2022-2023學(xué)年河北省石家莊市二十五中高二年級下冊學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河北省石家莊市二十五中高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列式子求導(dǎo)正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運算公式分別求導(dǎo)數(shù)即可，注意A中的余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，B中的分式求導(dǎo)可轉(zhuǎn)化為冪函數(shù)求導(dǎo)，C中注意求導(dǎo)要用到復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，D中的是常數(shù)，求導(dǎo)為零，不同于在時導(dǎo)數(shù)值.【詳解】∵，∴，由，可得，，∵是常數(shù)，而常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，∴，故選：C2．已知函數(shù)可導(dǎo)，且滿足，則函數(shù)在x＝3處的導(dǎo)數(shù)為（

）A．2 B．1 C．－1 D．－2【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可得到答案.【詳解】由題意，，所以.故選：D.3．設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)的圖象可得的單調(diào)性，從而得到在相應(yīng)范圍上的符號，據(jù)此可判斷的圖象.【詳解】由的圖象可知，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，故時，，故排除A，C；當(dāng)時，函數(shù)的圖象是先遞增，再遞減，最后再遞增，所以的值是先正，再負(fù)，最后是正，因此排除B，故選：D.4．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】通過題意將問題轉(zhuǎn)化為存在使得成立，通過參變分離手段求解即可.【詳解】由題意得，，因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，所以存在使得成立，即.故選:C5．如圖，一圓形信號燈分成四塊燈帶區(qū)域，現(xiàn)有3種不同的顏色供燈帶使用，要求在每塊燈帶里選擇1種顏色，且相鄰的2塊燈帶選擇不同的顏色，則不同的信號總數(shù)為（

）A．18 B．24 C．30 D．42【答案】A【分析】根據(jù)涂色問題，按照使用顏色種數(shù)進(jìn)行分類，再結(jié)合分步計數(shù)原理，即可得總的方法數(shù).【詳解】若用3種不同的顏色燈帶，故有兩塊區(qū)域涂色相同，要么，要么相同，有2種方案，則不同的信號數(shù)為；若只用2種不同的顏色燈帶，則顏色相同，顏色相同，只有1種方案，則不同的信號數(shù)為；則不同的信號總數(shù)為.故選：A．6．某芯片制造廠有甲、乙、丙三條生產(chǎn)線均生產(chǎn)5mm規(guī)格的芯片，現(xiàn)有25塊該規(guī)格的芯片，其中甲、乙、丙生產(chǎn)的芯片分別為5塊，10塊，10塊，若甲、乙、丙生產(chǎn)該芯片的次品率分別為0.1，0.2，0.3，則從這25塊芯片中任取一塊芯片，是正品的概率為（

）A．0.78 B．0.64 C．0.58 D．0.48【答案】A【分析】設(shè)“任取一塊芯片是正品”，分別表示芯片由甲、乙、丙三條生產(chǎn)線生產(chǎn)，根據(jù)互斥事件的概率公式以及全概率公式，即可求得答案.【詳解】設(shè)“任取一塊芯片是正品”，分別表示芯片由甲、乙、丙三條生產(chǎn)線生產(chǎn)，根據(jù)題意可得∶，，由全概率公式可得∶.故選：A7．設(shè)，若，則實數(shù)a的值為（

）A．2 B．0 C．1 D．【答案】A【分析】對已知關(guān)系式兩邊同時求導(dǎo)，然后令，建立方程即可求解.【詳解】對已知關(guān)系式兩邊同時求導(dǎo)可得：，令，則，，即，解得：.故選：A.8．f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f（x）g（x）+f（x）g（x）＜0且f（﹣1）＝0則不等式f（x）g（x）＜0的解集為A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)h（x）＝f（x）g（x），由已知得當(dāng)x＜0時，h（x）＜0，所以函數(shù)y＝h（x）在（﹣∞，0）單調(diào)遞減，又因為f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，得函數(shù)y＝h（x）為R上的奇函數(shù)，所以函數(shù)y＝h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，得到f（x）g（x）＜0不等式的解集．【詳解】設(shè)h（x）＝f（x）g（x），因為當(dāng)x＜0時，f（x）g（x）+f（x）g（x）＜0，所以當(dāng)x＜0時，h（x）＜0，所以函數(shù)y＝h（x）在（﹣∞，0）單調(diào)遞減，又因為f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以函數(shù)y＝h（x）為R上的奇函數(shù)，所以函數(shù)y＝h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，因為f（﹣1）＝0，所以函數(shù)y＝h（x）的大致圖象如下：所以等式f（x）g（x）＜0的解集為（﹣1，0）∪（1，+∞）故選A．【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的乘法法則、導(dǎo)數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系；奇函數(shù)的單調(diào)性在對稱區(qū)間上一致，屬于中檔題．二、多選題9．A，B，C，D，E五個人并排站在一起，下列說法正確的是（

