高考數(shù)學(xué)（真題+模擬新題分類匯編）數(shù)列文

數(shù)列

D1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法

15.DI,D512013?湖南卷］時(shí)于E=｛a,a2,--aiw｝的子集X=｛aii,ai2,aij,

定義X的"特征數(shù)列"為Xi,x2,-??>Xioo,其中xii=xi2="*=xik=l,其余項(xiàng)均為0.例如:

子集｛az,aj的“特征數(shù)列”為0,1,1,0,0,…，O

⑴子集｛a“a”aj的“特征數(shù)列”的前3項(xiàng)和等于.；

⑵若E的子集P的"特征數(shù)列"p”p2,???,pioo滿足pi=l,Pi+pi+i=l,lWiW99；E

的子集Q的''特征數(shù)列"q“qz，…，q皿滿足卬=1，q」+qj+i+q,+2=l,lWjW98,則PCQ

的元素個(gè)數(shù)為.

15.217［解析］(1)由特征數(shù)列的定義可知，子集｛a“a3)as｝的“特征數(shù)列”為1,

0,1,0,1,0-,0,故可知前三項(xiàng)和為2.

⑵根據(jù)“E的子集P的“特征數(shù)列"p?pz,…，p⑼滿足a=LPi+pi+1=l,lWiW99”

可知子集P的“特征數(shù)列”為1,0,1,0,…，1,0.即奇數(shù)項(xiàng)為1,偶數(shù)項(xiàng)為0.根據(jù)“E的

子集Q的“特征數(shù)列”q“qz,…，qwo滿足q=l,q+q*+qj+2=l,lWjW98”可知子集Q

的“特征數(shù)列為1,0,0,1,0,0,0,1.即項(xiàng)數(shù)除以3后的余數(shù)為1的項(xiàng)為1,其余項(xiàng)

為0,則PCQ的元素為項(xiàng)數(shù)除以6余數(shù)為1的項(xiàng)，可知有a"a”al3,???,a9；,共17項(xiàng).

4.DI［2013?遼寧卷］下面是關(guān)于公差d>0的等差數(shù)列｛an｝的四個(gè)命題：

pu數(shù)列｛a,｝是遞增數(shù)列；p2：數(shù)列｛naj是遞增數(shù)列；P3：數(shù)列\(zhòng)是遞增數(shù)列；p,：數(shù)列

｛a“+3nd｝是遞增數(shù)列.

其中的真命題為()

A.pi,p2B.P3，pi

C.P2,P3D.Pi,P.|

4.D［解析］因?yàn)閿?shù)列｛&J為d>0的數(shù)列，所以是遞增數(shù)列，則必為真命題.而數(shù)

列｛an+3nd｝也是遞增數(shù)列，所以pi為真命題，故選D.

D2等差數(shù)列及等有效期數(shù)列前n項(xiàng)和

19.D2,D4E2013-安徽卷］設(shè)數(shù)列瓜｝滿足④=2,a2+at=8,且對(duì)任意n￡N",函數(shù)f(x)

=(an—an+i+an+2)x+an+icosx—an+2sinx滿足f'(V=°?

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

(2)若bn=2|a?+y-\求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Sn.

19.解：(1)由題設(shè)可得，f'(x)=an—an+i+an+2—an+isinx—an+2cosx.

z

對(duì)任意n￡N*,fan+i+an+2—an+i=0,即an+i—an=an+2—am,故｛aj為等差數(shù)

列.

由ai=2,a2+a.i=8,解得｛aj的公差d=l,

所以an=2+l?(n—1)=n+l.

⑵由f+E+l=2n+*+2知,

■t__n

n(n+1)221

S?=bi+b2d---Fbu=2n+2?---------+---7-=n2^+3n+l—r;.

乙1乙

7.D2［2013?安徽卷］設(shè)/為等差數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和,S8=4a3,a7=-2,則-=()

A.-6B.-4C.-2D.2

7.A［解析］設(shè)公差為d,則8ai+28d=4ai+8d,即ai=-5d,a7=ai+6d=-5d+6d

=d=-2,所以a9=a7+2d=-6.

20.M2,D2,D3,D5［2013?北京卷］給定數(shù)列al，a2,???，an,對(duì)i=l,2,???，n-1,

該數(shù)列前i項(xiàng)的最大值記為A,后n—i項(xiàng)ai+i,a+2,…，形的最小值記為B”di=Ai-Bi.

