固體電子導(dǎo)論

§3.1晶體中原子的微振動(dòng)聲子第三章晶格振動(dòng)主要知識(shí)點(diǎn)：簡(jiǎn)諧振動(dòng)晶體原子實(shí)際振動(dòng)簡(jiǎn)正坐標(biāo)和等效的諧振子模型聲子一、微振動(dòng)方程及其解設(shè)晶體由N個(gè)原子組成，考慮原子振動(dòng)，每個(gè)原子的位矢：平衡位置位移矢量（原子偏離平衡位置）以位移矢量作為考察量：晶體的振動(dòng)動(dòng)能：晶體振動(dòng)勢(shì)能按的冪將勢(shì)能在平衡位置附近展開為泰勒級(jí)數(shù)高階項(xiàng)其中平衡位置處的勢(shì)能為零勢(shì)能點(diǎn)平衡位置處勢(shì)能為極小值略去高階項(xiàng)（簡(jiǎn)諧近似）晶體的振動(dòng)勢(shì)能：拉格朗日函數(shù)代入拉格朗日方程由3N個(gè)線性齊次方程組成的方程組,其一組特解為所有原子在每個(gè)方向上都作同頻率,同相位,不同振幅的振動(dòng),稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。有N個(gè)原子組成的晶體，一共有3N組特解，即有3N種不同頻率的間歇振動(dòng)，也即有3N個(gè)振動(dòng)模式。每一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)并不表示某一個(gè)原子的振動(dòng)，而是表示整個(gè)晶體所有原子都參與的頻率，初相位的振動(dòng)，也稱為一個(gè)振動(dòng)模式。方程的一般解可表示為特解的線性疊加共有3N種疊加方式，表示3N種的實(shí)際振動(dòng)方式。對(duì)晶體中某一個(gè)原子而言，實(shí)際振動(dòng)是由許多振動(dòng)模式引起的振動(dòng)的疊加，形式極為復(fù)雜。借助簡(jiǎn)諧振動(dòng)，可以將這一復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)圖象簡(jiǎn)化。晶體中原子的實(shí)際振動(dòng)由運(yùn)動(dòng)方程的一般解表示

運(yùn)用線性變換的方法，引入簡(jiǎn)正坐標(biāo)

，總能量：1、簡(jiǎn)正坐標(biāo)和諧振子：代入能量表達(dá)式，消除勢(shì)能交叉項(xiàng)（即消去相互作用）諧振子二、晶格振動(dòng)的能量N個(gè)相互作用著的原子系統(tǒng)可看成3N個(gè)獨(dú)立的諧振子組成的系統(tǒng)。系統(tǒng)的總能量：每一個(gè)諧振子能量可表示為根據(jù)量子理論2、聲子聲子晶體系統(tǒng)的能量可看成由大量聲子組成。光子------電磁波的能量量子。電磁波可以認(rèn)為是光子流，光子攜帶電磁波的能量和動(dòng)量。聲子------聲子攜帶格波（簡(jiǎn)諧振動(dòng)）的能量和動(dòng)量。若格波頻率為ω，波矢q為，則聲子的能量為?ω，動(dòng)量為?q。聲子和物質(zhì)相互作用服從能量和動(dòng)量守恒定律，如同具有能量?ω和動(dòng)量?q的粒子一樣。可以將格波與物質(zhì)的互作用過程，理解為聲子和物質(zhì)的碰撞過程，使問題大大簡(jiǎn)化。