）A．若A，B不相鄰，有72種排法 B．若A在正中間，有24種排法C．若A在B左邊，有24種排法 D．若A，B相鄰，有24種排法【答案】AB【分析】A.利用插空法求得選項A正確；B.直接利用分步原理和排列求得選項B正確；C.利用縮倍法求得選項C不正確；D.利用捆綁法求得選項D不正確.【詳解】A.若A、B不相鄰，利用插空法得共有種方法，故A正確；B.若A站在最中間，有種方法，故B正確；C.若A在B左邊，利用縮倍法共有種方法，故C不正確；D.若A、B兩人相鄰站在一起，利用捆綁法共有，故D不正確.故選：AB10．已知曲線，則過點，且與曲線相切的直線方程可能為（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】設(shè)出切點坐標(biāo)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用點斜式寫出方程，再代入計算作答.【詳解】設(shè)過點的直線與曲線相切的切點為，由求導(dǎo)得，于是得切線方程為，即，則，解得或，因此得切線方程為或，所以所求切線的方程是或.故選：AB11．在的展開式中，二項式的系數(shù)和為256，則下列說法正確的是（

）A． B．展開式中各項系數(shù)和為256C．第4項的二項式系數(shù)最大 D．展開式中所有系數(shù)的絕對值的和為4【答案】AB【分析】根據(jù)二項式定理及其性質(zhì)計算逐一分析判斷即可.【詳解】由二項式定理可知，二項式系數(shù)之和為，解得，A選項正確；令，得，B選項正確；時，的展開式共項，二項式系數(shù)最大的項為第項，C選項錯誤；設(shè)，則，，，為負(fù)數(shù)，，，，，為正數(shù)，故展開式中所有系數(shù)的絕對值的和為，令，得，D選項錯誤.故選：AB.12．對于函數(shù)，下列說法正確的有（

