第四章矩陣分析及矩陣函數(shù)

第四章矩陣分析及矩陣函數(shù)第1頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三4.1矩陣分析定義4.1.1令是的矩陣序列，假如存在一個的矩陣A，，即當(dāng)時，與無限制的靠近,則稱序列收斂到A,記為:4.1.1基本概念第2頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三矩陣序列收斂個一般序列收斂每一個矩陣表示成,并且.第3頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三定理4.1.1矩陣序列收斂于矩陣A的充分必要條件是對所有成立。第4頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三關(guān)于矩陣序列極限的性質(zhì)，考慮其中二個。

定理4.1.2令和是和矩陣，并且分別收斂到A和B,那么：第5頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三推論1

令是收斂于A的矩陣序列，分別是矩陣，那么第6頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三4.1.1.2矩陣級數(shù)假如其收斂到,記

則級數(shù),收斂到.定義4.1.2令是矩陣序列，構(gòu)造部分和序列第7頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三收斂，當(dāng)且僅當(dāng)矩陣序列

收斂，即當(dāng)且僅當(dāng)任給,存在，任意正整數(shù)只要都有定理4.1.3(Cauchy收斂準(zhǔn)則)第8頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三定理4.1.4若數(shù)項級數(shù)收斂，則矩陣級數(shù)收斂。

特別地，對于方陣，如果級數(shù)收斂，則矩陣冪級數(shù)收斂.第9頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三例4.1.2定理4.1.5

設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑是，則當(dāng)方陣的范數(shù)時，矩陣冪級數(shù)收斂。第10頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三4.1.2矩陣的微分和積分

4.1.2.1函數(shù)矩陣及其極限定義4.1.3如果矩陣的每一個元素都是變量的函數(shù)，則第11頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三定義4.1.4如果對任意，都有，則稱矩陣在時極限為。

第12頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三性質(zhì)1如果,以下性質(zhì)成立：（1）

若都是矩陣，則第13頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三（2）

若分別是和矩陣，則（3）

設(shè)是常數(shù)，則

第14頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三定義4.1.5

設(shè)函數(shù)矩陣中所有元素在處連續(xù)，則稱在處連續(xù)，如果所有元素在內(nèi)每一點連續(xù),稱在內(nèi)連續(xù)，如果在內(nèi)連續(xù)，并且所有的在點右連續(xù)，在點左連續(xù)，則稱在上連續(xù).第15頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三4.1.2.2函數(shù)矩陣的微分

定義4.1.6設(shè)函數(shù)矩陣中所有元素都在點或某區(qū)間內(nèi)可微，則稱矩陣在點或某區(qū)間內(nèi)是可微的,若可微，其導(dǎo)數(shù)如下：第16頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三同樣，的高階導(dǎo)數(shù)可以定義為類似于數(shù)量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)記法，可以將上式記成第17頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三性質(zhì)2設(shè)函數(shù)矩陣都可微(1)若為常數(shù)，則

（2）若與是同型矩陣，則

第18頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三(3)若是矩陣，是矩陣，則特別的，如果或是常數(shù)矩陣或,就有第19頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三4.1.3函數(shù)矩陣的積分

定義4.1.7如果矩陣的每個元素都是區(qū)間上的可積函數(shù)，則定義在上的積分為第20頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三性質(zhì)3若是上的可積函數(shù)矩陣，則

都是矩陣

；分別是和矩陣，并且與無關(guān).

第21頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三分別是和矩陣，并且與無關(guān)。

(4)當(dāng)對所有在上連續(xù)時，就稱在上連續(xù),且有

當(dāng)都在上連續(xù)時，則第22頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三4.1.2.4數(shù)量函數(shù)關(guān)于矩陣的微分在場論中，對數(shù)量函數(shù),定義梯度如

下：可以理解為函數(shù)對向量的導(dǎo)數(shù)。

第23頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三定義4.1.8設(shè)對有偏導(dǎo)數(shù)，定義對向量導(dǎo)數(shù)為對向量的導(dǎo)數(shù)為第24頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三一般地，假如對每個都有偏導(dǎo)數(shù)，則定義數(shù)量函數(shù)對矩陣的導(dǎo)數(shù)為