⑴設(shè)數(shù)列｛aj為3,4,7,1,寫(xiě)出d”d2,d3的值;

⑵設(shè)ai,a2,an(n24)是公比大于1的等比數(shù)列，且ai>0.證明：di,dz,…，dn-i

是等比數(shù)列；

⑶設(shè)di,dz,…，dn-i是公差大于0的等差數(shù)列，且di>0,證明：a”@2,…，a一是等

差數(shù)列.

20.解：(l)di=2,d2=3,d3=6.

(2)證明：因?yàn)閲?gt;0,公比q〉l,

所以a”&，???,既是遞增數(shù)列.

因此，對(duì)7=1,2,…，n—1,Ai=ai,Bi=ai+i.

于是對(duì)i=l,2,???,n—1,

1-1

di=Ai-Bi=ai—ai+i=ai(1—q)q.

Q.1.

因此diWO且1一=q(i=l,2,…，n—2),

di

BPd?d2,…，di是等比數(shù)列.

(3)證明：設(shè)d為d”d2,d-的公差.

對(duì)lWiWn-2,因?yàn)閐>0,所以Ai+i=B++di+i2Bi+di+d>Bi+di=Ai.

又因?yàn)锳i+i=max｛A"ai+J,所以ai+尸Ai+i〉A(chǔ)i2ai.

從而a1，a2,--?,a1是遞增數(shù)列，因此Ai=aMi=l,2,—,n—1).

又因?yàn)锽i=Ai-di=ai-dKai,所以BKaKa?<…〈a1.

因此3n=Bl.

所以Bi=B2=---=Bn-i=afl.

所以ai=Ai=Bi+di=an+di.

因此對(duì)i=l,2,…，n—2都有用+i—ai=di+i—di=d,

BPau&,…，aI是等差數(shù)列.

17.D2、D4［2013?全國(guó)卷］等差數(shù)列｛aj中,a7=4,a19=2a9.

(1)求⑸｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)b.=’，求數(shù)列限｝的前n項(xiàng)和Sz

nan

17.解：(1)設(shè)等差數(shù)列EJ的公差為d,

則an=ai+(n—l)d.

a7=4,|ai+6d=4,

因?yàn)樗?/p>

ai9=2a9,[ai+18d=2(ai+8d),

解得a1=Ld=：.

所以E｝的通項(xiàng)公式為a.=*.

i922

(2)因?yàn)閎“=——=—所以

na?n(n+1)nn+1

2n

=n+T-

17.D2,D3[2013?福建卷]已知等差數(shù)列｛aj的公差d=l,前n項(xiàng)和為S?.

(1)若1,a?as成等比數(shù)列，求a“

(2)若S5>aia9,求a的取值范圍.

17.解:(1)因?yàn)閿?shù)列凡｝的公差d=l,

且1,a”a,成等比數(shù)列，所以a；=lX(ad2),

即ai—a,—2=0,解得ai—1或ai=2.

(2)因?yàn)閿?shù)列｛aj的公差d=l,且S5>ala9.

所以5a1+10>ai+8a1,

即aj+3al—10<0>解得一5<a)<2,

17.D2,D3[2013?新課標(biāo)全國(guó)卷H]已知等差數(shù)列｛aj的公差不為零，ai=25,且a”

a“，出3成等比數(shù)列.

(1)求｛a.｝的通項(xiàng)公式；

(2)求ai+ai+a?-!---Fa3rl-2.

17.解：(1)設(shè)｛aj的公差為d.由題意,aii=aiai3>

即(ai+10d)2=ai(ai+12d),

于是d(2a,+25d)=0.

又ai=25,所以d=0(舍去)，d=-2.

故a?=—2n+27.

(2)令S“=ai+a<i+a7H---Fa311T.

由(1)知a3-=-6n+31,故展1｝是首項(xiàng)為25,公差為一6的等差數(shù)列.從而

S?=^(ai+a3?-2)

=￡(—6n+56)

——3n2+28n.

20.D2[2013?山東卷]設(shè)等差數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為Sn,且S4=4Sz,a2?=2a?+l.

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛bn｝滿足燈+b4---F2=1-J,ndN*,求(b)的前n項(xiàng)和T、

aia2an2

20.解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛a“｝的首項(xiàng)為a“公差為d.

由S.1—4S2,a2n=2&1+1得

4ai+6d=8ai+4d,

a1+(2n—1)d=2ai+2(n—1)d+1.

解得ai=l,d=2.

