2第2頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三一、從幾何角度提出預(yù)測(cè)問題對(duì)在t+h的取值進(jìn)行預(yù)測(cè)，我們所能利用的就是yt在t和以前時(shí)刻的取值

所提供的信息,也就是說是的函數(shù)，我們知道最簡(jiǎn)單的函數(shù)是的線性函數(shù)，設(shè)為現(xiàn)在的問題是如何求出系數(shù)使得與最接近。3第3頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三

圖4.1在平面M上的投影從幾何圖形來看，離yt+h最近的是向量yt+h在平面M上的投影。4第4頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三二、求解正交投影基于直到時(shí)刻t的信息集對(duì)變量取值的預(yù)測(cè)記為，為獲得此預(yù)測(cè)必需指明相應(yīng)的損失函數(shù)(lossfunction)。一個(gè)十分方便的結(jié)果是選取平方損失函數(shù)，即選取，使其均方誤差達(dá)到最小。容易知道，關(guān)于的條件期望是關(guān)于的最小均方誤差預(yù)測(cè)。這種預(yù)測(cè)具有許多優(yōu)良性質(zhì)，但其計(jì)算比較復(fù)雜。在許多的實(shí)際應(yīng)用問題，我們更感興趣于在的線性函數(shù)類中尋求的預(yù)測(cè)。5第5頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三例如時(shí)，可選?。?/p>

假定我們已求得之值，使得預(yù)測(cè)誤差與無關(guān)即有成立則稱(4.1)式為yt+1關(guān)于的線性投影。并記為

6第6頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三三、最小均方誤差預(yù)測(cè)設(shè)隨機(jī)序列適合一個(gè)ARMA模型，即在已知的條件下，很自然會(huì)考慮到的線性函數(shù)這是一種比較容易處理而在使用中最有廣泛意義的情形。作為一個(gè)好的預(yù)測(cè)值，應(yīng)該滿足預(yù)測(cè)的誤差越小越好，于是問題轉(zhuǎn)化為求使與之間的誤差最小。使預(yù)報(bào)的均方誤差最小的稱為線性最小均方預(yù)測(cè)。7第7頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三綜上可得，yt+h的線性最小均方誤差預(yù)測(cè)為

稱(4.5)式為線性最小均方誤差預(yù)測(cè)的傳遞函數(shù)形式。我們知道這是可以實(shí)現(xiàn)的，因?yàn)橐粋€(gè)系統(tǒng)的參數(shù)完全可以由其格林函數(shù)確定。預(yù)測(cè)的殘差為

預(yù)測(cè)誤差方差為8第8頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)ARMA模型預(yù)測(cè)前面我們對(duì)最小均方預(yù)測(cè)的基本原理進(jìn)行了討論，所有的結(jié)論都是在平穩(wěn)的條件下得到的。下面我們求ARMA模型的最小均方預(yù)測(cè)。一、AR(p)模型的預(yù)測(cè)

考慮一個(gè)AR(2)模型其向前一步的預(yù)測(cè)為一步預(yù)測(cè)的誤差方差為9第9頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三向前二步的預(yù)測(cè)為注意到故二步的預(yù)測(cè)誤差的方差為10第10頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三更一般的情形，遵從AR(p)的序列滿足隨機(jī)差分方程由差分方程很容易得到AR(p)的最小均方誤差預(yù)測(cè)公式為再根據(jù)(4.9)式，AR(p)模型的遞推預(yù)報(bào)公式為：………………..11第11頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三

