2023屆江西省上饒市高三二模數(shù)學(xué)（文）試題

2023屆江西省上饒市高三二模數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.【詳解】由，即，解得，所以，又，所以.故選：C2．若，則（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可得，由復(fù)數(shù)的共軛概念以及復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可求解.【詳解】由得,所以，故選：D3．為了支持民營(yíng)企業(yè)發(fā)展壯大，幫助民營(yíng)企業(yè)解決發(fā)展中的困難，某市政府采用分層抽樣調(diào)研走訪(fǎng)各層次的民營(yíng)企業(yè).該市的小型企業(yè)、中型企業(yè)、大型企業(yè)分別有900家、90家、10家.若大型企業(yè)的抽樣家數(shù)是2，則中型企業(yè)的抽樣家數(shù)應(yīng)該是（

）A．180 B．90 C．18 D．9【答案】C【分析】根據(jù)分層抽樣的定義即可得解.【詳解】該市中型企業(yè)和大型企業(yè)的家數(shù)比為，由分層抽樣的意義可得中型企業(yè)的抽樣家數(shù)應(yīng)該是.故選：C.4．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由的正切值，求出正弦及余弦值，再結(jié)合兩角和的余弦公式展開(kāi)求解.【詳解】已知，則，.則.故選：B.5．某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒，若一名行人來(lái)到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：因?yàn)榧t燈持續(xù)時(shí)間為40秒,所以這名行人至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為，故選B.【解析】幾何概型【名師點(diǎn)睛】對(duì)于幾何概型的概率公式中的“測(cè)度”要有正確的認(rèn)識(shí)，它只與大小有關(guān)，而與形狀和位置無(wú)關(guān)，在解題時(shí)，要掌握“測(cè)度”為長(zhǎng)度、面積、體積、角度等常見(jiàn)的幾何概型的求解方法．6．橢圓的離心率為，直線(xiàn)與橢圓相切，橢圓的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線(xiàn)與橢圓相切，求出，再根據(jù)離心率求出，即可得解.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)與橢圓相切，所以，由解得，所以橢圓的方程為.故選：A.7．《九章算術(shù)》涉及算術(shù)、代數(shù)、幾何等諸多領(lǐng)域，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有圓亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，問(wèn)積幾何？”其意思為：“有一個(gè)圓臺(tái)，下底周長(zhǎng)為3丈，上底周長(zhǎng)為2丈，高為1丈，那么該圓臺(tái)的體積是多少？”已知1丈等于10尺，圓周率約為3，估算出這個(gè)圓臺(tái)體積約有（

）A．立方尺 B．立方尺C．立方尺 D．立方尺【答案】D【分析】利用圓臺(tái)體積公式求體積即可.【詳解】由已知，下底半徑為5尺，上底半徑為尺，若分別為上下底面面積，所以圓臺(tái)的體積為：立方尺.故選：D8．在坐標(biāo)平面中，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為（

）A．3 B． C． D．【答案】A【分析】作出不等式組所表示得平面區(qū)域，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，在求出圖形中可行域得面積即可.【詳解】由，得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，如圖，作出不等式所表示得平面區(qū)域，為，聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，即，則，所以，所以，則，即不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為.故選：A.9．已知執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】輸入，并比較三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系，輸出最小值.【詳解】首次輸入，因?yàn)?，所以成立，則，因?yàn)椋?，則成立，則，輸出結(jié)果.故選：B.10．函數(shù)的部分圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先求出函數(shù)的定義域，再判斷函數(shù)的奇偶性，最后利用特殊值及排除法判斷即可.【詳解】因?yàn)?，則，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，令，則，即為偶函數(shù)，又為奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故排除D，又，故排除B、C；故選：A11．在中，，則的最小值（

