集合的概念和運算

集合的概念和運算第1頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四第2頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四考綱要求考情分析1.集合的含義與表示(1)了解集合的含義、元素與集合的“屬于”關(guān)系．(2)能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題．2．集合間的基本關(guān)系(1)理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集．(2)在具體情境中，了解全集與空集的含義．3．集合的基本運算(1)理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集．(2)理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集．(3)能使用韋恩圖(Venn)表達集合的關(guān)系及運算.集合是高中數(shù)學的基礎(chǔ)內(nèi)容，也是高考數(shù)學的必考內(nèi)容，難度不大，一般是一道選擇題或填空題．通過對近三年高考試題的統(tǒng)計分析可以看出，對集合內(nèi)容的考查一般以兩種方式出現(xiàn)：一是考查集合的概念、集合間的關(guān)系及集合的運算．集合的概念以考查集合中元素的特性為重點，集合間的關(guān)系以子集、真子集、空集的定義為重點，集合的運算多以考查交、并、補為主，多結(jié)合Venn圖、數(shù)軸等工具，如2011年遼寧卷．二是與其他知識相聯(lián)系，以集合語言和集合思想為載體，考查函數(shù)的定義域、值域，函數(shù)、方程與不等式的關(guān)系，直線與曲線的位置關(guān)系等問題，如2011年湖北卷、陜西卷.第3頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四(對應學生用書P1)

知識梳理1．集合的概念與表示(1)集合元素的三個特征：確定性、互異性、無序性．(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于關(guān)系，用符號∈或?表示．(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法、區(qū)間法．(4)集合的分類：按集合中元素個數(shù)劃分，集合可以分為有限集、無限集、空集．(5)常用數(shù)集及表示：自然數(shù)集N；正整數(shù)集N＋(或N*)；整數(shù)集Z；有理數(shù)集Q；實數(shù)集R.第4頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四問題探究1：集合{?}是空集嗎？它與{0}，?有什么區(qū)別？提示：集合{?}不是空集，因為它含有元素?，同理，{0}也不是空集，因為它含有元素0，但{?}與{0}不同，因為它們的元素不同，?是不含任何元素的集合．第5頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四第6頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四問題探究2：若A含有n個元素，則A的子集有____個，A的非空子集有____個，A的非空真子集有____個．提示：2n

2n－1

2n－2第7頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四(2)集合相等若A?B且B?A，則A＝B.3．集合的運算及其性質(zhì)(1)集合的并、交、補運算并集：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}；交集：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；補集：?UA＝{x|x∈U且x?A}．U為全集，?UA表示A相對于全集U的補集．第8頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四(2)集合的運算性質(zhì)并集的性質(zhì)A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A.交集的性質(zhì)A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B.補集的性質(zhì)A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?；?U(?UA)＝A；?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)；?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．第9頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四答案：D第10頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四2．(2011年重慶八中第四次月考)已知全集U＝R，則正確表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}關(guān)系的韋恩(Venn)圖是(

)答案：B第11頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四解析：當a＝0時，B＝{0}；當a＝1時，B＝{－1,0,1}；當a＝2時，B＝{－2，－1,0,1,2}；當a＝3時，B＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，顯然只有a＝3時滿足條件，故選D.答案：D第12頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四答案：B第13頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四5．(2011年北京高考)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，則a的取值范圍是(

)A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：P＝[－1,1]，M＝{a}，∵P∪M＝P，∴M?P，∴－1≤a≤1.答案：C第14頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四6．(2011年上海高考)若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，則?UA＝________.解析：∵U＝R，A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}＝{x|x≤0或x≥1}，∴?UA＝{x|0<x<1}．答案：{x|0<x<1}第15頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四(對應學生用書P2)

考點1

集合的基本概念1.掌握集合的概念，關(guān)鍵是把握集合中元素的特性，要特別注意集合中元素的互異性，一方面利用集合元素的互異性能順利找到解題的切入點；另一方面，在解答完畢時，注意檢驗集合的元素是否滿足互異性以確保答案正確．2．用描述法表示集合時，首先應清楚集合的類型和元素的性質(zhì)．如集合{y|y＝2x}，{x|y＝2x}，{(x，y)|y＝2x}表示不同的集合．第16頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四例1(1)下列各組中各個集合的意義是否相同，為什么？①{1,5}，{(1,5)}，{5,1}，{(5,1)}；②{x|x2－ax－1＝0}與{a|方程x2－ax－1＝0有實根}．(2)已知集合A＝{a－2,2a2＋5a,12}，且－3∈A，求a.【解】