）．A．在處取得極大值B．有兩不同零點C．D．若在上恒成立，則【答案】ACD【分析】對于A，先對函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于零，然后再判其極值即可；對于B，令，則可得函數(shù)的零點；對于C，由選項A的解答過程可知，當(dāng)時，函數(shù)為減函數(shù)，所以，而，從而可得結(jié)果；對于D，由在上恒成立，得，令，再利用導(dǎo)數(shù)求此函數(shù)的最大值即可【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，令得，則當(dāng)時，，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)時，，函數(shù)為減函數(shù)，則當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，極大值為，故正確，由，得，得，即函數(shù)只有一個零點，故錯誤，，由時，函數(shù)為減函數(shù)知，故成立，故正確，若在上恒成立，則，設(shè)，，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，即當(dāng)時，函數(shù)取得極大值同時也是最大值，成立，故正確.故選：ACD．【點睛】本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)的單調(diào)性，極值，函數(shù)零點問題，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．三、填空題13．函數(shù)，的單調(diào)遞減區(qū)間為______．【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號求解即可.【詳解】當(dāng)時，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：14．某學(xué)習(xí)小組共有10名成員，其中有6名女生，為學(xué)習(xí)期間隨時關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)，現(xiàn)隨機(jī)從這10名成員中抽選2名任小組組長．協(xié)助老師了解學(xué)情，A表示“抽到的2名成員都是女生”，B表示“抽到的2名成員性別相同”，則__________．【答案】/0.6【分析】可以利用或計算，注意本題中兩個事件具有包含關(guān)系，即.【詳解】[解法一]抽到的2名成員都是女生的取法有種，抽到的2名成員性別相同即為都是女生或都是男生的取法，有種，所以,.因為，所以，所以.[解法二]10名成員中任選2人，有種不同的取法，每種取法都是等可能的.抽到的2名成員都是女生的取法有種，抽到的2名成員性別相同即為都是女生或都是男生的取法，有種，所以,.由于，所以，所以,,所以.15．展開式中的系數(shù)是______（用數(shù)字作答）.【答案】【分析】求得的展開式的通項為，進(jìn)而得出展開式中含有的項，即可求解.【詳解】由的展開式的通項為，則展開式中含有的項為，所以展開式中的系數(shù)是.故答案為：.16．已知函數(shù)對區(qū)間上任意的都有，則實數(shù)m的最小值是________.【答案】20【分析】求出在上的最大值和最小值后由兩者差可得的范圍，即得的最小值、【詳解】，則＝0，，當(dāng)或時，，遞增，當(dāng)時，，遞減．所以，，又，，所以在上，，所以的最大值為，即，所以的最小值為20．故答案為：20．【點睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，解題關(guān)鍵是命題對區(qū)間上任意的都有，轉(zhuǎn)化繼．四、解答題17．已知二項式的展開式中各二項式系數(shù)之和比各項系數(shù)之和小240．求：(1)n的值；(2)展開式中x項的系數(shù)；(3)展開式中所有含x的有理項．【答案】(1)4(2)54(3)第1項，第3項，第5項【分析】（1）由題可得，解方程即得；（2）利用二項展開式的通項公式，即得；（3）利用二項展開式的通項公式，令，即求．【詳解】（1）由已知，得，即，所以或（舍），∴．（2）設(shè)展開式的第項為．令，得，則含x項的系數(shù)為．（3）由（2）可知，令，則有，2，4，所以含x的有理項為第1項，第3項，第5項．18．設(shè)某廠有甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，已知各車間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的25%，35%，40%，并且各車間的次品率依次為5%，4%，2%.現(xiàn)從該廠這批產(chǎn)品中任取一件.(1)求取到次品的概率；(2)若取到的是次品，則此次品由三個車間生產(chǎn)的概率分別是多少？【答案】(1)(2)此次品由甲車間生產(chǎn)的概率為：，由乙車間生產(chǎn)的概率為：，由丙車間生產(chǎn)的概率為：【分析】（1）根據(jù)全概率計算公式，計算出所求概率.（2）根據(jù)貝葉斯公式，計算出所求概率.【詳解】（1）取到次品的概率為（2）若取到的是次品，則：此次品由甲車間生產(chǎn)的概率為：.此次品由乙車間生產(chǎn)的概率為：.此次品由丙車間生產(chǎn)的概率為：.19．已知．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)區(qū)間；(2)若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)．【分析】（1）對求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)討論單調(diào)區(qū)間；（2）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，即導(dǎo)函數(shù)恒成立，解的取值范圍即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，定義域..令，即解得：；令，即解得：；

∴當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，遞減區(qū)間為.（2）∵，∴∵在上單調(diào)遞增，即恒成立，∵時∴，即a的取值范圍為．20．已知函數(shù)，若曲線在處的切線方程為．(1)求，的值；(2)求函數(shù)在上的最小值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的切線方程即可求得參數(shù)值；（2）判斷函數(shù)在上單調(diào)性，進(jìn)而可得最值.【詳解】（1）由已知可得．又，所以．（2）由（1）可知，，令，解得或，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又，，所以函數(shù)在上的最小值為．21．已知函數(shù)f(x)＝ax＋lnx，其中a為常數(shù)．(1)當(dāng)a＝－1時，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在區(qū)間上的最大值為－3，求a的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，由此可得函數(shù)的最值；（2）求出，分和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，結(jié)合題意列出方程，求解的值即可.【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，所以當(dāng)時，求的最大值為；（2）解：函數(shù)，則，，，①若，則，所以在上單調(diào)遞增，故，不符合題意；②若，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，則，令，可得，解得，因為，所以符合題意，綜上所述.22．已知函數(shù)的圖象在（為自然對數(shù)的底數(shù)）處取得極值.(1)求實數(shù)的值；(2