聲子的粒子性：返回§3.2一維布拉菲格子的晶格振動(dòng)一維布拉菲格子（一維單原子鏈）對(duì)一維格子晶格振動(dòng)的討論是了解和描述三維格子晶格振動(dòng)的重要基礎(chǔ)。一、簡(jiǎn)諧近似下的運(yùn)動(dòng)解則原子間相互作用力近似1：簡(jiǎn)諧近似下原子間作用力簡(jiǎn)化為彈性力。作用力常數(shù)因此在簡(jiǎn)諧近似下，原子間的相互作用類似于一個(gè)彈簧振子。一維原子鏈?zhǔn)且粋€(gè)耦合諧振子。+2nx第n+1個(gè)原子對(duì)第n個(gè)原子的作用力第n-1個(gè)原子對(duì)第n個(gè)原子的作用力每一個(gè)原子對(duì)應(yīng)一個(gè)方程，n個(gè)原子對(duì)應(yīng)n個(gè)方程聯(lián)立的線性齊次方程組.第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程第n個(gè)原子受到的合力為：近似2：只考慮最近鄰原子間作用力正q對(duì)應(yīng)于沿+x方向的前進(jìn)波，負(fù)q對(duì)應(yīng)于沿-x方向的波，這種在晶體中格點(diǎn)間傳播的波，稱為格波。試解：為波矢位于處的原子的振動(dòng)試探解一種振動(dòng)模式（n=1,2,…）為頻率格矢量試解代入運(yùn)動(dòng)方程——一維布拉菲晶格中格波的色散關(guān)系常將q限制在稱為一維布拉菲晶格的第一布里淵區(qū)。即一維布拉菲晶格的倒格子原胞色散關(guān)系具有周期性0q一維布拉菲晶格的色散關(guān)系曲線色散關(guān)系曲線中任意一點(diǎn)的坐標(biāo)代表一種振動(dòng)模式，即代表一種格波。例如：整個(gè)晶格象剛體一樣作整體運(yùn)動(dòng),因而恢復(fù)力為0,故長(zhǎng)波極限，鄰近原子反向運(yùn)動(dòng)(位相相反)，所以恢復(fù)力和頻率取極大值0q一維布拉菲晶格的色散關(guān)系曲線二、周期暈性邊界條梨件考慮有咽限長(zhǎng)的族一維原憤子鏈，丈由N個(gè)原子組踢成，另有觀無窮多個(gè)代相同的一澆維原子鏈衛(wèi)與之聯(lián)結(jié)停而形成無毛限長(zhǎng)的一絞維原子鏈狹，各段相伏應(yīng)原子運(yùn)理動(dòng)情況相當(dāng)同。有N種取值波矢點(diǎn)班在波矢空劣間（第一布駕里淵區(qū)揭、倒格襯子原胞爺）均勻分布共有N種取值周期性邊界下一維布拉菲晶格的色散關(guān)系曲線0q周期性邊蝦界條件下共，頻率也哄相應(yīng)有N個(gè)取值膏。在周期性邊界條件的約束下，N個(gè)格點(diǎn)組成的一維布拉格晶格的振動(dòng)模式數(shù)共有N種，由色散關(guān)系曲線中N組分立的決定。周期性邊界下一維布拉菲晶格的色散關(guān)系曲線0q三、色橫散關(guān)系吼周期性遣的物理糕意義：0q第一布里淵區(qū)波矢相差倒格矢，晶格振動(dòng)相同?????波矢空間飲中，晶格墾振動(dòng)模式（代表點(diǎn)失）均勻分你布。晶格的獨(dú)憂立振動(dòng)模盜式數(shù)等于N，等于晶狹體的自由速度數(shù)。色散關(guān)系中一組對(duì)應(yīng)一種格波，或振動(dòng)模式。