…………….由上式可以看出，AR(p)模型的最小均方預(yù)測(cè)公式比較簡(jiǎn)單，只要知道這p個(gè)歷史值便可以得到任意步長(zhǎng)的平穩(wěn)線性最小均方預(yù)測(cè)。正是因?yàn)锳R模型的建模與預(yù)測(cè)的簡(jiǎn)單性，所以它成為預(yù)測(cè)問題中應(yīng)用得最為廣泛的時(shí)間序列模型。12第12頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三二、MA(q)模型的最小均方預(yù)測(cè)對(duì)于MA(q)模型我們可以得到預(yù)測(cè)值的遞推公式為分析預(yù)測(cè)公式(4.11)，可以看出MA模型的最佳預(yù)測(cè)具有以下兩個(gè)特點(diǎn)：(4.11)13第13頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三(1)MA(q)模型只能對(duì)未來進(jìn)行q步預(yù)測(cè)，當(dāng)h>q時(shí)，預(yù)測(cè)值為零(時(shí)間序列均值為零)；因此當(dāng)模型階數(shù)較低時(shí)，MA模型只能進(jìn)行短期預(yù)測(cè)；(2)MA模型預(yù)測(cè)中使用的，其數(shù)據(jù)需要的全部歷史數(shù)據(jù)迭代計(jì)算，并需要設(shè)的取值，由此可知這種處理比較繁瑣，有一定主觀性，故不便應(yīng)用。14第14頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)有MA(2)模型則有一步預(yù)測(cè)因而又由于，因此預(yù)測(cè)誤差的方差等于。對(duì)于前兩步預(yù)測(cè)易知預(yù)測(cè)誤差為預(yù)測(cè)誤差的方差為

15第15頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三類似可得三步預(yù)測(cè)的誤差為預(yù)測(cè)誤差的方差為與前三步預(yù)測(cè)相似，模型中已沒有記憶對(duì)前四步預(yù)測(cè)有幫助。這時(shí)的預(yù)測(cè)值已經(jīng)是這個(gè)系統(tǒng)的均值。即有其預(yù)測(cè)誤差的方差為更一般的情況，對(duì)于一個(gè)MA(q)模型

h步預(yù)測(cè)公式為16第16頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三h步預(yù)測(cè)殘差的方差為三、ARMA(p,q)預(yù)測(cè)對(duì)于一個(gè)ARMA模型，仿照AR和MA模型同樣的步驟可以推得關(guān)于ARMA(p,q)模型的預(yù)測(cè)公式，

……………..17第17頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三

………………..分析上面的公式可知，ARMA(p,q)模型的最佳計(jì)算具有以下特點(diǎn)：

(1)當(dāng)時(shí)，預(yù)測(cè)計(jì)算公式中包含了

…,這q個(gè)值，與MA模型的預(yù)測(cè)計(jì)算一樣，需要由迭代計(jì)算出，因此ARMA

模型的預(yù)測(cè)計(jì)算也非常繁瑣；

(2)當(dāng)h<q時(shí)，預(yù)測(cè)計(jì)算中不包含MA部分，可由進(jìn)行遞推計(jì)算；18第18頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三(3)當(dāng)h>q時(shí)，如果把看成h的函數(shù)(記為)，則預(yù)測(cè)公式是一個(gè)關(guān)于的齊次差分方程；因此，如同AR模型的最佳預(yù)測(cè)一樣，也可以由齊次差分方程所確定。根據(jù)上面的分析可知，ARMA模型的最佳預(yù)測(cè)計(jì)算遠(yuǎn)較AR模型復(fù)雜，同時(shí)其建模過程也是繁瑣的。19第19頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第三節(jié)案例分析【例4.1】基于批發(fā)價(jià)格指數(shù)的美國通貨膨脹研究批發(fā)價(jià)格指數(shù)(WholesalePriceIndex，簡(jiǎn)記為WPI)是通貨膨脹測(cè)定指標(biāo)的一種，它是根據(jù)大宗物資批發(fā)價(jià)格的加權(quán)平均價(jià)格編制而得的物價(jià)指數(shù),反應(yīng)不同時(shí)期生產(chǎn)資料和消費(fèi)品批發(fā)價(jià)格的變動(dòng)趨勢(shì)與幅度的相對(duì)數(shù)。包括在內(nèi)的產(chǎn)品有原料、中間產(chǎn)品、最終產(chǎn)品與進(jìn)出口品，但不包括各類勞務(wù)。批發(fā)價(jià)格是在商品進(jìn)入零售，形成零售價(jià)格之前，有中間商或批發(fā)企業(yè)所訂，其水平?jīng)Q定于出廠價(jià)格或收購價(jià)格，對(duì)零售價(jià)格有決定性影響。

