廣義坐標(biāo)的特點

廣義坐標(biāo)的特點（大慶師范學(xué)院物理與電氣信息工程系）摘要：廣義坐標(biāo)是不特定的坐標(biāo)，與虛功原理聯(lián)系緊密。假若，我們用一組廣義坐標(biāo)來導(dǎo)引方程，所得到的答案，可以應(yīng)用于較廣范的問題；并且，當(dāng)我們最后終于設(shè)定這坐標(biāo)時可以用來解決拉格朗日力學(xué)，哈密頓力學(xué)都需要用到廣義坐標(biāo)來表示基要概念與方程的問題。關(guān)鍵詞：廣義坐標(biāo);虛功原理;拉格朗日方程作者簡介：陸展鵬男安徽省池州市貴池區(qū)黑龍江省大慶市大慶師范學(xué)院物理與電氣信息工程學(xué)院學(xué)生物理學(xué)專業(yè)0引言在分析力學(xué)中，廣義坐標(biāo)qa,廣義速度qL廣義動量pa是最基本的變量。通常用廣義坐標(biāo)來確定力學(xué)體系的位形，而將廣義力Qa，拉格朗日函數(shù)L等物理量表示為qa和pa的函數(shù),進(jìn)而用虛功原理討論力學(xué)體系的平衡條件。1廣義坐標(biāo)用以確定質(zhì)點系位置的獨立參變量與自由度相對應(yīng)的獨立坐標(biāo)就是廣義坐標(biāo)一般地：n個質(zhì)點自由度為k，取廣義坐標(biāo)：q,q- qkx=x(q,q q,t) y=y(q,q--.q..,t)z=z(q,q??????q,t)i i1 2 k ii1 2ki i1 2k—?r=ir(q,q…???qk，t)(i=1,2, n)1.1自由剛體的自由度最簡單的剛體由4個質(zhì)點用6根剛桿組成幾何不變體（形如四面體），則自由剛體的自由度為:k=3x4（質(zhì)點數(shù)）-6（剛桿數(shù)）=6，此后每增加一個質(zhì)點就增加三根剛桿，連接質(zhì)點的剛桿數(shù)為3n-6自由度數(shù)為：k=3n一s=6,n>41.2自由剛體的廣義坐標(biāo)基點的直角坐標(biāo)G°”0,二0）和歐拉角w,e,9組成的6個獨立參變量就是自由剛體的廣義坐標(biāo)它們被用于描述剛體的位形，約束剛體的自由度與廣義坐標(biāo)：約束剛體的自由度與廣義坐標(biāo)根據(jù)其運動形式不同有所減小，下表給出剛體在不同的運動形式時的廣義坐標(biāo)數(shù)。2廣義坐標(biāo)與虛功原理的關(guān)系2.1實位移與虛位移設(shè)質(zhì)點按照規(guī)律：x=f1（t）y=f2（t）z=f3（t），運動那么在無線短的時間dt內(nèi)，質(zhì)點的位移為dr則位矢與坐標(biāo)與時間t有關(guān)，若時間t的變化非常小，則dr為0,這為實位移。虛位移則是在dt近似為零是位移的可能的數(shù)值。虛位移與時間沒有關(guān)系。2.2虛功原理虛位移指的是彈性體（或結(jié)構(gòu)系）的附加的滿足約束條件及連續(xù)條件的無限小可能位移。所謂虛位移的”虛”字表示它可以與真實的受力結(jié)構(gòu)的變形而產(chǎn)生的真實位移無關(guān)，而可能由于其它原因（如溫度變化，或其它外力系，或是其它干擾）造成的滿足位移約束、連續(xù)條件的幾何可能位移。對于虛位移要求是微小位移，即要求在產(chǎn)生虛位移過程中不改變原受力平衡體的力的作用方向與大小，亦即受力平衡體平衡狀態(tài)不因產(chǎn)生虛位移而改變。真實力在虛位移上做的功稱為虛功。虛功原理闡明，對于一個靜態(tài)平衡的系統(tǒng)，所有外力的作用，經(jīng)過虛位移，所作的虛功，總和等于零?？