2023年新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)專題38橢圓及其性質(zhì)（解析版）

專題38橢圓及其性質(zhì)

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

知識(shí)點(diǎn)一：橢圓的定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)耳，居的距離之和等于常數(shù)2a（20>|百入|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做

橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距，記作2c,定義用集合語(yǔ)言表示為：

{P||P耳|+|PF21=2a（2a>|FtF2|=2c>0）}

注意：當(dāng)2a=2c時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段；

當(dāng)2a<2c時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在.

知識(shí)點(diǎn)二：橢圓的方程、圖形與性質(zhì)

橢圓的方程、圖形與性質(zhì)所示.

焦點(diǎn)的位

焦點(diǎn)在工軸上焦點(diǎn)在y軸上

置

圖形

4zkOa

22

標(biāo)準(zhǔn)方程/+方=1(〃>八0)號(hào)+%=l(a>b>0)

統(tǒng)一方程iw^+ny2=l(m>0,n>0,加工〃)

嗎，。為參數(shù)0[0加）

參數(shù)方程e為參數(shù)電Q26

[y=bsinu[y=8sm夕

第一定義到兩定點(diǎn)耳、F2的距離之和等于常數(shù)2。，BPlMf；\+\MF2\=2a(2a>\FxF2\)

范圍—a<x<aS,-b<y<b-b<x<bS,-a<y<a

A1(-4,0)、A2(67,0)A[(0,-4)、A2(O,^7)

頂點(diǎn)

孫

B"0,B2(O,i)B1(",0)、B2(fo,0)

軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)=2a,短軸長(zhǎng)=2〃長(zhǎng)軸長(zhǎng)=2?,短軸長(zhǎng)=%

對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱

焦點(diǎn)月（-G。）、K（c',0）耳(0,-c)、g(0,c)

焦距222

\FtF2\=2c(c=a-b)

c[c^J/Ja2n)

離心率e丁仁

3

準(zhǔn)線方程

C

>1'外>1'外

點(diǎn)和橢圓22

5.+A=lo點(diǎn)(%,%)在橢圓一上=1=點(diǎn)(%,%)在橢圓.上

的關(guān)系a2b2

<1、內(nèi)<1內(nèi)

=i（*0,%）為切點(diǎn)）浮+警=1(5,%)為切點(diǎn))

ab"ab

切線方程

對(duì)于過(guò)橢圓上一點(diǎn)（為,%）的切線方程，只需將橢圓方程中/換為x°x,V換為

%y可得

切點(diǎn)弦所

在的直線￥+浮=1（點(diǎn)8,%）在橢圓外）岑+等=1（點(diǎn)（％,%）在橢圓外）

arbarb

方程

*-1，心=4叫，(

①cos0=8為短軸的端點(diǎn)）

—rr,sin0=b2tan—=\，|%|,焦點(diǎn)在工軸上/尸「尸

②SAPF昌=2?2[

20|工01，焦點(diǎn)在〉軸上

理7PfXn.Vn)

°fjx

住點(diǎn)二角

形面積

J當(dāng)尸點(diǎn)在長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，min=b2

當(dāng)P點(diǎn)在短軸端點(diǎn)時(shí)，（4乃）max=a2

耳點(diǎn)三角］畛中一般要用到的關(guān)系4芝

'1岬1+1MF?|=2a（2a>2c）

夕咫||%|sin/6尸鳥）

SRPRF?=

出『+|叼-2|叼P鳥IcosN可尸巴

上焦半徑：|M用="-ey0

左焦半徑：|M￡|=a+eXo

下焦半徑：|町|=〃+緲0

焦半徑又焦半徑：用="-%>

焦半徑最大值a+c,最小值a-c

通徑過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦叫通徑：通徑長(zhǎng)=2幺（最短的過(guò)焦點(diǎn)的弦）

a

設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為Aa，y）,B（七,〉2），kAB=k,

則弦長(zhǎng)=ji+X卜—司=ji+左?/芭—9了-4大9

弦長(zhǎng)公式

=+-必）2_4y必=‘1+"2舍

2

（其中a是消y后關(guān)于X的一元二次方程的x的系數(shù)，△是判別式）

【方法技巧與總結(jié)】

（1）過(guò)橢圓的焦點(diǎn)與橢圓的長(zhǎng)軸垂直的直線被桶圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其長(zhǎng)為

①橢圓上到中心距離最小的點(diǎn)是短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，到中心距離最大的點(diǎn)是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).

