2022-2023學(xué)年四川省成都市郫都區(qū)高三上學(xué)期階段性檢測(cè)（二）理科數(shù)學(xué)試題

郫都區(qū)高2020級(jí)階段性檢測(cè)（二）數(shù)學(xué)（理）第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則真子集個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.7 D.82.復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.3.設(shè)，則“”是“”的（）條件A充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要4.某單位為了解辦公樓用電量y（度）與氣溫x（℃）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了四個(gè)工作日用電量與當(dāng)天平均氣溫，如下表：氣溫x（℃）181310－1用電量y（度）24343864由表中數(shù)據(jù)得到線(xiàn)性回歸方程為，當(dāng)氣溫為－4℃時(shí)，預(yù)測(cè)用電量為（）A.69度 B.68度 C.66度 D.52度5.阿波羅尼斯研究發(fā)現(xiàn)：如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)（，且），那么點(diǎn)P的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓．若點(diǎn)C到，的距離之比為，則點(diǎn)C到直線(xiàn)的最小距離為（）A. B. C. D.6.某校在重陽(yáng)節(jié)當(dāng)日安排4位學(xué)生到三所敬老院開(kāi)展志愿服務(wù)活動(dòng)，要求每所敬老院至少安排1人，則不同的分配方案數(shù)是（）A81 B.72 C.48 D.367.平面區(qū)域是由，以及軸圍成的封閉圖形，圖中陰影部分是由和直線(xiàn)圍成的，現(xiàn)向區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（）A.的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象D.若方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是9.如圖所示，在中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1．在三角形內(nèi)挖去半圓（圓心O在邊BC上，半圓與BC相交于N，與AC相切于點(diǎn)C，與AB相切于點(diǎn)M），則圖中陰影部分繞直線(xiàn)BC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積為（）A. B. C. D.10.在?中，?為?內(nèi)（包括邊界)的動(dòng)點(diǎn)，且?，則?的取值范圍是（）A.? B.?C.? D.?11.已知函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）A B.C. D.12.若（且）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本大題共4小題；每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線(xiàn)上．13.已知圓，直線(xiàn)，若直線(xiàn)截圓所得弦長(zhǎng)為2，則______.14.已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足不等式組，則的最小值為_(kāi)_____．15.已知多項(xiàng)式，則的值為_(kāi)_____．16.已知函數(shù)，若方程有且僅有兩不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或推演步驟．17.在等差數(shù)列中，，前8項(xiàng)和（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，求的前n項(xiàng)和.18.2022年4月16日，神舟十三號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)預(yù)定區(qū)域成功著陸，航天員翟志剛，王亞平，葉光富順利出艙，神舟十三號(hào)載人飛行任務(wù)圓滿(mǎn)完成.為紀(jì)念中國(guó)航天事業(yè)成就，發(fā)揚(yáng)并傳承中國(guó)航天精神，某校高一年級(jí)組織2000名學(xué)生進(jìn)行了航天知識(shí)競(jìng)賽并進(jìn)行紀(jì)錄（滿(mǎn)分：100分）根據(jù)得分將數(shù)據(jù)分成7組：[20，30），[30，40），..，[80，90]，繪制出如下的頻率分布直方圖（1）用頻率估計(jì)概率，從該校隨機(jī)抽取2名同學(xué)，求其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率；（2）從得分在的學(xué)生中利用分層抽樣選出8名學(xué)生，若從中選出3人參加有關(guān)航天知識(shí)演講活動(dòng)，求選出的3人競(jìng)賽得分不低于70分的人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.19.如圖，四棱錐中，四邊形ABCD為梯形，其中，，，平面平面.（1）證明：；（2）若，且PA與平面ABCD所成角的正弦值為，點(diǎn)F在線(xiàn)段PC上滿(mǎn)足，求二面角的余弦值.20.已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，左焦點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足（為原點(diǎn)），求四邊形面積的最大值.21.已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）設(shè)，當(dāng)，求證：.請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答，共10分，如果多作，則按所作的第一題計(jì)分．作答時(shí)，請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題目題號(hào)的方框涂黑．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)的參數(shù)為（為參數(shù)）．