因此an=2n—1,nGN*.

(2)由已知包?十包H----1—J,nGN*,

31323n2

當(dāng)n=l時(shí)，-=!；

ai2

當(dāng)心2時(shí),*19_(1一制/

所以neN*.

Sn2

2n—1

由⑴知an=2n—1,nGN*,所以bn=-5一,n^N*.

又Tn=^+堤+/+…+專工

2n—3.2n—1

2n

兩式相減得

2n+3

所以T“=3

17.D2[2013?陜西卷]設(shè)S”表示數(shù)列｛&｝的前n項(xiàng)和.

(1)若｛aj是等差數(shù)列，推導(dǎo)S”的計(jì)算公式；

(2)若揶=1,q#0,且對(duì)所有正整數(shù)n,有權(quán)=尸.判斷｛aj是否為等比數(shù)列，并證明

1—q

你的結(jié)論.

17.解：(1)方法一：設(shè)｛aj的公差為d,則

,,,

S?=ai+a2++afl

=ai+(ai+d)4----1[&+(n-l)d],

又Stl=an+(an-d)H----1-[a?—(n—1)d],

/.2Sn=n(ai+an),

.n(ai+a?)

?*On-2?

方法二：設(shè)｛a,,｝的公差為d,則

**

Sn=ai+a2+*+an

=ai+(ai+d)+,,?+[ai+(n—l)d],

又Sn=an+an-H----Fai

=[ai+(n-1)d]+[a,i+(n-2)d]+…+a]，

，2Sn=[2ai+(n—1)d]+[2ai+(n—1)d]+???+[2ai+(n—1)d]

=2nai+n(n—l)d,

.q.n(n-1)

..Sn=nai+---------d.

⑵{aj是等比數(shù)列.證明如下：

_]_(j(l_q)_?

1—q1—q1—q聯(lián)

n

Vai=1,qNO,，當(dāng)nel時(shí)，有^~~-=~^i=q.

anq

因此，｛a“｝是首項(xiàng)為1且公比為q的等比數(shù)列.

16.D2,D3E2013?四川卷]在等比數(shù)列｛a.｝中，a2-at=2,且2a2為3。和比的等差中項(xiàng),

求數(shù)列｛a,,｝的首項(xiàng)、公比及前n項(xiàng)和.

16.解：設(shè)該數(shù)列的公比為q,由已知，可得

2

ay—a1=2,4aiq=3a1+a1q,

所以，a,(q—1)=2,q2—4q+3=0,解得q=3或q=l.

由于aKq-1)=2,因此q=l不合題意，應(yīng)舍去.

故公比q=3,首項(xiàng)ai=l.

n

所以，數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=Z3y—-.1

17.D2、D4E2013?新課標(biāo)全國(guó)卷I]已知等差數(shù)列⑸｝的前n項(xiàng)和S?滿足$3=0,S6=-

5.

(1)求｛a0｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列1―1—)的前n項(xiàng)和.

[32n-13211+1J

17.解：(1)設(shè)｛&J的公差為d,則Sn=g+°(丁)d

]3ai+3d=0,

由已知可得1,「解得ai=l,d=-I.

l5ai+l0d=—5,

故｛an｝的通項(xiàng)公式為a?=2—n.

a2n-ia2n+i(3—2n)(1—2n)2\2n—32n—1/

數(shù)歹[a一2n-i~a2一n+ij1的前n項(xiàng)和為；2(\一—1\一1:+；1-；3-1----k2nJ—「3J2n—)1=711—'2n.

19.D2[2013?浙江卷]在公差為d的等差數(shù)列{卷中,已知@=10,且2a2+2,5a3

成等比數(shù)列.

⑴求d,a,,；

(2)若d<0,求|3|+區(qū)|+|ao|T----FIan|.

19.解：(1)由題意得5a3?ai=(2az+2)1

即d2-3d-4=0.

故d=-1或d=4.所以既=—n+11,n￡N*或dn=4n+6,n￡N*.

(2)設(shè)數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為Sn,因?yàn)閐<0,由(D得d=-1,an=-n+11,貝ij

當(dāng)nWU時(shí)，

1921

Iai|+|a21+|a314---H|an|=Sn=—/n'+”-n.

121

2

當(dāng)n212時(shí)，|a1|十|az|+H---F|an|=—Sn+2Sn=-n——n+110.

綜上所述，

Iai|+|a21+IasH---FEI

〃1.21

—尹nWll,

=V

1221

—n+110,n212.

