第四章 線性離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述方法

第四章線性離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述方法1第1頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三計算機(jī)控制技術(shù)課程講義24.1.1Z變換的定義設(shè)連續(xù)信號f(t)的拉普拉斯變換為F(S),經(jīng)過采樣開關(guān)后的信號為f*(t)，采樣周期T，則：對其兩邊進(jìn)行拉氏變換：Z變換實質(zhì)上是拉普拉斯變換的一種推廣或變形，又稱為脈沖拉普拉斯變換、離散拉普拉斯變換第2頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三計算機(jī)控制技術(shù)課程講義3關(guān)于Z變換的幾點(diǎn)說明：1、只有離散信號f*(t)，才有Z變換。如下幾種簡述表達(dá)的是同一個事實：離散信號f*(t)的Z變換連續(xù)信號f(t)的Z變換拉氏變換F(s)的Z變換即：F(z)=Z[f*(t)]=Z[f(t)]=Z[F(s)]2、F(z)和f*(t)描述離散信號在各個采樣時刻的變化規(guī)律，與非采樣時刻的值無關(guān)。所以同一離散信號及其Z變換可以對應(yīng)不同的連續(xù)函數(shù)。3、和式中各項，f(kt)描述幅值，z描述時間。第3頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三計算機(jī)控制技術(shù)課程講義44.1.2典型時間信號的Z變換例4-1求單位階躍信號f(t)=1(t)的Z變換。例4-2求指數(shù)函數(shù)

f(t)=e-atZ變換。第4頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三計算機(jī)控制技術(shù)課程講義5常用函數(shù)的Z變換第5頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三計算機(jī)控制技術(shù)課程講義64.2Z變換的基本定理1、線性定理2、滯后定理（右偏移）3、超前定理（左偏移）4、初值定理5、終值定理6、復(fù)平移定理7、卷積定理第6頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三計算機(jī)控制技術(shù)課程講義71、線性定理設(shè)：則：函數(shù)線性組合的Z變換，等于各函數(shù)Z變換的線性組合。2、滯后定理設(shè)在k<0時連續(xù)函數(shù)f(k)的值為零，其Z變換為F（Z）則原函數(shù)在時域中延遲幾個采樣周期，相當(dāng)于在象函數(shù)上乘以z-n,算子z-n的含義可表示時域中時滯環(huán)節(jié)，把脈沖延遲k個周期。

第7頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三計算機(jī)控制技術(shù)課程講義83、超前定理設(shè)函數(shù)f(kT)的Z變換為F(Z),若k=0，1，…，(n-1)時，f（kT）為零，則有：滯后和超前定理統(tǒng)稱為平移定理，是差分方程Z變換求解的主要依據(jù)，這與用拉氏變換的微分定理解微分方程類似。4、初值定理設(shè)函數(shù)f(kT)的Z變換為F(Z),當(dāng)Z趨向無窮大時，則有：第8頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三計算機(jī)控制技術(shù)課程講義95、終值定理設(shè)函數(shù)f(kT)的Z變換為F(Z),則有：6、復(fù)平移定理經(jīng)常用于分析計算機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差??！第9頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三計算機(jī)控制技術(shù)課程講義107、卷積定理設(shè)函數(shù)f1(kT)，f2(kT)的Z變換分別為F1(Z),F2(Z),則有：時間域兩個離散時間序列f1(kT)，f2(kT)的離散卷積和等于Z域的乘積第10頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三計算機(jī)控制技術(shù)課程講義114.3Z反變換已知函數(shù)f(kT)的Z變換F(z)，求離散時間序列f(kT)的過程，稱為Z反變換，記為：常用求解方法：長除法、部分分式法、留數(shù)法。要點(diǎn)：將F（Z）用長除法變化為降冪排列的展開式。

第11頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三計算機(jī)控制技術(shù)課程講義12Z反變換為也即：例4-5

求的Z反變換解：第12頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三計算機(jī)控制技術(shù)課程講義13第13頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三計算機(jī)控制技術(shù)課程講義142.部分分式法（因式分解法，查表法）步驟：①先將變換式寫成，展開成部分分式，

③查Z變換表②兩端乘以Z第14頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三計算機(jī)控制技術(shù)課程講義15例4-6

求的Z反變換解：①②③查Z變換表有：第15頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三計算機(jī)控制技術(shù)課程講義164.4差分方程采樣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型用差分方程描述。差分方程表示出系統(tǒng)離散輸入與離散輸出之間的函數(shù)關(guān)系。差分方程由輸出序列y(k)，及其移位序列y(k-1)、y(k-2)、y(k-3)、……，以及輸入序列u(k)，及其移位序列u(k-1)、u(k-2)、u(k-3)、……，所構(gòu)成。（k=0,1,2,……）序列中k即kT，k=0T為研究開始時刻，kT可以理解為當(dāng)前時刻，而(k-1)T為前一采樣時刻。第16頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三計算機(jī)控制技術(shù)課程講義17差分方