②橢圓上到焦點(diǎn)距離最大和最小的點(diǎn)是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).

距離的最大值為a+c,距離的最小值為a-c.

（2）橢圓的切線

①橢圓三+W=i（”>6>0）上一點(diǎn)打不，為）處的切線方程是H+岑=1；

ab~ab

②過(guò)橢圓三+耳=1（a>b>0）外一點(diǎn)P（X0,%）,所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是警+渾=1；

a'ab-

③橢圓^-+4=1（a>6>0）與直線Ar+8y+C=0相切的條件是A2a2+序從..

crb'

【題型歸納目錄】

題型一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

題型二：橢圓方程的充要條件

題型三：橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積及其他問題

題型四：橢圓上兩點(diǎn)距離的最值問題

題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題

題型六：離心率的值及取值范圍

方向1：利用橢圓定義去轉(zhuǎn)換

方向2：利用。與c建立一次二次方程不等式

方向3：利用最大頂角。滿足sing

2

方向4：坐標(biāo)法

方向5：找?guī)缀侮P(guān)系，利用余弦定理

方向6：找?guī)缀侮P(guān)系，利用正弦定理

方向7：利用基本不等式

方向8：利用焦半徑的取值范圍為[a-c,a+c].

方向％利用橢圓第三定義.

題型七：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)問題

題型八：利用第一定義求解軌跡

【典例例題】

題型一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

例1.(2022.全國(guó).高三專題練習(xí))點(diǎn)P為橢圓4/+y2=i6上一點(diǎn)，小心為該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若|尸用=3,

則|叫=()

A.13B.1C.7D.5

【答案】D

【解析】橢圓方程為：J+,=l，由橢圓定義可知：歸用+歸耳=2。=8,

故|P闖=5

故選：D

【方法技巧與總結(jié)】

(1)定義法：根據(jù)橢圓定義，確定/力2的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，直接寫出橢圓方程.

(2)待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點(diǎn)是在X軸還是y軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件列出

a,反c的方程組，解出從而求得標(biāo)準(zhǔn)方程.

注意：①如果橢圓的焦點(diǎn)位置不能確定，可設(shè)方程為AX2+W=1(A>0,8>0,AW8).

2222

②與橢圓三+二=1共焦點(diǎn)的橢圓可設(shè)為一二一+二=1(%>—切水>—〃,〃-〃).

mnm+kn+k

③與橢圓￡+Z=l(a>b>0)有相同離心率的橢圓，可設(shè)為二+工=尢(4>0,焦點(diǎn)在x軸上)或

a~b~a"b~

22

*+方=右(&>0,焦點(diǎn)在y軸上).

例2.(2022.全國(guó).高三專題練習(xí))求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,短軸長(zhǎng)為2,焦點(diǎn)在y軸上；

⑵經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(0,3),8(4,0)；

⑶一個(gè)焦點(diǎn)為(1,0),一個(gè)頂點(diǎn)為(2,0)；

(4)一個(gè)焦點(diǎn)為(夜,0),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4；

(5)一個(gè)焦點(diǎn)為(-括,0),離心率為當(dāng)；

(6)一個(gè)焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)的距離分別為6,2.

2

【解析】(I)由題設(shè)，a=2,b=\,又焦點(diǎn)在.y軸匕故橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為匕+/=1；

（2）設(shè)橢圓方程為￡+￡=1,又A（0,3）,8（4,0）在橢圓上,

a~b

京=1仿2=922

所以匕，即｛2，故橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為二+匕=1?

b16=1/=16169

（3）由題設(shè)，a=2,c=l,則/=/一,2=3,又焦點(diǎn)為（1,0）

所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為工+￡=1.