）A．-4 B． C．2 D．【答案】A【分析】利用正弦定理將邊化角，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的三角函數(shù)，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】在中，，所以，，所以，因?yàn)?，所以，所以，，則的最小值為.故選：A12．已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為為雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，為的內(nèi)切圓上一點(diǎn)，則取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)以及雙曲線(xiàn)的定義可得,進(jìn)而根據(jù)斜率關(guān)系以及二倍角公式可得，進(jìn)而得內(nèi)切圓的半徑的變化范圍，由數(shù)量積的幾何意義即可求解.【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓與相切于,圓心為,由切線(xiàn)長(zhǎng)的性質(zhì)以及雙曲線(xiàn)定義可得，又，因此，所以,設(shè)角,且為銳角，由于，所以，為內(nèi)切圓的半徑，不妨設(shè)，故在中，，,當(dāng)共線(xiàn)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)方向相同時(shí)，，當(dāng)方向相反時(shí)，，因此,故選：C【點(diǎn)睛】解析幾何簡(jiǎn)化運(yùn)算的常見(jiàn)方法：（1）正確畫(huà)出圖形，利用平面幾何知識(shí)簡(jiǎn)化運(yùn)算；（2）坐標(biāo)化，把幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算；（3）巧用定義，簡(jiǎn)化運(yùn)算.二、填空題13．已知向量，若，則________.【答案】10【分析】根據(jù)得到，然后解方程求即可.【詳解】，因?yàn)?，所以，解?故答案為：10.14．曲線(xiàn)在點(diǎn)(1,3)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_____.【答案】【分析】求出，從而求得切線(xiàn)斜率，由直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式即可求得切線(xiàn)方程．【詳解】由題可得：，所以切線(xiàn)斜率，所求切線(xiàn)方程為：，整理得：【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．在正方體中，與交于點(diǎn)，則直線(xiàn)與直線(xiàn)的夾角為_(kāi)_______.【答案】【分析】通過(guò)平移，轉(zhuǎn)化所求線(xiàn)線(xiàn)角為，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：如圖所示，連接,又因?yàn)樗灾本€(xiàn)與直線(xiàn)的夾角即為,又為等邊三角形，O為AC中點(diǎn)，所以平分角，所以.故答案為：.16．關(guān)于函數(shù)，有如下四個(gè)命題：①函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；②函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；③函數(shù)的最小正周期為；④函數(shù)的最小值為2．其中所有真命題的序號(hào)是_________________．【答案】①②④【分析】對(duì)于①：由奇偶函數(shù)的定義，可判斷出為偶函數(shù)，圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；對(duì)于②：由即可判斷出函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；對(duì)于③：由得出函數(shù)的最小正周期為；對(duì)于④：設(shè)，則，由基本不等式即可求出最小值．【詳解】對(duì)于①：定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以是上的偶函?shù)，所以圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故①正確；對(duì)于②：對(duì)于任意的，，所以函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故②正確；對(duì)于③：因?yàn)?，所以函?shù)的最小正周期為，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：設(shè)，則，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以函數(shù)的最小值為2，故④正確，故答案為：①②④．三、解答題17．某校100名學(xué)生期末考試化學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是：.(1)求圖中的值；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生化學(xué)成績(jī)的平均分；(3)若這100名學(xué)生化學(xué)成績(jī)某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（）與物理成績(jī)相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（）之比如下表所示，求物理成績(jī)?cè)谥獾娜藬?shù).分?jǐn)?shù)段【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形面積之和為得到方程，解得即可；（2）根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得；（3）根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出物理成績(jī)?cè)谥g的人數(shù)，即可求出之外的人數(shù).【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，解得；（2）由，根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生化學(xué)成績(jī)的平均分為分.（3）由已知可得，物理成績(jī)?cè)谥g的人數(shù)為，于是物理成績(jī)?cè)谥獾娜藬?shù)為.18．設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件當(dāng)時(shí),得，再與原式作差得，注意討論時(shí)情況；（2）利用錯(cuò)位相減法求和.【詳解】（1）已知，①當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，②①-②得，所以，當(dāng)時(shí)，相符，所以.（2），③，④③-④得，，所以.19．如圖，已知三棱柱的底面是正三角形，，是的中點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)三角形全等得到，即可得到，再由，得到平面，從而得證；（2）作的中點(diǎn)，連接，即可得到為平行四邊形，由面面垂直的判定定理得到平面平面，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，平面，再求出的長(zhǎng)度即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，，所以，所以，又是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)闉榈冗吶切?，是的中點(diǎn)，所以，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）作的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榕c分別為、的中點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，所以且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，又由（1）可知平面，平面，所以平面平面，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，平面平面，平面，所以平面，在中，，所以，又，，所以，在中，，，所以，所以，所以，故點(diǎn)到平面的距離為.20．已知函數(shù).(1)證明：；(2)當(dāng)時(shí)，證明不等式，在上恒成立.【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)答案見(jiàn)解析.【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)分析的單調(diào)性，即可得到，即可證明；（2）令，求導(dǎo)，根據(jù)放縮的思路得到，然后利用在上的單調(diào)性即可證明.【詳解】（1）證明：，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴.（2）令，則，由（1）可得，即，又，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，則，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，所以當(dāng)時(shí)，不等式，在上恒成立.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)中常見(jiàn)的放縮形式：（1）；（2）；（3）.21．已知拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn).(1)求拋物線(xiàn)的方程，并求其準(zhǔn)線(xiàn)方程；(2)如圖，點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，圓內(nèi)切于.求面積的最小值.【答案】(1)，則準(zhǔn)線(xiàn)方程為(2)【分析】（1）由點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，代入求得，即得拋物線(xiàn)方程；（2）由圓圓心為，半徑，根據(jù)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性，設(shè)得，分別在x軸上、下方，則，分別令、求得關(guān)于的表達(dá)式，求出周長(zhǎng)，利用基本不等式求最小值，最后由求面積最小值.【詳解】（1）由題設(shè)，可得，故拋物線(xiàn)的方程為，則準(zhǔn)線(xiàn)方程為；（2）不妨設(shè)，又，則，故，圓圓心為，半徑，令分別在x軸上、下方，則，若，則直線(xiàn)的傾斜角為，且，又，則，整理得：，則，即，而，得，若，則直線(xiàn)的傾斜角為，且，又，則，整理得：，則，即，而，得，又過(guò)與圓的切線(xiàn)長(zhǎng)為，綜上，周長(zhǎng)為，僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，故時(shí)面積的最小值，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性也可取到最小面積.綜上，面積的最小值.22．在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.(1)求和的直角坐標(biāo)方程；(2)求上的點(diǎn)到距離的最小值.【答案】(1)曲線(xiàn)：，，直線(xiàn)：.(2)【分析】（1）消去參數(shù)得到曲線(xiàn)的普通方程，需注意的取值范圍，再根據(jù)，將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)曲線(xiàn)的參數(shù)方程為，（為參數(shù)，），表示出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)求出距離最小值.【詳解】（1）曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），因?yàn)?，且，所以曲線(xiàn)的普通方程為，，因?yàn)橹本€(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，由，可得直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為.（2）由（