2023屆山東省淄博市部分學(xué)校高三下學(xué)期4月階段性診斷考試數(shù)學(xué)試題

2023屆山東省淄博市部分學(xué)校高三下學(xué)期4月階段性診斷考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將寫為化簡即可.【詳解】因?yàn)?，所?故選：B2．已知集合，則下列集合為空集的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別求出集合，然后利用集合的運(yùn)算逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可求解.【詳解】集合，集合，所以，，對于，，故選項(xiàng)不滿足題意；對于，，故選項(xiàng)滿足題意；對于，，故選項(xiàng)不滿足題意；對于，，故選項(xiàng)不滿足題意，故選：.3．已知向量滿足，且，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量在向量上的投影向量的定義計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)橄蛄浚遥敲?，所以向量在向量上的投影向量為，故選：D.4．“”是“圓：與圓：有公切線”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系確定的取值范圍，即可判斷充分必要性.【詳解】圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，若兩圓有公切線，則，即，解得或，所以“”是“圓：與圓：有公切線”的充分而不必要條件.故選：A.5．某學(xué)生到工廠實(shí)踐，欲將一個底面半徑為2，高為3的實(shí)心圓錐體工件切割成一個圓柱體，并使圓柱體的一個底面落在圓錐體的底面內(nèi).若不考慮損耗，則得到的圓柱體的最大體積是A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件求出圓柱的體積，利用基本不等式研究函數(shù)的最值即可．【詳解】解：設(shè)圓柱的半徑為，高為，體積為，則由題意可得，，圓柱的體積為，則．當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．圓柱的最大體積為，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的體積和基本不等式的實(shí)際應(yīng)用，利用條件建立體積函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．6．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)了橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點(diǎn)射出的光線，經(jīng)橢圓反射，其反射光線必經(jīng)過橢圓的另一焦點(diǎn)．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，若從橢圓右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓上的點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后，滿足，且，則該橢圓的離心率為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意，作圖，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，可設(shè)線段的表示，根據(jù)齊次方程的思想，可得答案.【詳解】由題意，可作圖如下：則，，即，可設(shè)，，，由，則，即，，在中，，則.故選：D.7．已知是方程的兩根，有以下四個命題：甲：；乙：；丙：；?。?如果其中只有一個假命題，則該命題是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【分析】根據(jù)韋達(dá)定理可得，對乙?丁運(yùn)算分析可知乙?丁一真一假，分別假設(shè)乙?丁是假命題，結(jié)合其他命題檢驗(yàn)判斷．【詳解】因?yàn)槭欠匠痰膬筛?，則甲：；丙：.若乙?丁都是真命題，則，所以，，兩個假命題，與題意不符，所以乙?丁一真一假，假設(shè)丁是假命題，由丙和甲得，所以，即，所以，與乙不符，假設(shè)不成立；假設(shè)乙是假命題，由丙和甲得，又，所以，即與丙相符，假設(shè)成立；故假命題是乙，故選：．8．已知定義在上的函數(shù)滿足為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，由條件判斷其奇偶性，單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式即可.【詳解】令，所以，因?yàn)椋?，化簡得，所以是上的奇函?shù)；，因?yàn)楫?dāng)時，，所以當(dāng)時，，從而在上單調(diào)遞增，又是上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增；考慮到，由，得，即，由在上單調(diào)遞增，得解得，所以不等式的解集為，故選：B.二、多選題9．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A．的最小正周期為B．當(dāng)時，的最大值為C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為【答案】AD【分析】根據(jù)中，，的幾何意義，求得的解析式，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，逐項(xiàng)分析即可．【詳解】由圖可知，，，即，又，所以，由五點(diǎn)作圖法可得，所以，，對于A，的最小正周期為，故A正確；對于B，當(dāng)時，，所以，所以的最大值為2，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，，，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對稱，故C錯誤；對于D，由，可得，，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，故D正確．