43

（4）由題設(shè)，a=2,c=五,則62=/一°2=2,又焦點(diǎn)為（0,0）

尤2v2

所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為—+^-=1.

42

（5）由題設(shè)，c=?（=g,貝IJ〃=3,從=/一/=6,又焦點(diǎn)為（一百,0）

所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為片+《=1.

96

（a+c=6

（6）由題設(shè)，｛則a=4,c=2,故從=42一/=12,

[a-c=2

所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為三+二=1或f+蘭=1.

16121612

例3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)（6,一6），且與橢圓匕+工=1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

259

【答案】^+―=1

204

【解析】所求橢圓與橢圓（+：=1的焦點(diǎn)相同，則其焦點(diǎn)在y軸上，半焦距c有/=25-9=16,

設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為]+《=13＞匕＞0）,于是得/電2=16,

ab

sa

又點(diǎn)（6,一君）在所求橢圓匕即1■+3=i,

53

聯(lián)立兩個(gè)方程得有+小1,即（從）2+昉2_48=0,解得爐=4,則“2=20,

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為亡+蘭=L

204

故答案為：^+―=1

204

例4.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為耳（-3,0）,6（3,0）,為了使橢圓C的方程

為《+身=1，可以再添加一個(gè)條件：_____.

25Io

【答案】橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為10（答案不唯一）

【解析】根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，C=3,并且焦點(diǎn)在X軸，若使橢圓方程為《+衛(wèi)=1,只需。=5,所以

25lo

可添加條件“橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為10”.

故答案為：橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為10（答案不唯一）

例5.（2022.全國(guó).高三專題練習(xí)（理））過(guò)點(diǎn)（省,右），且與橢圓（+^=1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

【答案】￡+二=1

204

片+蘭=1的焦點(diǎn)相同,

【解析】因?yàn)樗髾E圓與橢圓

259

所以其焦點(diǎn)在y軸上，且切=25—9=16-

2?>

設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為5+0=1（。>6>0），

a-b

因?yàn)椤?=16，且02=儲(chǔ)一>2,故。2_/=16①,

又點(diǎn)（6,向）在所求橢圓上，

所以二5十33=1②

arb-

由①@得從=4,a2=20,

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+工=1.

204

例6.（2022.山西大同.高三階段練習(xí)（文））如圖，kF2分別為橢圓￡+￡=1的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在橢圓上,

ab'

VPOM是面積為G的正三角形，則從的值是（）

【答案】A

【解析】由于VPOE是面積為6的正三角形，

所以PTGc|II.—xc2=6,c=2,

V22J4

則P（l,石），代入橢圓方程得5+1=1，±:+奈=1，解得匕2=26.

故選：A

題型二：橢圓方程的充要條件

fv2

例7.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）“4<%<10”是“方程上二+。一=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”的（）

k-4IQ-k

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D,既不充分也不必要條件

【答案】B

92

【解析】因?yàn)榉匠桃欢?」^=1表示焦點(diǎn)在工軸上的橢圓，

k-410-k

k-4>0

所以<10-左>0,解得7vRvlO,

k-4>10-k

故是“方程上+^^二1表示焦點(diǎn)在入軸上的橢圓”的必要不充分條件.

k—4W-k

故選：B

【方法技巧與總結(jié)】

—+—=1表示橢圓的充要條件為：m>0,7?>0,mwn；

mn

">2

三+匯=1表示雙曲線方程的充要條件為：mn<0;

mn

/+上=1表示圓方程的充要條件為：m^n>0.

mn

例8.（2022?江西模擬預(yù)測(cè)（理））0<6<1”是“方程加=1-加2表示的曲線為橢圓，，的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】［解法一］

