第四章平穩(wěn)過程

1、嚴(yán)平穩(wěn)過程設(shè)隨機(jī)過程若對(duì)于任意的n和任意的有則稱為嚴(yán)平穩(wěn)過程。由定義可知嚴(yán)平穩(wěn)過程的一維分布與t無關(guān)，即二維分布函數(shù)滿足4.1平穩(wěn)過程的概念5/5/20231第1頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三若嚴(yán)平穩(wěn)過程存在二階矩，則有（常數(shù)）同理2、寬平穩(wěn)過程設(shè)二階矩過程滿足：即嚴(yán)平穩(wěn)過程的二維分布僅于時(shí)間差有關(guān)，與起始點(diǎn)無關(guān).4.1平穩(wěn)過程的概念5/5/20232第2頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三顯然，一個(gè)嚴(yán)平穩(wěn)過程如果存在二階矩，則必為寬平穩(wěn)過程。以后平穩(wěn)過程均指寬平穩(wěn)過程。解:所以,具有平穩(wěn)性,稱其為平穩(wěn)隨機(jī)序列。試討論平穩(wěn)性.例1、設(shè)是不相關(guān)的隨機(jī)變量序列，且（1）（常數(shù)）（2）則稱為寬平穩(wěn)過程。4.1平穩(wěn)過程的概念5/5/20233第3頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三例2、設(shè)在上均勻分布，試討論其平穩(wěn)性。解：為常數(shù)，4.1平穩(wěn)過程的概念5/5/20234第4頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三1、相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)則設(shè)是平穩(wěn)過程，其相關(guān)函數(shù)為(1)(2)(3)(4)具有非負(fù)定性，即及復(fù)數(shù)有4.2平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)5/5/20235第5頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三（2)(3)證明：(1)4.2平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)5/5/20236第6頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三(4)由相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)可知：（1）若是實(shí)平穩(wěn)過程，則其相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)，即（2）設(shè)是平穩(wěn)過程,則其協(xié)方差函數(shù)滿足:4.2平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)5/5/20237第7頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三2、若則稱為周期平穩(wěn)過程，使得上式成立的最小正數(shù)T為過程的周期。周期平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)也為周期函數(shù)，且其周期同過程的周期。證明：3、由二階矩過程的均方微積分的有關(guān)結(jié)論可得（1）平穩(wěn)過程均方連續(xù)的充要條件為在處連續(xù)。（2）平穩(wěn)過程均方可導(dǎo)的充要條件為在處一階、二階導(dǎo)數(shù)都存在。4.2平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)5/5/20238第8頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三（3）若平穩(wěn)過程均方可導(dǎo)，則其導(dǎo)數(shù)過程仍為平穩(wěn)過程，且4、聯(lián)合平穩(wěn)過程的互相關(guān)函數(shù)及其性質(zhì)記（2）的性質(zhì)1）特別，當(dāng)為聯(lián)合平穩(wěn)的實(shí)過程時(shí)，（1）定義：設(shè)為兩個(gè)平穩(wěn)過程，則稱這兩個(gè)過程為聯(lián)合平穩(wěn)過程。若對(duì)于任意4.2平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)5/5/20239第9頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三2）對(duì)任意的復(fù)常數(shù)也是平穩(wěn)過程，且它們的互相關(guān)函數(shù)滿足：3）證明：1）4.2平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)5/5/202310第10頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三同理可得4.3平穩(wěn)過程的各態(tài)歷經(jīng)性5/5/202311第11頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三1、各態(tài)歷經(jīng)概念設(shè)是平穩(wěn)隨機(jī)過程，其數(shù)學(xué)期望函數(shù)與相關(guān)函數(shù)怎樣通過試驗(yàn)近似地確定？作n次試驗(yàn)，得樣本函數(shù)對(duì)于固定的由大數(shù)定律，n必須很大，難以實(shí)現(xiàn)。由于平穩(wěn)過程的統(tǒng)計(jì)特征不隨時(shí)間而變，能否以一個(gè)樣本函數(shù)去近似計(jì)算過程的數(shù)字特征呢？下面引入各態(tài)歷經(jīng)概念。4.3平穩(wěn)過程的各態(tài)歷經(jīng)性5/5/202312第12頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三(1)時(shí)間平均與時(shí)間相關(guān)函數(shù)設(shè)是平穩(wěn)過程，稱1)為平穩(wěn)過程在的時(shí)間平均。2)為平穩(wěn)過程在的時(shí)間相關(guān)函數(shù)。