20第20頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三所以有經(jīng)濟(jì)學(xué)家認(rèn)為批發(fā)價(jià)格指數(shù)比消費(fèi)物價(jià)指數(shù)具有更廣泛的物價(jià)變動(dòng)代表性，為此我們搜集了1960年第1季度至1990第4季度美國的WPI指數(shù)進(jìn)行研究，數(shù)據(jù)來源于美國勞工統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站/。從1960年第1季度至1990第4季度的WPI共有124個(gè)數(shù)據(jù)，使用EViews命令

PlotWPI

可得其水平序列圖如下21第21頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三圖4.2美國批發(fā)價(jià)格指數(shù)22第22頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三在EViews中雙擊WPI這個(gè)序列，點(diǎn)擊View\DescriptiveStatistics\HistogramandStats，則可以得到它基本描述統(tǒng)計(jì)特征圖4.3。23第23頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三從圖4.3可以得知，WPI的平均值是62.7742，最大值是116.2000，最小值是30.5000，標(biāo)準(zhǔn)差是30.2436，并且這是一個(gè)服從雙峰分布的變量。為了判斷時(shí)間序列模型的類型，我們要計(jì)算出自相關(guān)函數(shù)與偏相關(guān)函數(shù)值。在EViews中雙擊WPI這個(gè)序列，點(diǎn)擊View\Correlogram…，在彈出的對(duì)話框中選擇Level，然后點(diǎn)擊確定，可得WPI的自相關(guān)函數(shù)與偏相關(guān)函數(shù)圖4.424第24頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三

圖4.4WPI的自相關(guān)函數(shù)與偏相關(guān)函數(shù)圖雖然偏相關(guān)函數(shù)是截尾的，但自相關(guān)函數(shù)衰減很慢(幾乎不減少，所以不是拖尾的)，因此WPI是一個(gè)非平穩(wěn)序列。25第25頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三如果非要認(rèn)為自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，則照第三章的標(biāo)準(zhǔn)，模型應(yīng)該是AR(1)的，使用命令LSWPIcAR(1)可得輸出輸出結(jié)果表4.126第26頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三從表4.1的最后一行的輸出結(jié)果“EstimatedARprocessisnonstationary”，可看出這個(gè)AR(1)過程是非平穩(wěn)的。所以下面我們依照博克斯－詹金斯方法的思路：原始序列不平穩(wěn)，但其差分序列可能是平穩(wěn)的。所以下面我們對(duì)WPI的差分序列建模。使用命令genrDwpi=D(WPI),生成WPI的差分序列。然后用命令PlotDwpi畫出Dwpi的差分圖形4.5。雙擊Dwpi這個(gè)序列,點(diǎn)擊View\Correlogram…，在彈出的對(duì)話框中選擇Level，然后點(diǎn)擊確定，可得WPI的自相關(guān)函數(shù)與偏相關(guān)函數(shù)圖4.627第27頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三圖4.5WPI的差分序列圖28第28頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三從圖4.5看出序列Dwpi是一個(gè)無趨勢(shì)的序列；從圖4.6可以看出序列Dwpi偏相關(guān)函數(shù)3階以后是截尾的，但自相關(guān)函數(shù)是拖尾的。因此序列Dwpi是一個(gè)平穩(wěn)序列，適合建立一個(gè)AR(3)的模型，使用命令LSDwpicAR(1)AR(2)AR(3)可得輸出輸出結(jié)果表4.2圖4.6Dwpi的自相關(guān)函數(shù)與偏相關(guān)函數(shù)圖