方程以2=1-4即方程#+少=1,表示橢圓的充分必要條件是。>0/>0,"°,

顯然,0<b<l”是“。>0力>0,"6”既不充分也不必要條件,

故"0”<1,是“方程加=1-加2表示的曲線為橢圓,，的既不充分也不必要條件，

［解法二］

當(dāng)。=/?二!時(shí)，滿足“Ovavl,0<Z?<r\此時(shí)題中方程可化為：V+y2=4,表示的曲線是圓而不是橢圓,

4

22

-廠-+，--工---=J1

當(dāng)。=1力=4時(shí)，不滿足o<b<r,只是題中方程可化為：12（ij，表示中心在原點(diǎn)，半長(zhǎng)

軸為L(zhǎng)半短軸為;的橢圓,

故：”是“方程ox2=l-by2表示的曲線為橢圓”的既不充分也不必要條件，

故選：D

例9.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知"，為3與5的等差中項(xiàng)，〃為4與16的等比中項(xiàng)，則下列對(duì)曲線

C:江+￡=1描述錯(cuò)誤的是（）

mn

A.曲線C可表示為焦點(diǎn)在y軸的橢圓B.曲線C可表示為焦距是4的雙曲線

C.曲線C可表示為離心率是孝的橢圓D.曲線C可表示為漸近線方程是〉=±岳的雙曲線

【答案】B

【解析】由機(jī)為3與5的等差中項(xiàng)，得26=3+5=8,即，w=4,由〃為4與16的等比中項(xiàng)，得/=4x16=64，

即〃=±8,則曲線c：^+q=i的方程為斗+4=1或其中￡+4=1表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓,

mn484848

此時(shí)它的離心率e=￡=、曰三==且，故A正確，C正確；

a\a2V?2V82

22

其中一一卷=1表示焦點(diǎn)在X軸的雙曲線，焦距為2c=2"75=2"兩=4百，漸近線方程為y=

4o

+-x=±^x=+y/2x,故8不正確，。正確.

a2

故選：B

例10.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）關(guān)于橢圓C：—+^-=1,有下列四個(gè)命題：甲：加=4；乙：〃=9；丙:

mn

C的焦距為6；T：C的焦點(diǎn)在X軸上.如果只有一個(gè)假命題，則該命題是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】A

【解析】當(dāng)甲乙為真命題時(shí)，橢圓方程為父+￡=1,

49

橢圓的焦距為：2c=2行7=26,且焦點(diǎn)在V軸上，

此時(shí)丙和丁都是假命題，不符合題意，因此甲和乙有一個(gè)是假命題.

當(dāng)乙，丙和丁是真命題時(shí)，*=79=3,2c=6,

a2=tr+/=9+9=18,

22

此時(shí)橢圓方程為：—+^=1,符合題意，故甲是假命題.

189

故選：A.

例11.（2022?全國(guó)?高三階段練習(xí)）“%>5”是“曲線C：工+上一=1（&eR）是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”的

k-31-k

（）

A.充要條件B.既不充分也不必要條件

C.必要不充分條件D.充分不必要條件

【答案】C

【解析】因?yàn)椤?上=1（ZeR）是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，

k-31-k

k-3>l-k

所以，k-3>0，解得：5<k<7,

l-k>0

由5vAv7可得k>5成立，反之k>5不能推出5v左v7成立.

22

所以“5”是“曲線C：-￡-+二_=1（代R）是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”的必要不充分條件.

k-31-k

故選：C.

題型三：橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積及其他問題

例12.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)汨知F,,工是橢圓C:^+?=l的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓C上，則\MF\]MF]

的最大值為（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【解析】由橢圓C：[+，=l可得。2=9,所以。=3,

因?yàn)辄c(diǎn)M在C上，所以1Ml+|M入|=2a=6,

所以|9|"區(qū)=（）9,

當(dāng)且僅當(dāng)IM耳1=1MF.|=3時(shí)等號(hào)成立，|M耳|?|M入I最大值為9.

故選：C.