（1）求曲線(xiàn)和直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；（2）過(guò)原點(diǎn)引一條射線(xiàn)分別交曲線(xiàn)和直線(xiàn)于、兩點(diǎn)，求的最大值．選修4－5：不等式選講23.設(shè)函數(shù)的最小值為.（1）求的值；（2）若正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，證明：.郫都區(qū)高2020級(jí)階段性檢測(cè)（二）數(shù)學(xué)（理）第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則的真子集個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】利用列舉法，寫(xiě)出集合，根據(jù)交集運(yùn)算明確元素個(gè)數(shù)，根據(jù)公式，其中為元素個(gè)數(shù)，可得答案.【詳解】由題意，，則，即真子集個(gè)數(shù)為.故選：C.2.復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法、乘方法則化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，因此?故選：C.3.設(shè)，則“”是“”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】舉例說(shuō)明充分性不滿(mǎn)足，由兩角和的平方關(guān)系說(shuō)明必要性成立，從而得答案.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足，但，所以充分性不滿(mǎn)足；當(dāng)時(shí)，由，可得，所以必要性滿(mǎn)足；所以是的必要不充分條件.故選：B.4.某單位為了解辦公樓用電量y（度）與氣溫x（℃）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了四個(gè)工作日用電量與當(dāng)天平均氣溫，如下表：氣溫x（℃）181310－1用電量y（度）24343864由表中數(shù)據(jù)得到線(xiàn)性回歸方程為，當(dāng)氣溫為－4℃時(shí)，預(yù)測(cè)用電量為（）A.69度 B.68度 C.66度 D.52度【答案】B【解析】【分析】根據(jù)滿(mǎn)足線(xiàn)性回歸方程可求得，得出回歸方程，從而得出答案．【詳解】由表中數(shù)據(jù)可知，，根據(jù)滿(mǎn)足線(xiàn)性回歸方程，得，∴，則回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，故選：B．5.阿波羅尼斯研究發(fā)現(xiàn)：如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)（，且），那么點(diǎn)P的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓．若點(diǎn)C到，的距離之比為，則點(diǎn)C到直線(xiàn)的最小距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，依題意求出點(diǎn)的軌跡方程，進(jìn)而可求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值．【詳解】解：由題意，設(shè)，由，，因?yàn)椋?，即，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑的圓，又點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值為．故選：A．6.某校在重陽(yáng)節(jié)當(dāng)日安排4位學(xué)生到三所敬老院開(kāi)展志愿服務(wù)活動(dòng)，要求每所敬老院至少安排1人，則不同的分配方案數(shù)是（）A.81 B.72 C.48 D.36【答案】D【解析】【分析】先將4位學(xué)生分為三組（其中一組2人，另兩組每組各1人），再分配到三所敬老院，即可得出答案．【詳解】先將4位學(xué)生分為三組（其中一組2人，另兩組每組各1人），再分配到三所敬老院，則有種分配方法，故選：D．7.平面區(qū)域是由，以及軸圍成封閉圖形，圖中陰影部分是由和直線(xiàn)圍成的，現(xiàn)向區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由定積分計(jì)算區(qū)域的面積，進(jìn)而得陰影面積為，再根據(jù)幾何概型計(jì)算即可得答案.【詳解】區(qū)域的面積，而由直角三角形的面積等于4可知，陰影面積為，因此點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型，定積分求面積，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.本題解題的關(guān)鍵在于求區(qū)域的面積，即用定積分表示.8.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（）A.的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象D.若方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】解：由題圖可得，，故，所以，又，即，所以，又，所以，所以.當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故B錯(cuò)誤；將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增，因?yàn)?，，，所以方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，的取值范圍是，故D正確.故選：D9.如圖所示，在中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1．在三角形內(nèi)挖去半圓（圓心O在邊BC上，半圓與BC相交于N，與AC相切于點(diǎn)C，與AB相切于點(diǎn)M），則圖中陰影部分繞直線(xiàn)BC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】判斷出圖中陰影部分繞直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體為圓錐內(nèi)挖去一個(gè)球,由已知求解三角形可得圓的半徑,再由圓錐體積減去球的體積即可得到答案.