故選：AD．10．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為雙曲線的上下焦點(diǎn)，是上下頂點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為B．以為圓心且與漸近線相切的圓的方程為C．若點(diǎn)到的兩條漸近線的距離分別為，則D．直線的斜率之積是定值【答案】BCD【分析】根據(jù)方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，判斷A，求出焦點(diǎn)到漸近線的距離得圓方程判斷B，設(shè)，計(jì)算它到漸近線的距離之積判斷C，計(jì)算與頂點(diǎn)連線的斜率之積判斷D．【詳解】，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，A錯誤，，一條漸近線的方程為，到漸近線的距離為，圓方程為，B正確；設(shè)，則，即，另一條漸近線的方程為，則，C正確；由題意，，，D正確．故選：BCD．11．已知的面積是1，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)一動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若是線段的中點(diǎn)，則B．若，則的面積是C．若點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是一條直線D．若在直線上，則最小值是【答案】CD【分析】利用向量線性運(yùn)算結(jié)合條件可判斷A，由題可得為的中點(diǎn)進(jìn)而可判斷B，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律可得進(jìn)而可判斷C，取BC中點(diǎn)為F，作于，將化為，然后找到間關(guān)系，然后利用基本不等式可判斷D.【詳解】對A，若是線段的中點(diǎn)，則，故A錯誤；對B，由，可得，即為的中點(diǎn)，則的面積為，故B錯誤；對C，由，可得，即，所以點(diǎn)的軌跡是過與垂直的一條直線，故C正確；對D，如圖，取BC中點(diǎn)為F，作于，則，又，，則，得，注意到，則，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)，且時取等號，故D正確.故選：CD.12．已知數(shù)列的前項(xiàng)和是，滿足對成立，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．一定是遞減數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．【答案】AC【分析】根據(jù)給定的遞推公式，結(jié)合“”探討數(shù)列的性質(zhì)，再逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】由得：，當(dāng)時，，則，整理得，顯然，則，因此數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1，C正確；，解得，A正確；，當(dāng)時，，當(dāng)時，，滿足上式，因此，此時，，，是遞減數(shù)列，當(dāng)時，，當(dāng)時，，滿足上式，因此，此時，，，是遞增數(shù)列，B錯誤；當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，D錯誤.故選：AC【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：給出與的遞推關(guān)系，求，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與n之間的關(guān)系，再求.三、填空題13．記為等比數(shù)列的前，則__________.【答案】【分析】由可得，再由求和公式求比值即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，可得，即，所以.故答案為：17.14．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則__________.【答案】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求解.【詳解】，則，所以由得，，，．故答案為：．15．設(shè)，滿足，則__________.【答案】【分析】令，則，根據(jù)即可求解．【詳解】令，則，所以，整理得，解得(負(fù)值舍去)，所以.故答案為：.16．在三棱錐中，底面為的頂點(diǎn)均在球的球面上，是該球面上一點(diǎn)，且三棱錐體積的最大值是，則球的表面積為__________.【答案】【分析】首先證明的中點(diǎn)為三棱錐外接球球心，到平面的距離為，到平面的距離的最大值為，而三棱錐體積的最大值是，由棱錐體積公式列方程求得，從而得球半徑后可得球表面積．【詳解】由且是中點(diǎn)得,又平面,平面,所以,同理,，而,平面,所以平面,又平面,所以,設(shè)中點(diǎn)為,則到四點(diǎn)距離相等,即為三棱錐的外接球的球心,三棱錐體積的最大值是，是中點(diǎn),則三棱錐體積的最大值是，又由平面（即平面），設(shè)是中點(diǎn)，連接，則，所以平面，所以到平面的距離為，，即球的半徑為，所以到平面的距離的最大值為，而，所以，解得，所以球的半徑為，表面積為．故答案為：．四、解答題17．如圖所示，為平面四邊形的對角線，設(shè)，為等邊三角形，記.(1)當(dāng)時，求的值；(2)設(shè)為四邊形的面積，用含有的關(guān)系式表示，并求的最大值.【答案】(1)；(2)；.【分析】（1）利用正弦定理及余弦定理結(jié)合條件即得；（2）利用余弦定理及三角形面積公式可表示出四邊形的面積，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】（1）在中，因?yàn)?，由正弦定理，所以，由余弦定理，得，其中，故；?）在中，因?yàn)?，所以由余弦定理可得，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，因?yàn)?，所以四邊形的面積為，因?yàn)?，所以，故?dāng)時，取得最大值1，即的最大值為.18．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為滿足(1)求取得最小值時的值；(2)若，證明：.