【方法技巧與總結(jié)】

焦點(diǎn)三角形的問題常用定義與解三角形的知識(shí)來(lái)解決，對(duì)于涉及橢圓上點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)將距離問題常

用定義，即|P4|+|P6|=2a.

例13.（2022.全國(guó).高三專題練習(xí)）橢圓*『1的焦點(diǎn)為埠外，點(diǎn)尸在橢圓上，若附|=2,則“Pg的

大小為一.

【答案】120°

【解析】|尸耳|+|尸周=%=6,.?.|尸8|=6—儼用=2.

怛印2+川訐一|百月|2

16+4-281

在中,COS/耳Pg=

2「耳|療用2x4x2--2

???/耳下5=120。.

故答案為：120.

22

例14.（多選題）（2022?河北?高三階段練習(xí)）已知橢圓M-.^+^=l[a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為月（-73,0）,

瑪（6,0）,過(guò)點(diǎn)心的直線與該橢圓相交于A,5兩點(diǎn)，點(diǎn)尸在該橢圓上，且|A同21,則下列說(shuō)法正確的是

（）

A.不存在點(diǎn)尸，使得N耳P瑪=90。B.滿足△耳PK為等腰三角形的點(diǎn)P有2個(gè)

C.若4P居=60。，則S-=BD.|P娟-歸閭的取值范圍為[-26,26]

4rtrr23

【答案】CD

【解析】根據(jù)題意:可得c=0,|筋|的最小值為1,所以==

J!!]a=2,b=1,c=5/3，所以橢圓方程二+y2=1

當(dāng)尸為該橢圓頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)/耳產(chǎn)?=120。,

所以存在點(diǎn)P，使得N[PE=90°,故A錯(cuò)誤；

當(dāng)點(diǎn)尸在橢圓的上，下頂點(diǎn)時(shí)，滿足△月尸鳥為等腰三角形，

又因?yàn)?—64歸國(guó)42+6,|耳司=26，

所以滿足歸用=忻用的點(diǎn)尸有兩個(gè)，

同理，滿足|「耳|=|耳國(guó)的點(diǎn)P有兩個(gè)，故B錯(cuò)誤.

若“尸片=60°,則s=b2tan—=^,

八rirr223

所以C正確.

因?yàn)閨尸制一仍瑪=1尸制一（勿一|府|）=2忸劇-4,

分析可得|明w[2一百,2+6],附|-|明6[-26,26],

所以D正確.

故選:CD.

22

例15.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知尸是橢圓會(huì)+三=1上的點(diǎn)，「、人分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若

PFPF

前向后，則△"居的面積為（）

A.3后B.9上C.73D.9

【答案】A

.PF2COS/4尸B

【解析】因?yàn)棰?COSZFPF=；0<ZFPF<7r

「卜/時(shí)”闖廣P”?圈]212

所以/耳尸鳥=5,

乂c=yja2—b2=4

fn2+Z?-inn=4c2=64…①

記|「用=聞/用=凡則＜

機(jī)+〃=2。=10…②

②2-①整理得：mn=\2,所以Sbp”=—/??/?sin—=—x12x^^=3>/3

五也2322

例16.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P在橢圓二+二=1上，月與巴分別為左、右焦點(diǎn)，若/耳尸￡=”,

1643

則△/=;尸入的面積為（）

A.40B.6GC.8石D.1373

【答案】A

〕尸用+歸段=8

【解析】由“牧」叫2+匹，|2-舊圖2，，又忸閭=4后解得閥|陶=16,

-■-

故選：A.

2，

例17.（2022?四川成都?高三階段練習(xí)（理））己知耳，鳥是橢圓C：三+匕=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，

49

則閭的最大值為（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【解析】由橢圓工+上=1可得/=9,所以。=3,

49

因?yàn)辄c(diǎn)M在C上，所以|M制+|M圖=勿=6,

所以阿區(qū)產(chǎn)邛陽(yáng)）=圖=9'

當(dāng)且僅當(dāng)|M制=|叫|=3時(shí)等號(hào)成立，|岬卜四最大值為9,

故選：C.