16.D2和D3［2013?重慶卷］設(shè)數(shù)列｛aj滿足:a)=l,a,+1=3an,n￡N+.

(1)求UJ的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn；

(2)已知｛bn｝是等差數(shù)列，Tn為其前n項(xiàng)和，且bi=a2,b3=aI+a2+a3,求T20.

16.解：(1)由題設(shè)知｛aj是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列，所以見(jiàn)=3廣)

,1

Sn=1v—43-=H13"-1).

1—oz

2QxIQ

(2)b1=a2=3,b3=l+3+9=13,b3—b1=10=2d,所以公差d=5,故T2o=2OX3+---

X5=l010.

12.D2［2013?重慶卷］若2,a,b,c,9成等差數(shù)列，則c—a=.

12.《7［解析］設(shè)公差為d,則d=Q——H9=37,所以c-a=2d=7《.

2□—142

D3等比數(shù)列及等比數(shù)列前n項(xiàng)和

20.M2,D2,D3,D5[2013?北京卷]給定數(shù)列a”a2,…，a“，對(duì)i=l,2,…，n-1,

該數(shù)列前i項(xiàng)的最大值記為Ai,后n—i項(xiàng)&+】，ai+2,…，a?的最小值記為B”&=ALB“

(1)設(shè)數(shù)列｛a0｝為3,4,7,1,寫(xiě)出出,d2,一的值;

(2)設(shè)a,,a2,--a0(n24)是公比大于1的等比數(shù)列，且a)0.證明：d”&,…，d,,-,

是等比數(shù)列；

(3)設(shè)d”d2,--d一是公差大于。的等差數(shù)列，且&>0,證明：a?a”…，a-是等

差數(shù)列.

20.解：(1)5=2,&=3,&=6.

(2)證明：因?yàn)閍DO,公比q>l,

所以4,a2,a“是遞增數(shù)列.

因此，對(duì)i=l,2,???,n—1,Ai=ai,Bi=ai+i.

于是對(duì)i=l,2,???,n—1,

di—Ai-Bi=a(—ai+i=ai(1—q)q'

-I.

因此dHO且U-=q(i=l,2,…，n—2),

即d”d2,dI是等比數(shù)列.

(3)證明：設(shè)d為dl,d2,…，&T的公差.

對(duì)IWiWn—2,因?yàn)閐>0,所以Ai+i=Bi+i+di+i2Bi+&+d>Bi+di=Ai.

又因?yàn)锳i+i=max{Ai,ai+J,所以ai+i=Ai+i>Ai2ai.

從而ai,a2,&一是遞增數(shù)列，因此Ai=ai(i=l,2,―,n—1).

又因?yàn)锽i=Ai-di=di-d《ai,所以BKaKa?<…<an-i.

因此an—Bi.

所以Bi=B2=--=Bn-i=afl.

所以ai=A1=Bi+d,=an+dl.

因此對(duì)i=L2,…,n—2都有ai+L4=di+i——=2

即a”a2,a1是等差數(shù)列.

ll.D3［2013?北京卷］若等比數(shù)列{aj滿足a2+ai=20,a3+as=40,則公比q=；

前n項(xiàng)和Sn=.

3

11.22"”-2［解析］Va3+a5=q(a2+ai),A40=20q,Aq=2,.'.a1(q+q)=20,

._.s_2(1—2D

??a.1—乙9,??On—.—乙乙.

1—L

X2V2

22.H6、H8、D3［2013?全國(guó)卷］已知雙曲線C：f—￡=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別

ab

為R,&,離心率為3,直線y=2與C的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為

⑴求a,b；

(2)設(shè)過(guò)&的直線1與C的左、右兩支分別交于A,B兩點(diǎn),且|AFj=|BR|,證明：|曬|,

|AB|,IBF2I成等比數(shù)列.

22.解：(1)由題設(shè)知￡=3,即@2=9,故b2=8a；

aa

所以C的方程為8x2—y2=8a?.

將y=2代入上式，并求得x=±-^a2+1.

由題設(shè)知，2\口［=/，解得a?=l.

所以a=l,b=2乖.

(2)證明：由(1)知，F(xiàn)i(-3,0),F2(3,0),C的方程為8x?—y2=8.①

由題意可設(shè)1的方程為y=k(x—3),1k|<2鏡，代入①并化簡(jiǎn)得G—Mx?—616<+91?+8

=0.