【答案】(1)2；(2)證明見解析.【分析】（1）利用累加法結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即得；（2）利用裂項(xiàng)求和法結(jié)合條件即得.【詳解】（1）由，得，累加可得：，所以，顯然取最小值時，的值為2.（2）若，則，即，所以顯然時，，可得.19．如圖，是圓柱底面的內(nèi)接三角形，為圓柱的母線，其中，圓柱的母線和其底面圓直徑的長都為2.(1)當(dāng)時，證明：；(2)當(dāng)三棱倠體積最大值時，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理結(jié)合條件可得平面，平面，進(jìn)而即得；（2）根據(jù)正余弦定理結(jié)合條件可得為正三角形，然后利用坐標(biāo)法，根據(jù)面面角的向量求法即得.【詳解】（1）由于為圓柱的母線，所以平面，平面，可得：，由已知，且平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)槠矫妫矫?，，所以，且平面平面，所以平面，且平面，所以；?）當(dāng)三棱錐體積最大值時，即的面積取得最大值，設(shè)的三邊為，因?yàn)椋?，由余弦定理可得，?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，所以，此時為正三角形，以所在直線為軸，所在直線為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，其中，則，令，得，設(shè)平面的法向量為，其中，滿足，，令，得，平面與平面夾角的余弦值為.20．兩個安全設(shè)備間由一組對接碼進(jìn)行“握手”連接，對接碼是一個由“1，2，3，4”4個數(shù)字組成的六位數(shù)，每個數(shù)字至少出現(xiàn)一次.(1)求滿足條件的對接碼的個數(shù)；(2)若對接密碼中數(shù)字1出現(xiàn)的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)1560(2)分布列見解析，【分析】（1）分一個數(shù)字出現(xiàn)3次，另外三個數(shù)字出現(xiàn)1次和兩個數(shù)字各出現(xiàn)2次，另外兩數(shù)字各出現(xiàn)1次討論即可；（2）首先得到的取值為，分別寫出其概率，利用均值公式即可得到答案.【詳解】（1）當(dāng)對接碼中一個數(shù)字出現(xiàn)3次，另外三個數(shù)字各出現(xiàn)1次時，種數(shù)為：，當(dāng)對接碼中兩個數(shù)字各出現(xiàn)2次，另外兩個數(shù)字各出現(xiàn)1次時，種數(shù)為：，所有滿足條件的對接碼的個數(shù)為1560.（2）隨機(jī)變量的取值為，其分布列為：，，，故概率分布表為：故.21．“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動，在我國源遠(yuǎn)流長.某些折紙活動蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙（如圖）步驟1：設(shè)圓心是，在圓內(nèi)異于圓心處取一點(diǎn)，標(biāo)記為；步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過點(diǎn)；步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕；步驟4：不斷重復(fù)步驟2和3，就能得到越來越多的折痕.則這些折痕所圍成的圖形是一個橢圓.現(xiàn)取半徑為的圓形紙片，定點(diǎn)到圓心的距離為的方向?yàn)檩S正方向，線段中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系.(1)求折痕圍成的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)做橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別是，求面積的最大值，并確定此時點(diǎn)的坐標(biāo).注：橢圓：上任意一點(diǎn)處的切線方程是：.【答案】(1)；(2)，.【分析】（1）利用橢圓的定義結(jié)合條件即得；（2）由題可得直線的方程是，然后利用韋達(dá)定理法結(jié)合條件可表示出，然后利用換元法利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即得.【詳解】（1）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，則，所以點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，設(shè)橢圓的方程為，所以，則，所以橢圓方程為；（2）設(shè)，則，切線方程：，切線方程：，兩直線都經(jīng)過點(diǎn)，所以，得，，從而直線的方程是：，由，得，由韋達(dá)定理，得，，點(diǎn)到直線的距離，，其中，令，則，令，則，在上遞增，，即時，的面積取到最大值，此時點(diǎn).22．已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，且，求證：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）因參數(shù)在函數(shù)的位置特殊，考慮到參數(shù)變化時，函數(shù)定義域在變化，導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)也在變化，所以比較時候需要兼顧零點(diǎn)在不在定義域上，也需要考慮零點(diǎn)之間的大小比較.（2）對含參的雙變量問題，核心在于消元，本問通過，，之間的關(guān)系，把證明轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的單調(diào)性問題，在結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即證.【詳解】（1）易知函數(shù)的定義域?yàn)?又.當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減.（2）由，則，由題意知是