22

例18.（2022.黑龍江?哈爾濱市第六中學(xué)校一模（理））設(shè)B,F2是橢圓C：彳+與=1（a>6>0）的左、右焦

點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，延長(zhǎng)交橢圓C于點(diǎn)。，且|PF/|=|PQ|,若，的面積為巨■b?,

3

【答案】B

【解析】由橢圓的定義，I尸耳I+IP瑪1=2%

22

\PFS+\Pf21_4c2=(|「用+|P局)2-2|Pf]||P^|-4c

由余弦定理有:cosZ.FPF=

}12|尸耳|歸用=2附|戶用

222

4a-4c-2\PFl\\PF2\4b-2\PFt\\PF2\

2\PFt\\PF2\2\PFI\\PF2\'

化簡(jiǎn)整理得：26=|P￡||PKI(COSN￡P(guān)E+1),

△5

又$石=^\PFt\\PF2\sinZFtPF2,

由以上兩式可得:

b-sinNFFE_2c°s^^,

5""2一。。5/耳/瑪+廣一2c.“即—

2

由S“從加手,得爭(zhēng)J“n手，利號(hào)

又史國(guó)=|尸。|,所以aF/PQ為等邊三角形，由橢圓對(duì)稱性可知PQ^x軸,

|尸。|二2二2c

所以麗一方F

故選：B.

例19.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)(文))橢圓Y—+工=1(機(jī)>0)的焦點(diǎn)為5,居，與丫軸的一個(gè)交點(diǎn)為A，

m+1m

TT

若/耳AE=],則加=()

A.1B.y/2C.73D.2

【答案】C

【解析】

22_____

在橢圓—十二=1(〃?>0)中，〃=〃2+i,b=m,c=l.易知|A耳|二|AE|=Q.

又/耳46=方，所以,由人工為等邊三角形，即|胡卜舊周，所以"TT=2,即6=6.

故選：C.

)2

例20.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知橢圓三+匯=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳，瑪，點(diǎn)M在橢圓上，若1加幣=4,

92

則/耳〃工=()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】c

22

【解析】由題意，橢圓方程W+己~=1,nJYa*a=3,b=V2,c=yja2—b2=幣,

所以焦點(diǎn)耳(-V7,O)，EG/7,O),

又由橢圓的定義,可得|M制+|M圖=2a=6,因?yàn)閨哂|=定所以|叫1=2,

在中，由余弦定理可得忻閭2TM用2+|次『-2附制|MR|cosN耳Mg,

所以(2")2=4?+22-2x4x2cosN4M與，解得cosNRME=-g，

又由6e(0,180),所以N耳M心=120.

故選:C.

例21.(2022?安徽淮北?一模(理))P為橢圓/卷=1上的任意一點(diǎn)，A8為圓C:(x-l)2+y2=i的任意一

條直徑，則PAPB的取值范圍是.

【答案】[3,15]

【解析】由題意，圓心C(l,0)為橢圓的右焦點(diǎn)，圓的半徑為1,因?yàn)锳B為圓C:(xT『+y2=i的任意一條直

徑，PAPB=(PC+CA)(PC+CB)=(PC+04)(PC-CA)

=PC2-C^=|PC|2-1，由橢圓的定義可得IPC\e[a-c,a+c\=[2,4],所以RlPB=|-1?3,均.

故答案為：[3,15]

例22.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知橢圓的方程為三+工=1,過(guò)橢圓中心的直線交橢圓于A、2兩點(diǎn),

94

人是橢圓的右焦點(diǎn)，則AB乙的周長(zhǎng)的最小值為.