(2)設(shè)是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程,若則稱該過程的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性;2)則稱該過程的相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性;4.3平穩(wěn)過程的各態(tài)歷經(jīng)性5/5/202313第13頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三3)均值與相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性,則稱該過程為各態(tài)歷經(jīng)過程。例3、設(shè)其中是常數(shù)，在上均勻分布，試討論其各態(tài)歷經(jīng)性。解：可以求出=04.3平穩(wěn)過程的各態(tài)歷經(jīng)性5/5/202314第14頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三所以，原過程的相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性。于是該過程為各態(tài)歷經(jīng)過程。2、各態(tài)歷經(jīng)性的判定定理（1）均值各態(tài)歷經(jīng)定理設(shè)是平穩(wěn)過程，則其均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件為4.3平穩(wěn)過程的各態(tài)歷經(jīng)性5/5/202315第15頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三證明：為了計(jì)算上述積分，作變量替換令4.3平穩(wěn)過程的各態(tài)歷經(jīng)性5/5/202316第16頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三又所以4.3平穩(wěn)過程的各態(tài)歷經(jīng)性5/5/202317第17頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三由充要條件知：只須若是實(shí)平穩(wěn)過程，其相關(guān)函數(shù)為偶函數(shù)，則均值各態(tài)歷經(jīng)的充要條件為設(shè)是平穩(wěn)過程，如果則的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性。(2)相關(guān)函數(shù)的各態(tài)歷經(jīng)定理由于令有4.3平穩(wěn)過程的各態(tài)歷經(jīng)性5/5/202318第18頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三若是平穩(wěn)過程,則于是,的相關(guān)函數(shù)的各態(tài)歷經(jīng)性轉(zhuǎn)化為的均值的各態(tài)歷經(jīng)性判定,所以實(shí)際應(yīng)用中通常定義平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件為4.3平穩(wěn)過程的各態(tài)歷經(jīng)性5/5/202319第19頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三例4、設(shè)平穩(wěn)過程的協(xié)方差函數(shù)滿足則該過程的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性。證明：所以從而，該過程的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性。3、各態(tài)歷經(jīng)性的應(yīng)用設(shè)是具有各態(tài)歷經(jīng)性的平穩(wěn)過程，即4.3平穩(wěn)過程的各態(tài)歷經(jīng)性5/5/202320第20頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三這就從理論上保證可以認(rèn)為由試驗(yàn)得到的樣本函數(shù)由確定均值和相關(guān)函數(shù)，有或或設(shè)為實(shí)過程，將[0,T]N等分，于是稱為采樣點(diǎn),取N足夠大，足夠小。4.3平穩(wěn)過程的各態(tài)歷經(jīng)性5/5/202321第21頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三令4.3平穩(wěn)過程的各態(tài)歷經(jīng)性5/5/202322第22頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三1、相關(guān)函數(shù)的譜分解(1)維勒—辛欽定理是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，則其相關(guān)函數(shù)設(shè)可表示為其中是上非負(fù)、有界、單調(diào)不減、右連續(xù)函數(shù)，且證明：若則此時(shí)即為所求。若令連續(xù)、非負(fù)定且4.4平穩(wěn)過程的譜密度5/5/202323第23頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三于是，必為某隨機(jī)變量的特征函數(shù)，從而存在分布函數(shù)使得即得即為所求。(2)定義稱為平穩(wěn)過程的譜函數(shù),稱為平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的譜展開式。4.4平穩(wěn)過程的譜密度5/5/202324第24頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三如果存在非負(fù)函數(shù)使得則稱為隨機(jī)過程的譜密度。(3)譜密度與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系表明是互為富氏變換對(duì)。例5、設(shè)是平穩(wěn)過程，其相關(guān)函數(shù)為其中是正數(shù)，求其譜密度與譜函數(shù)。設(shè)均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，且絕對(duì)可積，則即4.4平穩(wěn)過程的譜密度5/5/202325第25頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三解：試證明例6、設(shè)F(x)是任意單調(diào)不減、右連續(xù)的有界函數(shù)，且又設(shè)X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X以為其分布函數(shù)，Y在上均勻分布。對(duì)令是均值為0的平穩(wěn)過程，且F(x）為其譜函數(shù)。4.4平穩(wěn)過程的譜密度5/5/202326第26頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三證明：設(shè)F(x,y)為(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù),分別為X,Y的分布函數(shù)，因?yàn)?/p>