(1)①{1,5}和{5,1}表示的意義相同，都表示由數(shù)1和5兩個元素構(gòu)成的集合；{(1,5)}和{(5,1)}表示的意義不同，它表示由一個有序?qū)崝?shù)對構(gòu)成的單元素集合，所以與順序有關(guān)系．②{x|x2－ax－1＝0}和{a|方程x2－ax－1＝0有實根}的意義不同．{x|x2－ax－1＝0}表示由二次方程x2－ax－1＝0的解構(gòu)成的集合，而集合{a|方程x2－ax－1＝0有實根}表示方程x2－ax－1＝0有實數(shù)解時參數(shù)a的范圍構(gòu)成的集合．第17頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四第18頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四(1)在解決兩個數(shù)集關(guān)系問題時，合理運用數(shù)軸分析與求解可避免出錯．在解含有參數(shù)的不等式(或方程)時，要對參數(shù)進行分類討論，分類時要遵循“不重不漏”的原則，然后對于每一類情況都要給出問題的解答．(2)對于兩集合A，B，當A?B時，別忘記A＝?的情況．第19頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四解析：(1)集合{x|x＝0}和{0}表示的意義相同，{x|x＝0}和{(x，y)|x＝0，y∈R}的意義不同．{x|x＝0}表示以x＝0為元素的單元素集合；{(x，y)|x＝0，y∈R}表示y軸上的點構(gòu)成的集合．(2)由已知得＝0及a≠0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1.又根據(jù)集合中元素的互異性a＝1應舍去，因而a＝－1，故a2011＋b2011＝(－1)2011＝－1.答案：(1)見解析(2)－1第20頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四考點2

集合的基本關(guān)系1.判斷集合間關(guān)系往往轉(zhuǎn)化為元素與集合間關(guān)系，對描述法表示的集合要抓住元素及屬性，可將元素列舉出來或通過元素特征，對連續(xù)數(shù)集和抽象集合，常借助數(shù)形結(jié)合的思想(借助數(shù)軸，韋恩圖及函數(shù)圖象等)解決．2．子集與真子集的區(qū)別與聯(lián)系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集．若集合A有n個元素，則其子集個數(shù)為2n，真子集個數(shù)為2n－1.第21頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四例2(1)若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S?P，求由a的可能取值組成的集合．(2)若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B?A，求由m的可能取值組成的集合．第22頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四第23頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四(1)在解決兩個數(shù)集關(guān)系問題時，合理運用數(shù)軸分析與求解可避免出錯．在解含有參數(shù)的不等式(或方程)時，要對參數(shù)進行分類討論，分類時要遵循“不重不漏”的原則，然后對于每一類情況都要給出問題的解答．第24頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四第25頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四第26頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四考點3

集合的基本運算在進行集合的運算時，先看清集合的元素和所滿足的條件，再把所給集合化為最簡形式，并合理轉(zhuǎn)化求解，必要時充分利用數(shù)軸、韋恩圖、圖象等工具使問題直觀化，并會運用分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法，使運算更加直觀，簡潔．第27頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四例3(1)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，則集合?U(A∪B)中元素的個數(shù)為(

)A．1個B．2個C．3個D．4個(2)(2011年遼寧)已知M，N為集合I的非空真子集，且M、N不相等，若N∩(?IM)＝?，則M∪N＝(

)A．M

B．N

C．I

D．?第28頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四【答案】

(1)B

(2)A第29頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四(1)(2010年江蘇高考)設(shè)集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，則實數(shù)a的值為________．(2)(2010年遼寧高考)已知A，B均為集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(?UB)∩A＝{9}，則A＝(

)A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}解析：(1)∵A∩B＝{3}，a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝1.故填1.(2)由題意知集合A中含有3,9兩元素，集合B中不含9，由題設(shè)條件，集合B最多含有元素1,3,5,7，故集合A＝{3,9}，選D.答案：(1)1

(2)D第30頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四考點4

與集合有關(guān)的新概念問題與集合有關(guān)的新概念問題屬于信息遷移類問題，它是化歸思想的具體運用，是近幾年高考的熱點問題．在新給出的運算法則的前提下，將題目中的條件轉(zhuǎn)化成符合新的運算法則的形式，是解答此類問題的關(guān)鍵．第31頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四例4已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}．(1)試定義一種新的集合運算Δ，使AΔB＝{x|1<x<2}；(2)按(1)的運算，求BΔA.【解】

A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2≤x≤4}．(1)∵AΔB＝{x|1<x<2}，由上圖可知AΔB中的元素都在A中但不在B中，∴定義AΔB＝{x|x∈A，且x?B}．(2)由(1)可知BΔA＝{x|x∈B，且x?A}＝{x|3≤x≤4}．第32頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四(2011年杭州五校質(zhì)檢)設(shè)全集U＝{x∈N*|x<10}，對集合A，B，定義運算“?”，A?B＝?U(A∪B)，若集合M＝{1,2,3,4,5}，N＝{1,2,3,5,7,9}，則M?N＝(

)A．{4,6,7,8,9} B．{1,2,3,5}C．{0,6,8} D．{6,8}解析：根據(jù)題意，M∪N＝{1,2,3,4,5,7,9}，而U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∴M?N＝?U(M∪N)＝{6,8}，故選D.答案：D第33頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四第34頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四第35頁，共39頁，2023年，2月20日，星期四利用數(shù)軸處理集合的交集、并集、補集運算時，要注意端點是實心還是空心，在含有參數(shù)時，要注意驗證區(qū)間端點是否符合題意，如本節(jié)易錯盤點例題．在集合的概念與運算中還要注意：(1)要注意區(qū)分兩大關(guān)系：一是元素與集合的從屬關(guān)系，二是集合與集合的包含關(guān)系．(2)在利用集合中元素相等列方程求未知數(shù)的值時，要注意利用集合中元素的互異性這一性質(zhì)進行檢驗，忽視集合中元素的性質(zhì)是導致錯誤的常見原因之一．如本節(jié)例1中的(