一維布拉菲晶格中原子振動(dòng)的特解是格波周期性邊喉界條件限津制0q小結(jié)：有N種取值2aMm2n2n+1§3.3一維復(fù)租式格子遲的晶格議振動(dòng)一維復(fù)梨式格子辭（一維祖雙原子份鏈）對(duì)一維復(fù)渠式格子晶客格振動(dòng)的恒討論是了掏解和描述逼大量三維著復(fù)式晶格俯的重要基賠礎(chǔ)。一、運(yùn)焰動(dòng)方程試解：2aMm2n2n+1采用簡(jiǎn)珍諧近似欄和最近愧鄰原子愉作用近燦似波矢為，頻率為的格波，同一原胞中的兩個(gè)原子振幅不同。齊次方程非零解條件代入運(yùn)動(dòng)方程——一維復(fù)式蒙晶格中格懂波的色散揚(yáng)關(guān)系稱為一暮維復(fù)式間晶格的第一布里挪淵區(qū)如m<M，色散關(guān)梨系中存在臣頻隙0q一維復(fù)式晶格的色散關(guān)系曲線將q限制在：色散關(guān)系具有周期性，即一維復(fù)式晶格的倒格子原胞周期性邊克界條件：一維歇雙原子偽鏈由N個(gè)原胞組葡成，每個(gè)救原胞中含棟有兩個(gè)不誕同的基，磚將若干個(gè)喉相同的一膠維雙原子行鏈?zhǔn)孜蚕嗔w接，形成汪無限長(zhǎng)的輸一維鏈?？紕t有

，共有N種取值有N種取值所以波矢的取島值數(shù)=N（晶格園原胞數(shù)嚷）對(duì)每一個(gè)盆波矢q，有兩忍類獨(dú)立艇的振動(dòng)振動(dòng)模式農(nóng)數(shù)=2N（總自面由度數(shù)豬）0q稱為聲頻支，相應(yīng)的格波稱為聲學(xué)波0q聲學(xué)波相鄰原子獎(jiǎng)?wù)駝?dòng)方向相同二、聲頻丸支和光頻翻支Mm2n2n+1表示聲頻支在長(zhǎng)波極限下，原胞內(nèi)兩個(gè)原子的振幅相同，且相鄰原子振動(dòng)位相差振動(dòng)情況一致.聲頻支在長(zhǎng)波限描述了原胞的整體運(yùn)動(dòng).長(zhǎng)聲學(xué)掩波與聲伍波的性拿質(zhì)類似勺，可近似連脫續(xù)介質(zhì)的功彈性波。0q彈性波的色散關(guān)系考慮長(zhǎng)波輪極限稱為光頻支，相應(yīng)的格波稱為光學(xué)波0q光學(xué)波相鄰原筐子振動(dòng)傻方向相反Mm2n2n+1考慮長(zhǎng)溫波極限表明光頻賢支在長(zhǎng)波駕極限下，響相鄰原子滲反向振動(dòng)柏，原胞質(zhì)礙心保持靜分止。若是離子墾晶體，在五電場(chǎng)作用皇下異號(hào)離僻子受力相揀反，可用摟光波來激治發(fā)離子晶輔體中的這蓬種長(zhǎng)波振糾動(dòng)。0q波矢空間呼中，晶格錘振動(dòng)模式（代表杯點(diǎn)）均勻分南布。晶格的獨(dú)毛立振動(dòng)模們式數(shù)等于2N，等于攜晶體的授自由度正數(shù)。色散關(guān)系中一組對(duì)應(yīng)一種格波，或振動(dòng)模式。周期性每邊界條丙件限制小結(jié)：有N種取值一維復(fù)式晶格中原子振動(dòng)的特解是格波0q稱為聲頻支，相應(yīng)的格波稱為聲學(xué)波0q聲學(xué)波描春述相鄰原襖子振動(dòng)方忠向相同的據(jù)格波，振皺動(dòng)頻率較遲低。稱為光頻支，相應(yīng)的格波稱為光學(xué)波光學(xué)波貓描述相異鄰原子傅振動(dòng)方碰向相反徒的格波譽(yù)，振動(dòng)司頻率較筋高。一維晶劫格振動(dòng)撿小結(jié)：1、簡(jiǎn)諧克近似和轉(zhuǎn)最近鄰超原子作盞用近似原子之傳間的作污用力近博似為彈吳性力，態(tài)且只受啞到最近鼠鄰原子貓作用。2、一維晶命格中原子神振動(dòng)的特益解是格波布拉菲晶信格：復(fù)式晶前格：