紤]一個由一群粒子組成，呈靜態(tài)平衡的系統(tǒng)。作用于任何一個粒子pi的凈力等于零：作用于任何一個粒子pi的凈力，經(jīng)過虛位移，所作的虛功為零。因此，所有虛功的總和也是零：分析到這里，請?zhí)貏e注意，對于任意位移，虛功總和方程式都是正確的。2.3廣義坐標(biāo)應(yīng)用于虛功原理在數(shù)學(xué)中，表示微小增量的符號△與微分符號d所表示的數(shù)量雖然相近，但是其意義有本質(zhì)不同。而在分析力學(xué)中表示元功和微小的虛功，卻都用一個符號6,這樣就必然會造成理論上的混亂。質(zhì)點為約束所允許的無限小位移稱為虛位移，并把N.5r與F5r合稱為元功，同時，在平衡位置上，主動力元功之和也不為零。虛功原理需要廣義坐標(biāo)來推導(dǎo)，廣義

坐標(biāo)是虛功原理的基礎(chǔ)。3拉格朗日方程當(dāng)人們研究物體的機械運動時，如果作用在物體上的外力未知，人們僅僅知道作用在物體上外力的力變率,這時運用牛頓運動方程來求解物體運動的軌跡就顯得較為繁瑣.類似采用二階拉格朗日方程來求解物體的運動狀態(tài)也不方便.對這種情況，采用三階拉格朗日方程[1-2]求解就較為簡單方便.近年來，有關(guān)三階拉格朗日方程已有許多工作完成[3-12].這些工作主要是在加速度能的基礎(chǔ)上，討論不同條件下三階拉格朗日方程的基本形式和基本性質(zhì).但對系統(tǒng)存在一些非獨立的廣義坐標(biāo)的情況,其三階拉格朗日方程的形式如何改變以及它的顯式形式等問題，目前并未涉及.本文即考慮在位矢和廣義坐標(biāo)的關(guān)系中，含有非獨立廣義坐標(biāo)的情況，三階拉格朗日方程的基本形式如何，以及用位矢廣義坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系，給出這種三階拉格朗日方程的基本形式.3.1含有非獨立坐標(biāo)的三階拉格朗日方程的推導(dǎo)d(ds， 1dsd(ds， 1ds dt槌q)2dqvi indr=￡F.—(j=1,2,3i=1iSqi是F,作用在第i個質(zhì)點上的力變率,qs是廣義坐標(biāo).如果完整系統(tǒng)由n+m個廣義坐標(biāo)q,描述的。則確定系統(tǒng)的運動狀態(tài)的廣義坐標(biāo)為n個，不妨假設(shè)前n個廣義坐標(biāo)為獨立的廣義坐標(biāo)，其余m個廣義坐標(biāo)為非獨立的廣義坐標(biāo)約束方程，存在如下的虛位移等式。n玄mSf& °n=1Squ3.2拉格朗日方程的用途拉格朗日方程一般不用來求解約束力，但是知道力學(xué)體系的廣義坐標(biāo)和廣義速度所表示出的動能及其廣義力Q1Q2Q3-就可以求出，而且對于相對運動的問題的來講，如果用牛頓運動定律，就必須求出絕對加速度，或在非慣性系中引入適當(dāng)?shù)膽T性力，但如果運用拉格朗日方程，則只需求出相對于靜系的動能，亦可以求絕對加速度，所以問題可以簡化。4結(jié)論廣義坐標(biāo)不同于一般的直角坐標(biāo)，加入了速度加速度等一些物理量的測量，所以對于運動參考系的分析更加的透徹，對于廣義坐標(biāo)的學(xué)習(xí)要更加的認(rèn)真。［參考文獻(xiàn)］［1］ 吳惟敏.虛功原理中的廣義坐標(biāo)選擇［J］.大學(xué)物理,1991,12(6):46.［2］ 韓亞萍，徐曉峰.應(yīng)用虛功原理時應(yīng)注意的一個問題［J］.大學(xué)物理,2000,19(5):21.［3