第四節(jié)無窮小與無窮大

第四節(jié)無窮小與無窮大1第1頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三【無窮小產(chǎn)生的背景——第二次數(shù)學(xué)危機(jī)】芝諾提出的四個著名的悖論：第一個悖論是說運(yùn)動不存在，理由是運(yùn)動物體到達(dá)目的地之前必須到達(dá)半路，而到達(dá)半路之前又必須到達(dá)半路的半路……如此下去，它必須通過無限多個點，這在有限長時間之內(nèi)是無法辦到的。第二個悖論是跑得很快的阿希里趕不上在他前面的烏龜。因為烏龜在他前面時，他必須首先到達(dá)烏龜?shù)钠瘘c，然后用第一個悖論的邏輯，烏龜總在他的前面。這兩個悖論是反對空間、時間無限可分的觀點的2第2頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三第四個悖論是游行隊伍悖論，內(nèi)容大體相似第三個悖論是說“飛矢不動”，因為在某一時間間隔，飛矢總是在某個空間間隔中確定的位置上，因而是靜止的。這兩個悖論是反對空間、時間由不可分的間隔組成這說明希臘人已經(jīng)看到“無窮小”與“很小很小”的矛盾。當(dāng)然他們無法解決這些矛盾。十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)思想的確是不嚴(yán)密的、直觀的、強(qiáng)調(diào)形式的計算，而不管基礎(chǔ)的可靠與否，其中特別是：沒有清楚的無窮小概念，因此導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念不清楚；對無窮大的概念也不清楚；發(fā)散級數(shù)求和的任意性；符號使用的不嚴(yán)格性；不考慮連續(xù)性就進(jìn)行微分，不考慮導(dǎo)數(shù)及積分的存在性以及可否展成冪級數(shù)等等。例如以求速度為例，瞬時速度是Δs/Δt當(dāng)Δt趨向于零時的值。Δt是零、是很小的量，還是什么東西？這個無窮小量究竟是不是零？這引起了極大的爭論，從而引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。3第3頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三一直到十九世紀(jì)二十年代，一些數(shù)學(xué)家才開始比較關(guān)注于微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ)。它們從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里克萊等人的工作開始，最終由威爾斯特拉斯、戴德金和康托爾徹底完成，中間經(jīng)歷了半個多世紀(jì)，基本上解決了矛盾，為數(shù)學(xué)分析奠定了一個嚴(yán)格的基礎(chǔ)。波爾查諾不僅承認(rèn)無窮小數(shù)和無窮大數(shù)的存在，而且給出了連續(xù)性的正確定義。柯西在1821年的《代數(shù)分析教程》中從定義變量開始，認(rèn)識到函數(shù)不一定要有解析表達(dá)式。他抓住了極限的概念，指出無窮小量和無窮大量都不是固定的量而是變量，并定義了導(dǎo)數(shù)和積分；阿貝爾指出要嚴(yán)格限制濫用級數(shù)展開及求和；狄里克萊給出了函數(shù)的現(xiàn)代定義。在這些數(shù)學(xué)工作的基礎(chǔ)上，維爾斯特拉斯消除了其中不確切的地方，給出現(xiàn)在通用的ε-δ的極限、連續(xù)定義，并把導(dǎo)數(shù)、積分等概念都嚴(yán)格地建立在極限的基礎(chǔ)上，從而克服了危機(jī)和矛盾。十九世紀(jì)七十年代初，威爾斯特拉斯、戴德金、康托爾等人獨立地建立了實數(shù)理論，而且在實數(shù)理論的基礎(chǔ)上，建立起極限論的基本定理，從而使數(shù)學(xué)分析終于建立在實數(shù)理論的嚴(yán)格基礎(chǔ)之上了。4第4頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三一、無窮小1.【直觀定義】極限為零的變量稱為無窮小5第5頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三【例如】【注意】（1）無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;（2）零是可以作為無窮小的唯一的常數(shù).（3）說一個量是無窮小，必須指明其變化過程6第6頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三2.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:【證】【定理1】時,有對自變量的其它變化過程類似可證.7第7頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三【意義】（1）將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);?！R稱《無窮小分析》【補(bǔ)例】寫成其極限值與一個無窮小之和的形式.【解】故f(x)能寫成其極限值與一個無窮小之和.8第8頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三二、無窮大1.【直觀定義】絕對值無限增大的變量稱為無窮大的

x,總有則稱函數(shù)當(dāng)時為無窮大,使對一切滿足不等式①(或正數(shù)X),記作【精確定義2】

設(shè)f(x)在內(nèi)有定義（或|x|大于某一正數(shù)時有定義）,若任給

M>0,總存在9第9頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三【特殊情形】正無窮大+∞，負(fù)無窮大－∞．【注意】(1)無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;

常數(shù)中不存在無窮大.(3)無窮大是一種特殊的無界變量,而無界變量未必是無窮大，但它至少有一個無窮大子列(2)若上述定義中將①式改為則記作10第10頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三【無窮大】【無界量】【比喻】［無窮大］某過程中，組織紀(jì)律性強(qiáng)，某時刻后，步調(diào)一致地向無窮遠(yuǎn)跑.［無界量］某范圍內(nèi)的某過程中，較自由、散漫，有的向無窮遠(yuǎn)跑，有的掉隊，有的原地踏步不動，行動不一致.無窮大必?zé)o界，但無界未必是無窮大.【兩者區(qū)別與聯(lián)系】11第11頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三由此可知不是無窮大．有無窮大子列，故無界.【例如】不是無窮大.12第12頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三【證】【例1】13第13頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三2.【鉛直漸近線】(1)［鉛直漸近線］【例如】是函數(shù)的鉛直漸近線。(2)［水平漸近線］(3)［小結(jié)求漸近線］14第14頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三【例2】【解】15第15頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三三、無窮小與無窮大的關(guān)系【定理2】在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.【證】【分析】注意到由無窮大定義16第16頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.由無窮小定義【意義】17第17頁，共20頁，2023年，2月20日，星期三四、小結(jié)1.主要內(nèi)容:兩個定義;兩個定理.鉛直漸近線2.幾點注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的.（1）無窮?。ù螅┦亲兞?不能與很小00000（大）的數(shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；（2）無窮大必?zé)o界；無界