一組確定的決定一種格波，或振動(dòng)模式。3、格波校的具體醬模式由邊色散關(guān)遞系確定一維布拉菲晶格0q0q一維復(fù)若式晶格第一布宣里淵區(qū)欣（倒格懼子原胞殺）的范播圍第一布梯里淵區(qū)賄內(nèi)波矢費(fèi)點(diǎn)均勻抗分布，活波矢點(diǎn)險(xiǎn)的取值波矢點(diǎn)的僑取值個(gè)數(shù)崖（原胞數(shù)），晶格惰的振動(dòng)模林式數(shù)（自由度繁數(shù)）,色散關(guān)系忙支數(shù)（原胞內(nèi)自色由度數(shù)）對(duì)于實(shí)茫際三維袖的晶體忠，上述神的分析放方法和打結(jié)論是脅普適的信。三維情形解下，若基績(jī)由n個(gè)原子癥組成，音原胞內(nèi)往的原子哨共有3n個(gè)自由土度，因發(fā)而存在3n種色散計(jì)關(guān)系。其中3支為聲坊頻支；3(n婆-1)支為光牧頻支。三、三檢維晶格金剛石[110]方向的色散關(guān)系原胞內(nèi)含原子數(shù)原胞數(shù)q數(shù)總的自由度數(shù)格波數(shù)聲學(xué)格波數(shù)光學(xué)格波數(shù)單原子鏈雙原子鏈三維晶體12nNNNNNNN2N3nNNN3N0N3(n-1)N格波數(shù)鉗與晶體嚷的維數(shù)禮及晶胞忽內(nèi)原子商數(shù)的關(guān)藏系§3.碑4晶格熱容輩及其理論鴉模型所有簡(jiǎn)單固體都具有相同的熱容：一、經(jīng)寒典的杜園隆-珀蒂定仆律室溫下，嘗大多數(shù)固改體的實(shí)驗(yàn)貧數(shù)據(jù)接近枕杜隆-珀蒂值材料300K鉛26.9銦26.8鉑25.9銀25.5鋅25.5金25.3銅24.5鋁24.3趨向于實(shí)驗(yàn)表明遙，1）某些裁固體的必?zé)崛菪『裼诙怕?珀蒂值秋；2）固體熱限容隨著嗚溫度降叼低逐漸受減小，寺并在絕爪對(duì)零度處假趨于零壓。二、晶堅(jiān)格熱容稈的量子塞理論1）根據(jù)量子統(tǒng)計(jì)理論，聲子是玻色子，由玻色分布知，溫度為T時(shí)，角頻率為的聲子數(shù)為：由3N個(gè)諧振子組成的晶格系統(tǒng)，其總能量為：2）頻率為的諧振子能量為：稱為頻率分布函數(shù)，表示單位頻率間隔內(nèi)的振動(dòng)模式數(shù)。

諧振子數(shù)近似處理：1）取值的密集性可將求和近似用求積分代替；2）忽略零點(diǎn)振動(dòng)能量3）整個(gè)晶格振動(dòng)對(duì)應(yīng)的內(nèi)能為：4）晶格振動(dòng)的內(nèi)能可用積分求出：5）與原子的晶格振動(dòng)對(duì)應(yīng)的熱容二、愛因役斯坦模型假設(shè)：晶格包含N個(gè)原胞、每個(gè)原胞內(nèi)包含n個(gè)原子，共有種振動(dòng)模式，每個(gè)振動(dòng)模式都具有相同的振動(dòng)頻率，愛因斯坦模型的頻率分布函數(shù)：愛因斯坦模型的色散關(guān)系稱為愛因斯坦比熱容函數(shù)其中愛因斯坦特征溫度熱容：內(nèi)能：①高溫區(qū)HE與經(jīng)典的實(shí)驗(yàn)結(jié)論相符②低溫區(qū)HE討論：與實(shí)驗(yàn)定性相符低溫下，與的實(shí)驗(yàn)結(jié)論有差異愛因斯坦模型的缺陷：愛因斯坦模型的色散關(guān)系三、德拜直模型假設(shè)：晶格振動(dòng)的頻率與波矢成正比(C為常數(shù))即將晶體傅看成是各避向同性的糊連續(xù)介質(zhì)踢，把晶格受振動(dòng)看成量是連續(xù)介蠅質(zhì)中傳播因的彈性波馬。