【答案】10

【解析】橢圓的方程為工+工=1,，2a=6,?=4,c=4i,

94

連接A6,則由橢圓的中心對(duì)稱性可得

的周長(zhǎng)=|A閭+忸川+|/W|=|A4+|明|+|.|=24+|鉆卜

當(dāng)48位于短軸的端點(diǎn)時(shí)，|因取最小值，最小值為勖=4,

l=2?+|AB|=6+|AB|>6+4=10.

故答案為：10

例23.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知耳，居分別為橢圓C：《+￡=l的左、右焦點(diǎn)，直線X-3y+l=0與

43

橢圓交于P,。兩點(diǎn)，則P。居的周長(zhǎng)為.

【答案】8

【解析】橢圓C:%：=1,所以c=>/7=7=1，即月(TO)、入(L0)，

直線x-3y+l=0過(guò)左焦點(diǎn)6(-1,0),所以|P制+|%|=2?=4,依周+1鑿|=勿=4,\PQ\=\PFt\+\QFt\,

所以C啰=|P@+|Q聞+|P瑪|=|P耳|+|。制+1。瑪1+1尸閭=4=8;

故答案為：8

例24.(2022?重慶一中高三期中)在;.A8C中，點(diǎn)3,0),8(3,0),點(diǎn)C在橢圓2+1=1上，則ABC的

2516

周長(zhǎng)為.

【答案】16

【解析】由橢圓方程可知，”=5,6=4,則0=而工7=3，即A、8為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，所以3A5c的

周長(zhǎng)為/=CA+CB+AB=2。+2c=16.

故答案為：16.

22

例25.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)與向是橢圓］+菅=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸是橢圓上的點(diǎn)，且|P/訃|「圖=2：1,

則5的面積等于.

【答案】26

【解析】由附出明=6,且戶用：|P由|=2：1,

.-.\PFt\=4,\PF2\=2,又衍閭=2j^=26

4+222

在△/5月瑪中，coszFPF,=---<^）L,

X'-2x4x2=2

sinN耳桃=2-

.1S=尸制歸國(guó)sinN耳尸居=2月.

故答案為：

22

例26.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知橢圓C：±+21=l的焦點(diǎn)為片，F(xiàn)2,第一象限點(diǎn)尸在C上，且

43

o

PFJPFL：,則斗耳的內(nèi)切圓半徑為.

【答案】I

【解析】由已知條件得為=4,從=3,c2=a2-h2=}^則￡（一1,0）,尸2（1，0）.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（勺，”），則2片=（一1一七一”）,PF2=（\-xp,-yp）

___.n13

3/工=%+%一1="即%+療=彳①，

:第一象限點(diǎn)尸在C上，

.?.則￡+$.=1,即芯=4—迅②，

433

3

聯(lián)立解得

由橢圓的定義得|里|+|「耳=%=4

設(shè)△2/=；居的內(nèi)切圓半徑為則5呻=9（|「用+|尸印+忻局）=3/

13

又二％.=--2c-yp=-,

31

A3r=-,即r=±.

22

故答案為：y

例27.（2022.浙江?高三專題練習(xí)）已知橢圓l+Af〉人〉。）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為"，尸"離心率e=4

點(diǎn)尸為橢圓的上頂點(diǎn)，若APF尸2的面積為1,則右焦點(diǎn)B的坐標(biāo)為.

【答案】（1,0）

c=x/2

a2

【解析】由已知《"2c=l，解得c=l,

a2=b2+c2

故右焦點(diǎn)尸2的坐標(biāo)為（1，。）.

故答案為：。，0）

-）2

例28.（2022?陜西西安交大第二附屬中學(xué)南校區(qū)高二期末（理））已知P為橢圓三+二=1上一點(diǎn)，￡、

43

是焦點(diǎn)，4尸6=6（）。，貝.

【答案】拒

【解析】由已知得。=2,b=6,所以c=一廿=,4-3=1,從而舊閭=2c=2,

在△耳P居中，山閭2=伊用2+儼閭2一2忸周.歸閭cos60°,

^4=\PFf+\PF2f-\PFt\-\PF2\,①

由橢圓的定義得|P￡|+|P&=4,

即16=|P￡1+|P歐+2|尸￡|忖周,②

由①@得|明?|桃1=4,

所以如鳴=*用療用疝60。=6.