【詳解】如圖,連接,則.設(shè)圓的半徑為r,因?yàn)?所以.在直角△ACB中,又,，所以,則，解得：.圖中陰影部分繞直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體為圓錐內(nèi)挖去一個(gè)球,圓錐的底面半徑為1,高為,球的半徑為,則所求體積為.故選：B10.在?中，?為?內(nèi)（包括邊界)的動(dòng)點(diǎn)，且?，則?的取值范圍是（）A.? B.?C.? D.?【答案】B【解析】【分析】利用坐標(biāo)法，由題可設(shè)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及三角函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】如圖以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，為所在平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，且PC可設(shè)，則，，，其中，的取值范圍是.故選：B.11.已知函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】令，由題意可得為定義域上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；分與兩類(lèi)討論，將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與，分別解之即可．【詳解】令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；又為的奇函數(shù)，，即為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增；又由不等式得，當(dāng)，即時(shí)，不等式可化為，即，由在上單調(diào)遞減得，解得，故；當(dāng)，即時(shí)，不等式可化為，即，由在上單調(diào)遞增得，解得，故；綜上所述，不等式的解集為：．故選：D．12.若（且）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】討論時(shí)，結(jié)合圖象可得不可能恒成立；時(shí)，當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，不等式經(jīng)過(guò)變形，令，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合的單調(diào)性，原不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、最大值，可得的范圍．【詳解】當(dāng)時(shí)，作出和的圖象，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)，則不可能恒成立；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，，∵，∴由，得，即，令，則上面的不等式即為：，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴，∴只需在上恒成立，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，由題意得，解得．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故選：A．第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本大題共4小題；每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線(xiàn)上．13.已知圓，直線(xiàn)，若直線(xiàn)截圓所得弦長(zhǎng)2，則______.【答案】【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式和弦長(zhǎng)公式即可.【詳解】設(shè)直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)為,圓心到直線(xiàn)的距離為，半徑.由題直線(xiàn)截圓所得弦長(zhǎng),所以.因?yàn)?，所?故答案為:.14.已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足不等式組，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】0【解析】【分析】由不等式組作出可行域，令，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)在軸上的截距取最小值的問(wèn)題，求解即可.【詳解】由不等式組作出可行域如圖，令，得，則表示直線(xiàn)在軸上的截距，由圖可得，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，最小，即最小，由，得，所以，即的最小值為0．故答案為：0．15.已知多項(xiàng)式，則的值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求得正確答案.【詳解】依題意，含的項(xiàng)為，所以.故答案為：16.已知函數(shù)，若方程有且僅有兩不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】由題意，構(gòu)造函數(shù)，方程有且僅有兩不等實(shí)根，即直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)的圖象，根據(jù)交點(diǎn)的情況得到答案．【詳解】當(dāng)時(shí)，方程可化為，即，當(dāng)時(shí)，方程可化為，即，令，方程有且僅有兩不等實(shí)根，即直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，取極小值－2．當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，取極小值－2．根據(jù)以上信息，作出的圖象如圖，由圖可知，當(dāng)或時(shí)，直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有且僅有兩不等實(shí)根．故答案為：．三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或推演步驟．17.