29第29頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三表4.2AR(3)模型的輸出結(jié)果30第30頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三從表4.2可以看出AR(2)的系數(shù)對(duì)應(yīng)的p值較大，所以統(tǒng)計(jì)上不顯著。因此剔除AR(2)這一項(xiàng)以后，再對(duì)模型進(jìn)行擬合可得表4.331第31頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三從表4.3可以看出，模型的三個(gè)參數(shù)都通過了t檢驗(yàn)，所以這些變量選用是恰當(dāng)?shù)?；且F統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)的p值較小，所以模型的整體擬合效果較好。在輸出結(jié)果視圖下，點(diǎn)擊View\ResidualsTests\Correlogram-Q-Statistic，可得模型殘差序列的自相關(guān)函數(shù)與偏相關(guān)函數(shù)圖4.732第32頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三因?yàn)镼(3)～Q(10)對(duì)應(yīng)的p值都比0.05大，可以認(rèn)為模型的殘差序列為白噪聲，這也說明模型的擬合效果比較好。所以最終模型為即由于變量差分后損失了很多信息，所以差分序列的模型的R2不可能很高。還需要注意的是對(duì)輸出結(jié)果解釋，根據(jù)Wold分解定理EViews的輸出格式表示的是：對(duì)序列(Dwpit-0.8280)建立剔除AR(2)這一項(xiàng)后的AR(3)模型，而不是對(duì)Dwpit建立AR(3)模型；33第33頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三輸出結(jié)果中的0.8280是Dwpit的均值，而不漂移項(xiàng)，它的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義是41年間的WPI的季度平均凈增值是0.8280。上述案例分析中描述統(tǒng)計(jì)量、自相關(guān)函數(shù)、偏相關(guān)函數(shù)和ARMA模型的估計(jì)也可以用R軟件來實(shí)現(xiàn)，下面我們給出相應(yīng)的R程序。其中的中文是對(duì)下面各語句的文字說明，在運(yùn)行中可以去掉。(讀取數(shù)據(jù))WPI.dat=read.table("c:/WPI.txt",header=T)attach(WPI.dat)WPI34第34頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三(畫圖)plot(WPI,type="l")#畫線圖

hist(WPI)#畫直方圖

acf(WPI,type="correlation")#畫自相關(guān)函數(shù)圖

acf(WPI,type="partial")#畫偏相關(guān)函數(shù)圖

plot(diff(WPI),type="l")#畫差分序列Dwpi線圖

hist(diff(WPI))#畫差分序列Dwpi直方圖

acf(diff(WPI),type=“correlation)#畫差分序列

Dwpi自相關(guān)函數(shù)圖

acf(diff(WPI),type="partial")#畫差分序列Dwpi

偏相關(guān)函數(shù)圖35第35頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三(描述統(tǒng)計(jì)量)summary(WPI)#給出最小值、第一分位數(shù)、中位數(shù)、平均值、第三分位數(shù)、最大值

var(WPI)#給出方差

sd(WPI)#給出標(biāo)準(zhǔn)差(估計(jì)模型)arima(WPI,order=c(1,0,0),method=“CSS”)#對(duì)WPI擬合AR(1)模型

fit=arima(diff(WPI),order=c(3,0,0),method="CSS")#對(duì)差分序列Dwpi擬合AR(3)模型36第36頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三

resid=fit$residuals#給出AR(3)模型的殘差

Box.test(resid,lag=3,type=“Ljung-Box”)#給出Ljung–Box檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，檢驗(yàn)殘差是否還有自相關(guān)性本章小結(jié)1.預(yù)測(cè)是計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析的重要部分，對(duì)某些人來說也許是最重要的部分。預(yù)測(cè)是經(jīng)濟(jì)與管理決策中最普遍且重要的一環(huán)，唯有把握未來，才能做出正確的決策。2.博克斯－詹金斯方法(Box-Jenkins)或者ARMA方法。這種方法的要點(diǎn)是：在“數(shù)據(jù)自己說話”的哲理指引下，著重于分析經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列本身的概37第37頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三率或隨機(jī)性質(zhì)，而不在意于構(gòu)造單一方程抑或聯(lián)立方程組模型。所以此方法和傳統(tǒng)的單一方程和聯(lián)立方程模型是相對(duì)立的。3.對(duì)于一個(gè)時(shí)間序列的預(yù)測(cè)，基本的博克斯－詹金斯策略如下：(1)首先檢驗(yàn)序列的平穩(wěn)性，這可以通過自相關(guān)函數(shù)(ACF)與偏相關(guān)函數(shù)(PACF)或者通過以后學(xué)習(xí)的單位根檢驗(yàn)來實(shí)現(xiàn)；(2)如果時(shí)間序列不平穩(wěn)，將它差分一次或多次以獲得平穩(wěn)性；(3)然后計(jì)算此時(shí)間序列的ACF和PACF，以判斷序列是純自回歸還是純移動(dòng)平均的，或這二者的一種混合體；(4)然后估計(jì)此嘗試模型；38第38頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三

(5)分析嘗試模型的殘差，看它是