例4.1.5第25頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三4.2.1矩陣函數(shù)的定義及性質(zhì)4.2矩陣函數(shù)定義4.2.1設(shè)一元函數(shù)能夠展開為的冪函數(shù)

其中表示該冪級數(shù)的收斂半徑.第26頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三當(dāng)n階矩陣滿足時，把收斂的矩陣冪級數(shù)的和稱為矩陣函數(shù)，記為,即第27頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三如下函數(shù):在整個復(fù)平面上都是收斂的.

第28頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三于是矩陣冪級數(shù)

都是絕對收斂的。

第29頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三因此它們有和并且有分別稱以上三式是矩陣的指數(shù)函數(shù)，余弦函數(shù)和正弦函數(shù)。第30頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三定理4.2.1

對于方陣的函數(shù)容易驗證以下性質(zhì)：

第31頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三第32頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三值得注意的是，在微積分中，我們對指數(shù)函數(shù)有如下性質(zhì),但矩陣函數(shù)的第（3）條性質(zhì)中指出，這樣一條性質(zhì)必須有條件保證。否則，一般不成立。

第33頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三例如，令易證互不相等第34頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三4.2.2矩陣函數(shù)的計算

4.2.2.1待定系數(shù)法用待定系數(shù)法，計算矩陣函數(shù)是基于每個矩陣存在最小多項式的前提下進(jìn)行的，假設(shè)A∈的最小多項式是

（4.2.6）第35頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三多項式可以寫成，其中的次數(shù)低于的次數(shù)。由于有，所以。第36頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三另一方面，我們可以將A的最小多項式(4.2.6)寫成

(4.2.7)其中是A的互異的特征值第37頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三定義4.2.2在A的譜上確定:設(shè)A的最小多項式是，如(4.2.6)所示，如果復(fù)函數(shù)在A的譜上有下述確定的值。（4.2.8）稱在A的譜上確定，并稱(4.2.8)中的r個數(shù)為在A的譜上的值。第38頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三推論1

每個復(fù)多項式在任何的譜上確定。

第39頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三例4.2.1例4.2.2例4.2.3例4.2.4定理4.2.2設(shè)和是兩個復(fù)多項式，兩者的次數(shù)和系數(shù)均可以不同,，則的充分必要條件是和在A的譜上的值完全相同。

第40頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三4.2.2.2利用Jordan標(biāo)準(zhǔn)形計算矩陣函數(shù)

實際過程中，可以將無窮級數(shù)求和的問題化為多項式求和問題。第41頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三假設(shè)矩陣A的最小多項式是

則有第42頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三當(dāng)時，可降為低于的冪次，矩陣多項式問題冪級數(shù)定義的矩陣函數(shù)問題計算的關(guān)鍵：計算。第43頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三下面分A是不同情況進(jìn)行討論

(1)A是對角矩陣設(shè)則第44頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三(2)A是對角形分塊矩陣

其中為A的子方陣

第45頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三由于分塊矩陣的乘積與矩陣乘積類似故對于上述分塊矩陣A，有第46頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三(3)A為一般矩陣時的計算方法

存在方陣使得，因此

。若第47頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三則其中是的重特征根

第48頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三則第49頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三且矩陣A的函數(shù)可化為A的Jordan塊的函數(shù)問題；的函數(shù)；計算實質(zhì)上是計算的Jordan塊下面來具體計算Jordan塊的函數(shù)。第50頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)則于是（4.2.9）第51頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三首先觀察

第52頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三第53頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三為了計算，將展開成Taylor級數(shù)

（4.2.10）第54頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三由代入(4.2.10)得到

（4.2.11）當(dāng)時，.于是(4.2.10)可以寫成

（4.2.12）第55頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三將(4.2.12)寫成矩陣形式

（4.2.12）第56頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三例4.2.5例4.2.6第57頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三4.3.1線性常系數(shù)齊次微分方程的初值問題