在等差數(shù)列中，，前8項(xiàng)和（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，求的前n項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用基本量表示題干條件，求解，即得解；（2）設(shè)，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，故，分組求和即可.【小問(wèn)1詳解】由題意，即解得：因此.【小問(wèn)2詳解】設(shè)依題意因此設(shè)前n項(xiàng)和為18.2022年4月16日，神舟十三號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)預(yù)定區(qū)域成功著陸，航天員翟志剛，王亞平，葉光富順利出艙，神舟十三號(hào)載人飛行任務(wù)圓滿(mǎn)完成.為紀(jì)念中國(guó)航天事業(yè)成就，發(fā)揚(yáng)并傳承中國(guó)航天精神，某校高一年級(jí)組織2000名學(xué)生進(jìn)行了航天知識(shí)競(jìng)賽并進(jìn)行紀(jì)錄（滿(mǎn)分：100分）根據(jù)得分將數(shù)據(jù)分成7組：[20，30），[30，40），..，[80，90]，繪制出如下的頻率分布直方圖（1）用頻率估計(jì)概率，從該校隨機(jī)抽取2名同學(xué)，求其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率；（2）從得分在的學(xué)生中利用分層抽樣選出8名學(xué)生，若從中選出3人參加有關(guān)航天知識(shí)演講活動(dòng)，求選出的3人競(jìng)賽得分不低于70分的人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖計(jì)算概率；（2）頻率分布直方圖由求出人數(shù)，得的可能值是，可得，由超幾何分布概率公式計(jì)算出概率后得分布列，由期望公式計(jì)算出期望．【小問(wèn)1詳解】每名學(xué)生得分低于70分的概率為：，不低于80分的概率：.故其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率為：.【小問(wèn)2詳解】由頻率分布直方圖可得8人中，的人數(shù)有2人，的人數(shù)有6人，所以，的可能取值為，，.分布列為123故.19.如圖，四棱錐中，四邊形ABCD為梯形，其中，，，平面平面.（1）證明：；（2）若，且PA與平面ABCD所成角的正弦值為，點(diǎn)F在線(xiàn)段PC上滿(mǎn)足，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）.【解析】【分析】（1）由題可得，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，進(jìn)而即得；（2）利用坐標(biāo)法，根據(jù)線(xiàn)面角的向量求法及面面角的向量求法即得.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，為等邊三角形，則，又四邊形ABCD為梯形，，則，在中，，所以，即，平面平面ABCD，平面平面，平面，所以平面，又平面，故；【小問(wèn)2詳解】若O為BD中點(diǎn)，，則，平面平面ABCD，平面平面，平面，則平面，連接OC，則，且平面，故，綜上，，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，所以，，，，設(shè)且，則，而平面的一個(gè)法向量為，，所以，可得，故，所以，，，若是面的一個(gè)法向量，則，取，若是平面的一個(gè)法向量，則，取，所以，所以二面角的余弦值.20.已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，左焦點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足（為原點(diǎn)），求四邊形面積的最大值.【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓經(jīng)過(guò)的點(diǎn)和焦點(diǎn)，由待定系數(shù)法即可求解.（2）聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理得根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)面積公式表達(dá)出面積函數(shù)，利用換元法以及不等式即可求解最值.【小問(wèn)1詳解】設(shè)橢圓的焦距為，則，又因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，又，，，所以橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，?dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，顯然不符合題意；當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，與橢圓交于，兩點(diǎn)，由.由，，，令，則（由上式知），，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).∴當(dāng)時(shí)，平行四邊形的面積最大值為2.21.已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）設(shè)，當(dāng)，求證：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)詳解【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率，再由點(diǎn)斜式即可求解；（2）先用導(dǎo)數(shù)法判斷的單調(diào)性，再令函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法研究的單調(diào)性，從而有，，由的單調(diào)性結(jié)合題意可得，進(jìn)而，得證【小問(wèn)1詳解】∵，∴，∴，∵，故切點(diǎn)坐標(biāo)為.故曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為即.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋O(shè)，故有，則，令，則，顯然在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增