6k29k2+8

設(shè)A(xi,yO,B(X2,y2),貝iJxiW-1,x2^hxi+x2=^_g,XiX2=.

于是______________________________

IAFiI=yj(xi+3)>+y；=d(xi+3)2+8x；-8=-(3xi+l),

22

|BFiI=y］(x2+3)+y2=yj(x2+3)+8x2—8=3x2+1.

9

由II一(XIX即xi+x2=--

|AF|=|BF^3+1)=32+1,o

,,6k2224“一19

故記二^=-q，解得k=m，從而xiX2=--

由于IAF21=yj(XL3)斗y：=y/(XL3)>+8xf-8=1-3xi,

IBF21=y］(x；-3)'+yf=N(X2-3)、+8x；-8=3x2-1,

?IAB|=|AF21-IBF21=2-3(xi+x2)=4,

IAF2I,BF2I=3(xi+x2)—9XIX2—1=16.

2

因而IAF2I-|BF2|=|AB,

所以|但|,|AB|,IBF2I成等比數(shù)列.

4

7.D3［2013?全國(guó)卷］已知數(shù)列｛aj滿足3an+i+an=0,a2=~則瓜｝的前10項(xiàng)和等于

()

A.-6(l-3-1°)B.^(l-310)

C.3(1-3"°)D.3(1+3"°)

7.C［解析］由3a“+da“=0,得a“W0(否則a?=0)且2=一4，所以數(shù)列｛a“｝是公比為

「(n10"

4X1—(——I「-1

1I3//i\10

-,0

一)的等比數(shù)列，代入a?可得小=4,故S”,=----t---3Xi-l=3(1-3).

1+—L\/J

3

17.D2,D3［2013?福建卷］已知等差數(shù)列｛aj的公差d=l,前n項(xiàng)和為S0.

⑴若1,a1,a3成等比數(shù)列,求出；

⑵若SsMa”求ai的取值范圍.

17.解：(1)因?yàn)閿?shù)列因油的公差d=l,

且1,a”a3成等比數(shù)列，所以a；=1X0+2),

即a：—ai—2=0,解得a=-1或a1=2.

(2)因?yàn)閿?shù)列｛aj的公差d=l,且SsMa”

所以5ai+10>al+8ai,

BPa?+3ai-10<0,解得一5<a<2.

11.D312013?廣東卷］設(shè)數(shù)列｛aj是首項(xiàng)為1,公比為一2的等比數(shù)列,則adl&l+aa

+Ia,|=.

11.15［解析］方法一：易求得a?=-2,a3-4,&=-8,尿|+a：,+|aj=15.

1—91

方法二：相當(dāng)于求首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列的前4項(xiàng)和，S,=—=15.

1—乙

14.D3［2013?江蘇卷］在正項(xiàng)等比數(shù)列以｝中，a5=1,ao+a7=3.則滿足a1+a2H---F

aQa包…a”的最大正整數(shù)n的值為.

14.12［解析］設(shè)｛aj的公比為q.由a5=1及eu(q+q2)=3得q=2,所以a】=\,所以

1:(i<

a6=l,aia2---au=ai=l,此時(shí)ai+azd---FaQl.又a［+a2H---(-312=2'——,aia2---ai2=2<2

1

所以aia2---ai2>aia-ai2,但a〕+a2T---J-ai=28——,aia--ai=2e-27=25?28>28——,

而2323

所以&+a2T---卜ai3〈aia2…a13,故最大正整數(shù)n的值為12.

12.D3［2013?江西卷］某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹(shù)不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天

植樹(shù)的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(n￡2)等于

12.6［解析］S“=2C)=21—2。100,得n26.

1—2

14.D3［2013?遼寧卷］已知等比數(shù)列｛aj是遞增數(shù)列，S.是｛&｝的前n項(xiàng)和.若a“a3

是方程x°—5x+4=0的兩個(gè)根，則Se=.

14.63［解析］由題意可知ai+a：,=5,a,?as=4.又因?yàn)椋鸻j為遞增的等比數(shù)列，所以

］X(1—96)

Hi=1,a3=4,則公比q=2,所以Se=\=63.

1—z

17.D2,D3［2013?新課標(biāo)全國(guó)卷H］已知等差數(shù)列⑸｝的公差不為零，a.=25,且a1，

an,ai3成等比數(shù)列.

(1)求｛aj的通項(xiàng)公式；

(2)求ai+a.i+a7d---baan-2.