=04.4平穩(wěn)過程的譜密度5/5/202327第27頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三因此，是平穩(wěn)過程，且F(x)為其譜函數(shù)。2、譜密度的物理意義設(shè)x(t)為一確定性功率信號(hào)，由“信號(hào)與系統(tǒng)”可知：x(t)在頻率處的功率譜密度為設(shè)是平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)，如果絕對(duì)可積，則4.4平穩(wěn)過程的譜密度5/5/202328第28頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三證明：可得類似于各態(tài)歷經(jīng)性定理的證明令故這就是功率譜密度的物理意義。3、譜密度的性質(zhì)和計(jì)算4.4平穩(wěn)過程的譜密度5/5/202329第29頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三(1)(2)若(4)設(shè)為兩個(gè)正交的平穩(wěn)過程(即設(shè)為平穩(wěn)過程譜密度，則為實(shí)值非負(fù)函數(shù);為實(shí)值平穩(wěn)過程,則(3)則的譜密度為例7、若平穩(wěn)過程X(t)的譜函數(shù)對(duì)某a滿足則X(t)是任意n次均方可微的。證明：因?yàn)?.4平穩(wěn)過程的譜密度5/5/202330第30頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三由可知是任意n次可微分的。若不是絕對(duì)可積，則譜函數(shù)不存在。下面引進(jìn)函數(shù)，推廣譜密度的概念。稱為沖擊函數(shù)（廣義函數(shù)）。若連續(xù)，則有證明：令4.4平穩(wěn)過程的譜密度5/5/202331第31頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三則有于是有例8、設(shè)平穩(wěn)過程X的相關(guān)函數(shù)為求其譜密度。解：4.4平穩(wěn)過程的譜密度5/5/202332第32頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三4、互譜密度及其性質(zhì)(1)互譜密度的定義絕對(duì)可積,即設(shè)是聯(lián)合平穩(wěn)過程的互相關(guān)函數(shù),如果則稱為聯(lián)合平穩(wěn)過程的互譜密度。(2)互譜密度的性質(zhì)1）2）是一對(duì)Fourier變換，即4.4平穩(wěn)過程的譜密度5/5/202333第33頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三3)若X,Y為實(shí)過程,則的實(shí)部是偶部是奇函數(shù)；4)5)函數(shù),虛4.4平穩(wěn)過程的譜密度5/5/202334第34頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三1、線性時(shí)不變系統(tǒng)概念Lx(t)y(t)y(t)=L[x(t)],稱L為系統(tǒng)，也稱L為算子。若系統(tǒng)L滿足：(1)其中為常數(shù),則稱L為線性系統(tǒng);(2)則稱L為線性時(shí)不變系統(tǒng);滿足(1)和(2)的系統(tǒng),稱為線性時(shí)不變系統(tǒng)。4.5線性系統(tǒng)中的平穩(wěn)過程5/5/202335第35頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)L為線性時(shí)不變系統(tǒng)，為一列信號(hào)，若當(dāng)時(shí)有則稱L為保持連續(xù)性的時(shí)不變系統(tǒng)。2、線性時(shí)不變系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)與頻率響應(yīng)函數(shù)(1)頻率響應(yīng)函數(shù)設(shè)系統(tǒng)L為線性時(shí)不變系統(tǒng)，輸入為輸出為稱脈沖響應(yīng)函數(shù)。連續(xù)點(diǎn)時(shí)，有由為性質(zhì)知，當(dāng)4.5線性系統(tǒng)中的平穩(wěn)過程5/5/202336第36頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)系統(tǒng)輸入為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)為則系統(tǒng)的輸出為證明：(2)頻率響應(yīng)函數(shù)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)的傅氏變換，稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)，記作即4.5線性系統(tǒng)中的平穩(wěn)過程5/5/202337第37頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三由于兩端作傅氏變換，得其中設(shè)系統(tǒng)的輸入為則系統(tǒng)的輸出為為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。其中4.5線性系統(tǒng)中的平穩(wěn)過程5/5/202338第38頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三證明：例8、如圖所示R-C電路，試求頻率響應(yīng)函數(shù)。RC解：右圖系統(tǒng)的方程為令代入得解之得4.5線性系統(tǒng)中的平穩(wěn)過程5/5/202339第39頁，共44頁，2023年，2月20日，星期三3、線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)隨機(jī)輸入的響應(yīng)變系統(tǒng)，其脈沖響應(yīng)和頻率響應(yīng)函數(shù)分別為且滿足