故答案為：下＞

22

.21-1

例29.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))若P為橢圓天+邁_上的一點(diǎn)，F(xiàn)、,鳥分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則

"PF?的最大值為.

【答案】90°

【解析】易知當(dāng)點(diǎn)尸為橢圓與y軸的交點(diǎn)時(shí)，/白尸鳥最大，

_____I

因?yàn)闄E圓方程為25至，

T

所以a=5,c=y/a2-h2=^25--^-=，

此時(shí)|P4|=|「閭=5,|耳聞=2c=50,

滿足陷『+陷『=國(guó)司2區(qū)

所以△石尸片為等腰直角三角形，所以/匕「乙=90二

故答案為：90

22

例30.(2022?江蘇?華羅庚中學(xué)高三階段練習(xí))設(shè)小工是橢圓C：千■+￡=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，。

為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，延長(zhǎng)PF2交橢圓C于點(diǎn)。，且I助|=盧。，若OPE的面積為系從，則黑=

()

A.73B.3C.史D.亞

233

【答案】D

【解析】由題意可知“。尸耳的面積為正從,

6

故5呻=2、*〃，

在心中，設(shè)N[P乙=。,。?(0,"),

2

由余弦定理可得\F,F2IMPF,f+\PF21-21PFt\\PF11cos。,

2

即4c=(||+|尸鳥I)?-2|P￡||PF,\-2\PF,||PF21cos(9

=4/+(-2-2cos<9)1mll珠|,

、||222

貝！|(2+2cos0)|PFPF21=4a-4c=4b,

所以△月也的面積S=g|*||PF21sin0

=sing八從=正慶,艮|]6sin6-cos。=1,

所以V^sin6-cos6=1,即sin（。一￡）=7,

62

1TTCTC57r八71

由于。zi一二￡（一二，二），???，=；?

6663

XIPQ\.所以△尸66的是等邊三角形，即1。耳目?！?=1。尸1,

由橢圓的定義可得IPK1+13;1+1。尸1=4。,

即有則IP阜=%,則陷弓明,則磔昔,

P

rn,i\Q\2|P￡I=/Drt72&

???PQLFFZ，則巴=丁.

|66||6巴I3

故選：D.

題型四：橢圓上兩點(diǎn)距離的最值問題

22

例31.（多選題）（2022?廣東?鶴山市鶴華中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓C：土+二=1的左，右焦點(diǎn)為B,

169

F2,點(diǎn)尸為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)（尸不在x軸上），則（）

A.橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上B.△PFE的周長(zhǎng)為8+2幣

C.|PB|的取值范圍為4）D.tanNF/PB的最大值為3近

【答案】ABD

【解析】對(duì)于A,由橢圓的方程可知，橢圓焦點(diǎn)在x軸上，故A正確；

對(duì)于B,因?yàn)閏=J16-9=而鳥的周長(zhǎng)為2a+2c=8+2/，故B正確；

對(duì)于C,因?yàn)槭辉凇份S上，所以a—c＜|尸用＜a+c,所以耳|的取值范圍為（4-近,4+曲），故C不正確；

對(duì)于D，設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為5,則噫叱”也”耳叫＜金所以tan/f；P居的最大值為tan/f；BE.設(shè)

NOBF?=a，則tana=也，且/￡叫=2a,而tan2a=超半=3萬(wàn)，所以tan/耳尸鳥的最大值為3不，

31-tan-a

故D正確.

故選：ABD.

【方法技巧與總結(jié)】

利用幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

V23V2

例32.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知橢圓C：—+^-=1,V為橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以M為圓心，2

1616

為半徑作圓歷，。「，。2為圓”的兩條切線，RQ為切點(diǎn)，求NP。。的取值范圍.

【解析】由橢圓方程可得/=16方=/，則〃=4,b=處,