17.解:(1)設(shè)｛aj的公差為d.由題意,?尸a冏3,

即3+10d)2=ai(ai+12d),

于是d(2a1+25d)=0.

又ai=25,所以d=0(舍去),d=-2.

=

故an-2n+27.

(2)令Sn=ai+a.i+a7+**,+a3n-2.

由⑴知a3n-2=-6n+3L故｛a3n—2｝是首項(xiàng)為25,公差為一6的等差數(shù)列.從而

Sn=^(ai+a3n-2)

=~(—6n+56)

=—3r?+28n.

16.D2,D3［2013?四川卷］在等比數(shù)列匕力中，22—&=2,且2a2為3al和a3的等差中項(xiàng),

求數(shù)列｛&1的首項(xiàng)、公比及前n項(xiàng)和.

16.解：設(shè)該數(shù)列的公比為q,由已知，可得

aiq-ai=2,4a1q=3ai+aiq.

所以，ai(q—1)=2,q2—4q+3=0,解得q=3或q=L

由于a1(q—1)=2,因此q=l不合題意，應(yīng)舍去.

故公比q=3,首項(xiàng)a1=l.

3n—1

所以，數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=「^.

2

6.D3C2013?新課標(biāo)全國(guó)卷I］設(shè)首項(xiàng)為1,公比為鼻的等比數(shù)列匕』的前n項(xiàng)和為Sn,

O

則()

=

A.Sn=2an—1B.Sn3an—2

C.Su=4-3a“D.S?=3-2a“

,2?

§2

［解析］a,二(1)n1

6.DSn=31-TQn=3-2dn.

乙O

1-3

16.D2和D312013?重慶卷］設(shè)數(shù)列｛aj滿足：&=1,a+尸3A,n￡N+.

⑴求⑸｝的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S..；

(2)已知｛bj是等差數(shù)列，T,為其前n項(xiàng)和,且bi=az,b：i=ai+a2+a3,求T20.

16.解：(1)由題設(shè)知｛aj是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,所以a“=3i,

1—3"1

SN=TT=9(3"-1).

1—oz

2QxIQ

L

(2)bi=a2=3,b3=H-3+9=13,b3—bi=10=2d,所以公差d=5,故丁20=20><3+工^~

X5=l010.

D4數(shù)列求和

19.D2,D4E2013-安徽卷］設(shè)數(shù)列瓜｝滿足出=2,22+1=8,且對(duì)任意n￡N*,函數(shù)f(x)

z

=(an-an+1+an+2)x+an+icosx-an+2sinX滿足f(引=0.

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

⑵若b“=2(an+!),求數(shù)列｛bj的前n項(xiàng)和S?.

\乙a”

19.解：(1)由題設(shè)可得,f'(x)=atl—an+i+an+2—an+isinx—a?+2cosx.

對(duì)任意n￡N*,f'萬(wàn)=&'—an+i+an+2—an+i=0,E|Jan+i—an=aIl+2—an+u故瓜｝為等差數(shù)

列.

由a】=2,a2+a4=8,解得瓜｝的公差d=L

所以an=2+l?(n—1)=n+l.

(2)由bn=2an+(~=2(n+l+^^=2n+/+2知，

1_ln

5+3n+f

S11=bi+b2+…+bn=2n+2

乙rJL乙

1-2

17.D2、D4[2013?全國(guó)卷]等差數(shù)列｛aj中,a?=4,al9=2a9.

⑴求｛aj的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)b?=—,求數(shù)列｛b?｝的前n項(xiàng)和S?.

nan

17.解：⑴設(shè)等差數(shù)列｛aj的公差為d,

則an=ai+(n—l)d.

a?=4,ai+6d=4,

因?yàn)樗浴?/p>

ai9=2a9.lai+18d=2(ai+8d),

解得ai=l,d=1.

所以｛aj的通項(xiàng)公式為a.："1

,1222”…

(2)因?yàn)閴?應(yīng)=口(n+1)=、―市'所以

n+V

16.D4［2013?江西卷］正項(xiàng)數(shù)列｛4｝滿足:a^-(2n-l)a?-2n=0.

(D求數(shù)列｛a、｝的通項(xiàng)公式a”；

⑵令求數(shù)列｛b“｝的前n項(xiàng)和T,,.

16.解：⑴由￡-(2n-l)aL2n=0,得(a.-2n)(&+1)=0.

由于｛aJ是正項(xiàng)數(shù)列，所以a“=2n.