德拜模型的色散關(guān)系德拜模型的頻率分布函數(shù)：內(nèi)能：熱容：其中德拜溫度德拜頻率②低溫區(qū)與固體的嗓低溫比熱碌容相符德拜模寫型的局甜限性：在短波部約分與實(shí)驗(yàn)叮結(jié)果不符討論：①高溫區(qū)與經(jīng)典的實(shí)驗(yàn)結(jié)論相符德拜模型的色散關(guān)系四、頻怒率分布凡函數(shù)（葵模式密舊度）1)在波矢空間，晶格振動(dòng)模式是均勻分布的——表示單位頻率間隔中晶格振動(dòng)的模式數(shù)。頻率分布函數(shù)的定義：對(duì)于三維情形，分布密度為晶體體積二維晶格模式的分布密度為：一維晶格模式分布密度為：q空間內(nèi)，頻率為的模式所占體積dq——表示兩等債頻面間的垂直距述離dsdqds——為面積元——兩等頻面間的體積2）求頻率在范圍內(nèi)的模式數(shù)其中表示色散關(guān)系的斜率又因?yàn)榉e分對(duì)q空間的等蜜頻面進(jìn)行泳。3）求頻率分布函數(shù)(三維)(二維)(一維)例：德拜模型中假設(shè)(C為大于0常數(shù))空間中的等頻面為球面，半徑為晶體銅的慎實(shí)際模式凈密度與德暮拜近似模才式密度的襲比較例：

是一種常見的色散關(guān)系，

在三維情形，空間中等頻率面為球面，半徑為二維情形：一維情形：簡(jiǎn)單立錢方晶格根據(jù)倒格余子基矢定起義1.6對(duì)于簡(jiǎn)單立方晶格，證明密勒指數(shù)為的晶面系，面間距滿足倒格子誘矢量晶面族的面間距倒格子拼基矢3.7設(shè)三維晶格的光學(xué)振動(dòng)在q=0附近的長(zhǎng)波極限有：證明：頻率分布函數(shù)三維晶格餡振動(dòng)的態(tài)果密度dq間隔內(nèi)慎的狀態(tài)認(rèn)數(shù)對(duì)兩邊微分得到將dq和代入得到時(shí)為虛數(shù)，有方法2振動(dòng)模驅(qū)式密度駕函數(shù)——對(duì)于q空間的等烘頻率面，淋波矢q為常數(shù)已知三維負(fù)色散關(guān)系因?yàn)閷?duì)于光學(xué)波，在處振動(dòng)頻率具有最大值頻率分泳布函數(shù)1、有N個(gè)原胞組完成的晶格助常數(shù)分別牲為a和b的一維雙翁原子鏈的勒布里淵區(qū)葡范圍是___后___淡___盲___；布里喪淵區(qū)內(nèi)什格波波刑矢的取忠值為___行___歷___，取值數(shù)碑目為____組__；格波在模式數(shù)洲目為___譜___刪___板_。2、什么是躲聲學(xué)波，滲什么是光倚學(xué)波？寫窗出長(zhǎng)聲學(xué)還波和長(zhǎng)光丙學(xué)波的振閃動(dòng)特點(diǎn)？雙由N個(gè)硅原燦子組成潛的晶體孟硅中聲府學(xué)波和敏光學(xué)波坡數(shù)量各系有多少輔？1.晶格中白原子的肌微振動(dòng)