關(guān)于n個獨立的函數(shù)的線性常系數(shù)微分方程組可以表示成下面(4.3.1)形式。4.3線性常系數(shù)微分方程第58頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三（4.3.1）系數(shù)是常數(shù)，(4.3.1)滿足初值條件

第59頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三利用矩陣乘法，把(4.3.1)寫成以下形式

（4.3.2）第60頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三其中稱(4.3.2)是一階線性常系數(shù)微分方程組的初值問題。第61頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三4.3.1.1一階線性常系數(shù)齊次微分方程的初值問題

在(4.3.2)中，假設(shè)已知的向量，即(4.3.2)變?yōu)椋?.3.3）稱(4.3.3)是一階線性常系數(shù)齊次微分方程組初值問題.

第62頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三下面來考慮(4.3.3)的解首先，將變量在處展成冪級數(shù)形式

：其中第63頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三由方程(4.3.3)得到（4.3.4）從而有第64頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三下面我們來證明(4.3.4)確實是(4.3.3)的解當(dāng)時,式(4.3.4)是(4.3.3)的解。第65頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三（1）(4.3.3)的解是，并且這個解唯一；（2）解的秩與的取值無關(guān)。定理4.3.1在初值問題(4.3.3)中：第66頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三4.3.1.2齊次方程解的討論在工程上要求，對任意的及初值初值問題(4.3.5)的解具有性質(zhì)第67頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三定理4.3.2對任意的和，初值問題

的解滿足的充分必要條件是矩陣的特征值都有負(fù)的實部。

第68頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三定義4.3.1所有特征值都有負(fù)實部的矩陣稱為穩(wěn)定矩陣

。例4.3.2

推論1對任意的和，初值問題(4.3.5)的解滿足的充要條件是A是穩(wěn)定矩陣。

第69頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三4.3.2一階線性常系數(shù)非齊次微分方程初值問題

考慮，即一階常系數(shù)非齊次微分方程(4.3.2)的解。

第70頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三常系數(shù)線性方程

解的問題，假設(shè)是它的一個特解，是它的一般解，那么有定理保證是它對應(yīng)的齊次方程的解，這個解的特性在初值問題(4.3.2)中同樣適用。第71頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三易驗證即是微分方程的一般解

令（4.3.8）第72頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三為確定特解，用常向量變易法，設(shè)，其中是待定向量，將(4.3.8)代入方程(4.3.2)，得到

第73頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三于是有化簡后，得第74頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三(4.3.2)的一般解是

（4.3.9）(4.3.2)的初值點變?yōu)闀r，即

（4.3.10）第75頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三(4.3.10)的解為

例4.3.3第76頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三4.3.3n階常系數(shù)微分方程的解

設(shè)為常數(shù)，為已知函數(shù)，稱

為n階常系數(shù)微分方程，當(dāng)時稱為非齊次的，否則稱為齊次的.第77頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三下面考慮n階常系數(shù)線性齊次方程的初值問題

（4.3.11）第78頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三令第79頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三從而有第80頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三令第81頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三初值問題(4.3.11)可以寫成

（4.3.12）第82頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三其中系數(shù)矩陣A稱為(4.3.11)方程的友矩陣。

第83頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三由于初值問題(4.3.11)的解是(4.3.12)解的第一個分量，從而(4.3.11)的解是

第84頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三對于n階常系數(shù)線性非齊次方程的初值問題

(4.3.13)第85頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三可以進(jìn)行類似討論，得到(4.3.13)的解是方程組的解的第一個分量.第86頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三其中第87頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三第88頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三(4.3.13)初值問題的解是

因此，求初值問題解的關(guān)鍵在于計算矩陣函數(shù)。第89頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三4.3.4微分方程實例

工程系統(tǒng)中得動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)是系統(tǒng)的最小一組變量（稱為狀態(tài)變量）.就是描述狀態(tài)變量的函數(shù),如果知道了在時變量的初值,并且還知道對r個輸入（或控制）變量,則在時系統(tǒng)的狀態(tài)就完全確定，系統(tǒng)的輸出變量可以是某一個狀態(tài)變量，它們是描述人們希望從系統(tǒng)中獲得的響應(yīng)。