⑵由a0=2n,卜=一言，則b"=2n"+1)=去一看,

n

2(n+1),

17.D2>D4E2013?新課標(biāo)全國(guó)卷I］已知等差數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和Sn滿足S3=0,S5=-

5.

⑴求｛aj的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列］—!—:〉的前n項(xiàng)和.

［a2n-ia2n+lj

17.解：(1)設(shè)｛an｝的公差為d,則Skg+上勺產(chǎn)_&

3ai+3d=0,

由已知可得，解得a1=l,d=-1.

5ai+10d=-5,

故⑸｝的通項(xiàng)公式為a“=2-n.

⑵由⑴矢II-------------------

32n-132n+l

數(shù)歹的前n項(xiàng)和為騁—：+：—￡+______1n

2n—32n—1J1—2n'

D5單元綜合

20.M2,D2,D3,D5［2013?北京卷］給定數(shù)列a”a2,a,?對(duì)i=l,2,n-1,

該數(shù)列前i項(xiàng)的最大值記為Ai,后n—i項(xiàng)a：+”ai+2,-",a?的最小值記為B“d^A,—B).

(1)設(shè)數(shù)列｛a“｝為3,4,7,1,寫(xiě)出d“ch的值；

(2)設(shè)a?a2?—,a?(n24)是公比大于1的等比數(shù)列，且a〉。.證明：d,,d2,―,d?-i

是等比數(shù)列；

⑶設(shè)d”d2)d一是公差大于。的等差數(shù)列，且山>0,證明：a?az,…，a一是等

差數(shù)列.

20.解：(l)di=2,d2=3,d3=6.

(2)證明：因?yàn)閍〉0,公比q>L

所以a1，a2,二是遞增數(shù)列.

因此，對(duì)i=l,2,???,n—1,Ai=ai,Bi=ai+i.

于是對(duì)i=l,2,…，n—1,

di=Ai-Bi=ai-ai+i(1-Q)Q.

因此&W0且^y-=q(i=l,2,-??,n—2),

di

即d”d2,d-是等比數(shù)列.

(3)證明：設(shè)d為4d2,…，d1的公差.

對(duì)lWi<n—2,因?yàn)锽WBi+”d>0,所以Ai+產(chǎn)Bi+i+&+i2Bi+di+d>Bi+di=Ai.

又因?yàn)锳i+i=max｛Ai,ai+J,所以ai+i=Ai+i>AiNa：.

從而a”a2,??-,是遞增數(shù)列，因此Ai=ai(i=l,2,-??,n—1).

又因?yàn)锽i=Ai-di=ai—d<ai,所以BKaK?<…Qi.

因此an=Bi.

所以B1=B2=???=Br1=a.

所以ai=Ai=Bi+di=an+&.

因此對(duì)i=L2,n—2都有ai+i-ai=d+-di=d,

BPana2,a-是等差數(shù)列.

19.D5,E9[2013?廣東卷]設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為Sn,滿足4酎=成+「

4n—1,n￡N*,且a2,a5,ag構(gòu)成等比數(shù)列.

(1)證明：a2=*\/4a]+5；

(2)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)n,有▲+'+-+」一《.

3132a2a3SnSn+l乙

19.解：

19.D512013?湖北卷]已知S“是等比數(shù)列｛a.｝的前n項(xiàng)和，S“S2,S3成等差數(shù)列,且

a2+a?+aq=-18.

(1)求數(shù)列｛a1的通項(xiàng)公式；

(2)是否存在正整數(shù)n,使得422013?若存在，求出符合條件的所有n的集合；若不存

在，說(shuō)明理由.

19.解：(1)設(shè)數(shù)列｛.｝的公比為q,則aHO,q#0.由題意得

-S,1—S3-S2,

[32+33+34=-18,

「232

—aiq—aiq=a?,

即<

[aiq(1+q+q2)=—18,

a1=3,

解得

,q=-2,

故數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為a=3(-2)-

■?ri—(—9)ni

(2)由(1)有S,尸明~=1-(-2)".

1—(,—2；)；」

若存在n,使得S?22013,則1一(一2)”22013,

即(一2)"W—2012.

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，(-2)”>0,上式不成立；

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),(一2)"=—2nW—2012,即2"22012,則n》ll.

綜上，存在符合條件的正整數(shù)n,且所有這樣的n的集合為｛n|n=2k+l,kGN,k25｝.