第90頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三以n個變量為軸組成的空間叫n維狀態(tài)空間.設(shè)稱為系統(tǒng)的狀態(tài)向量設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程是狀態(tài)向量的一階微分方程第91頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三對線性定常系統(tǒng)其狀態(tài)方程為

或都是常數(shù)矩陣，其中

（4.3.15）第92頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三例4.3.4k圖4.3.1第93頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三圖4.3.2第94頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三4.4.1.Wronski行列式與線性無關(guān)解

4.1.1.1函數(shù)元矩陣的連續(xù)

4.4變系數(shù)微分方程組設(shè)n維實向量其中如果在帶形區(qū)域

上連續(xù)則稱在D上連續(xù).

（4.4.1）第95頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三定理4.4.1考慮微分方程組

(4.4.2)其中,,均為n維實列向量，和為已知.

第96頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三如果在(4.4.1)的帶形區(qū)域D上連續(xù)，且存在一個常數(shù)L，使式中‖·‖是上的任意范數(shù)，則對任給的和初值問題(4.4.2)存在連續(xù)可微的解，且解唯一.

第97頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三推論1設(shè)分別為階，階和階實矩陣它們都在上連續(xù)，則對于任意給定的，,微分方程組的初值問題

(4.4.4)存在連續(xù)可微解，且解唯一。

第98頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三推論2設(shè)n階實方陣在區(qū)間上連續(xù)，則對任意指定的初值問題

（4.4.5）的唯一解是.第99頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三4.4.1.2wronski行列式與線性無關(guān)解定義4.4.1.設(shè)是定義在區(qū)間上的n維向量函數(shù),其中第100頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三如果存在不全為0的r個常數(shù)使等式

成立，則稱向量函數(shù)線性相關(guān)，否則稱線性無關(guān).第101頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三定義4.4.2設(shè)有n個定義在區(qū)間上的n維向量函數(shù)

(4.4.7)由這n個向量函數(shù)構(gòu)成的行列式記為.第102頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三稱為這n個向量函數(shù)的Wronski行列式

第103頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三定理4.4.2

若n個n維向量函數(shù)在區(qū)間上線性相關(guān)，則它們的wronski行列式第104頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三4.4.2齊次變系數(shù)線性微分方程組的解

4.4.2.1齊次變系數(shù)線性微分方程解的性質(zhì)

考慮區(qū)間上齊次變系數(shù)線性微分方程組

的解，其中是上的連續(xù)n階實方陣.

(4.4.10)第105頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三其中每一個滿足方程

于是尋找S的基，就成為解（4.4.10）的關(guān)鍵。(4.4.10)的解空間為第106頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三定理4.4.3設(shè)n階實方陣在上連續(xù)，如果(4.4.10)的n個解在上線性無關(guān)，則它們的Wronski行列式在上恒不為0，即關(guān)鍵

第107頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三推論3設(shè)是在上連續(xù)的n階實方陣，是方程(4.4.10)在上的n個解，如果這n個解線性相關(guān)，則其行列式恒等于0，如果這n個解線性無關(guān)，則其行列式恒不為0。

第108頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三推論4

在推論3的條件下，若對某個使得則這n個解線性無關(guān).第109頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三4.4.2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣及其性質(zhì)

將時的初始向量分別記為時，該問題的解記為和,則可知初始向量為，解為第110頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三另一方面，是n維向量，可以取n個線性無關(guān)初始向量為是的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基。第111頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三(1)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的概念設(shè)：是區(qū)間上n階連續(xù)實方陣，

是n維列向量。第112頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三定義4.4.3以初值問題的解作為第j列所組成的n階方陣

稱為的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，或?qū)?yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。（4.4.15）（4.4.16）第113頁，共125頁，2023年，2月20日，星期三定理4.4.4

初值問題

的解可以用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣唯一表示為

（4.4.17）第