15.DI,D5［2013?湖南卷］對(duì)于E=｛a”az,…，ai?｝的子集X=｛aL,ai2,aij,

定義X的"特征數(shù)列"為x”X2,…，Xioo,其中xii=xi2=3=xik=l,其余項(xiàng)均為0.例如：

子集｛&,aj的“特征數(shù)列”為0,1,1,0,0,…,0.

(1)子集｛a"a.aj的“特征數(shù)歹『’的前3項(xiàng)和等于；

(2)若E的子集P的"特征數(shù)列"p”p2,???,P100滿足Pi=l,Pi+Pi+I=l,lWiW99；E

的子集Q的“特征數(shù)列“q”牛，…，q儂滿足卬=1,q」+qj+,+q,+2=l,lWjW98,則PCQ

的元素個(gè)數(shù)為.

15.217［解析］(1)由特征數(shù)列的定義可知，子集面，as,as｝的“特征數(shù)列”為1,

0,1,0,1,0-,0,故可知前三項(xiàng)和為2.

⑵根據(jù)“E的子集P的“特征數(shù)列”p“pz,…，pw滿足a=LPi+Pi+1=l,lWiW99”

可知子集P的“特征數(shù)列”為1,0,1,0,…，1,0.即奇數(shù)項(xiàng)為1,偶數(shù)項(xiàng)為0.根據(jù)“E的

子集Q的''特征數(shù)列“q”電，…,q,oo滿足5=1,qj+q,+dq,+2=l,lWjW98”可知子集Q

的“特征數(shù)列為1,0,0,1,0,0,…，0,1.即項(xiàng)數(shù)除以3后的余數(shù)為1的項(xiàng)為1,其余項(xiàng)

為0,則PCQ的元素為項(xiàng)數(shù)除以6余數(shù)為1的項(xiàng)，可知有a”a?,ai3?…，a",共17項(xiàng).

19.D512013?江蘇卷］設(shè)｛■｝是首項(xiàng)為a,公差為d的等差數(shù)列(d#0),S.是其前n項(xiàng)的

和.記匕,=倦，nWN*,其中c為實(shí)數(shù).

2

⑴若c=0,且bi,b2,bi成等比數(shù)列，證明：Snk=nSk(k,n￡N*)；

(2)若｛bn｝是等差數(shù)列,證明：c=0.

19.解：由題設(shè)，S?=na+-(n-1)-d.

Sn—1

(1)由c=0,得bn=、=a+亍d.又因?yàn)閎”b2,b”成等比數(shù)列，所以整=b,，

化簡(jiǎn)得d2—2ad=0.因?yàn)閐WO,所以d=2a.

因此，對(duì)于所有的mWN*,有此=i112a.

2222

從而對(duì)于所有的k,neN*,<Snk=(nk)a=nka=nSk.

⑵設(shè)數(shù)列｛bn｝的公差是由,則bn=bi+(n—1)4,即念=bi+(n—l)d],neN*,

代入S”的表達(dá)式，整理得，對(duì)于所有的n￡N\有

(di-卜+(b1-di-a+gdb+cdm=c(di—bi).

令A(yù)=di-3d,B=bi—di—a+1d,D=c(di—bi),則對(duì)于所有的n《N*,有

An3+Bn2+cdin=D(：Jc).

在⑻式中分別取n=l,2,3,4,得

A+B+cdi=8A+4B+2cdi=27A+9B+3cdi=64A+16B+4cdi,

從而有

7A+3B+cdi=0,①

<19A+5B+c&=0,②

21A+5B+cdi=0,③

由②，③得A=0,cdi=-5B,代入方程①，得B=0,從而cdi=O.

即di—；d=0,bi—d】一a+5d=0,cdi=0.

若出=0,則由di—￡d=0得d=0,與題設(shè)矛盾，所以diNO.

又因?yàn)閏d】=O,所以c=0.

3

19.D512013?天津卷］已知首項(xiàng)為2的等比數(shù)歹心須｝的前n項(xiàng)和為S”(n￡N*),且一2S2,

S3,4Si成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛④｝的通項(xiàng)公式；

1n

(2)證明Sn+^W-^~(n￡N").

Sn6

19.解：(1)設(shè)等比數(shù)列｛aj的公比為q,因?yàn)橐?s2,S3,4s4成等差數(shù)列,所以S3+2S2

=4SLS3,即SLS3=S2—SI,可得2a4=-a3,于是q=S=—\.又a】=,,所以等比數(shù)列｛aj