2023屆陜西省榆林市高三三模數(shù)學(xué)（理）試題

2023屆陜西省榆林市高三三模數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，即可求解.【詳解】由，可得，則.故選：D.2．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)并集概念運算即可.【詳解】因為，所以．故選:A.3．一個等差數(shù)列的前3項之和為12，第4項為0，則第6項為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，求得，再結(jié)合，即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的前3項之和為12，可得，所以，又由第4項為0，即，因為第2項、第4項、第6項依次成等差數(shù)列，即，所以.故選：B.4．已知兩個非零向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)向量的共線的坐標(biāo)運算，求得，再結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】因為且，可得，解得或，又因為為非零向量，所以，即，故“”是“”的充要條件．故選：C.5．實軸在軸上的雙曲線的離心率為，則該雙曲線漸近線的傾斜角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意求得，得到漸近線的斜率為，即，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解.【詳解】由題意知，可得，因為實軸在軸上，所以雙曲線漸近線的斜率為，設(shè)雙曲線的漸近線的傾斜角為，則，因為，所以.故選：A.6．某省將從5個A類科技項目、6個B類科技項目、4個C類科技項目中選4個項目重點發(fā)展，其中這3類項目都要有，且A類項目中有1個項目已經(jīng)被選定，則滿足條件的不同選法共有（

）A．96種 B．144種 C．192種 D．206種【答案】C【分析】按照A類項目選2個、選1個進(jìn)行分類，結(jié)合組合知識求解.【詳解】若A類項目選2個，則不同選法共有種；若A類項目選1個，則不同選法共有種．故滿足條件的不同選法共有種．故選：C7．如圖，正三棱柱的底面邊長是2，側(cè)棱長是，為的中點，是側(cè)面上一點，且平面，則線段的最大值為（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】利用面面平行的性質(zhì)，通過平面平面，得出點在線段上，從而求出線段的最大值.【詳解】如圖，取的中點，取的中點，連接，，，所以，又面，面，所以平面，又為的中點，所以,又面，面，所以平面，又，面，面，所以平面平面，又因為是側(cè)面上一點，且平面，所以在線段上，又因為，，所以線段的最大值為.故選：A.8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則輸出的（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】模擬運行程序，得出輸出的.【詳解】；；；，故輸出的．故選：B9．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)都存在，，且，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意求得則，得到在上單調(diào)遞減，再由把不等式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合單調(diào)性，即可求解.【詳解】由題意知，可得．設(shè)函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞減．因為，所以，所以，即為，則，所以不等式的解集為．故選：D.10．現(xiàn)有17匹善于奔馳的馬，它們從同一個起點出發(fā)，測試它們一日可行的路程．已知第i（）匹馬的日行路程是第匹馬日行路程的1.05倍，且第16匹馬的日行路程為315里，則這17匹馬的日行路程之和約為（?。?/p>

）A．7750里 B．7752里C．7754里 D．7756里【答案】B【分析】由等比數(shù)列的前項和公式計算.【詳解】，依題意可得，第17匹馬、第16匹馬、……、第1匹馬的日行路程里數(shù)依次成等比數(shù)列，且首項為300，公比為1.05，故這17匹馬的日行路程之和為（里）．故選：B.11．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造，由在上單調(diào)遞增，，得到，再利用作商得到a，b的大小即可.，【詳解】解：令，則．易得在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，而，因為，所以．而，即，所以．故選：A12．在三棱錐中，，二面角為，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)E，F(xiàn)，G分別是BC，AC，BD的中點，由，所以，得到二面角的平面角為，且平面EFG，再證得G是三棱錐外接球的球心，取得外接球的半徑為，利用球的表面積公式，即可求解．【詳解】如圖所示，設(shè)E，F(xiàn)，G分別是BC，AC，BD的中點，則，因為，所以，則二面角的平面角為，且平面EFG，又因為，所以，所以，因為平面EFG，所以，所以平面ABC．又因為F是外接圓的圓心，所以FG經(jīng)過球心，且G是外接圓的圓心，所以G是三棱錐外接球的球心，設(shè)外接球的半徑為，則，故三棱錐外接球的表面積．故選：D.二、填空題13．若奇函數(shù)，則__________．【答案】6【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，求得a的值，再代入求值即得答案.【詳解】依題意為奇函數(shù)，,即，可得，即，故，則，故答案為：6三、雙空題14．若不等式對恒成立，則a的取值范圍是__________，的最小值為__________．【答案】

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得，再利用基本不等式，即可求解.【詳解】當(dāng)時，不等式對不恒成立，不符合題意（舍去）；當(dāng)時，要使得對恒成立，則滿足，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.因為，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為．故答案為：；.四、填空題15．已知函數(shù)與的圖象在區(qū)間上的交點個數(shù)為m，直線與的圖象在區(qū)間上的交點的個數(shù)為n，則________．【答案】【分析】分別作出函數(shù)與及直線的圖象，結(jié)合圖象確定的值，即可求解.【詳解】解：作出函數(shù)與的圖象，如圖所示，根據(jù)圖象知，又由直線與的圖象在區(qū)間上有3個交點，所以，所以．故答案為：.16．已知直線與橢圓交于A，B兩點，則線段AB的中點P的軌跡長度為__________．【答案】##【分析】設(shè)，聯(lián)立方程組，求得，得到，再由，求得，得出點P的軌跡方程，進(jìn)而求得點P的軌跡長度．【詳解】設(shè)，聯(lián)立方程，整理得，則，所以，可得．由，解得，所以點P的軌跡方程為，故點P的軌跡長度為．故答案為：.五、解答題17．如圖，在底面為矩形的四棱錐中，底面．(1)證明：平面平面．(2)若，在棱上，且，求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意得到，由底面，證得，進(jìn)而證得平面，結(jié)合面面垂直的判定定理，即可證得平面平面．（2）以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，求得和平面的一個法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：由四邊形為矩形，可得，因為底面，且平面，所以．又因為，且平面，所以平面，又由平面，所以平面平面．（2）解：以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，設(shè)與平面所成的角為，則，所以與平面所成的角的正弦值為．18．已知分別為的內(nèi)角所對的邊，，且．(1)求；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量的數(shù)量積的定義及正弦定理的邊角化即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及三角形的內(nèi)角和定理，利用誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式及降冪公式，結(jié)合輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)即可解.【詳解】（1），由及正弦定理，得，得，代入得，又因為，所以．（2）由（1）知，所以.所以，因為,所以，所以，所以，故的取值范圍是.19．已知1個不透明的袋子中裝有6個白球和4個黃球（這些球除顏色外無其他差異）．甲從袋中摸出1球，若摸出的是白球，則除將摸出的白球放回袋子中外，再將袋子中的1個黃球拿出，放入1個白球；若摸出的是黃球，則除將摸出的黃球放回袋子中外，再將袋子中的1個白球拿出，放入1個黃球．再充分?jǐn)嚢杈鶆蚝螅M(jìn)行第二次摸球，依此類推，直到袋中全部是同一種顏色的球，已知甲進(jìn)行了4次摸球，記袋子中白球的個數(shù)為X．(1)求袋子中球的顏色只有一種的概率；(2)求X的分布列和期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)袋子中有6個白球和4個黃球，摸4次只剩一種顏色，則只會剩下白球求解；（2）由X的所有可能取值為2，4，6，8，10，分別求得其概率，然后列出分布列求解.【詳解】（1）解：分別記第i次摸到白球和黃球為事件，記“4次摸球后，袋子中球的顏色只有一種”為事件D，則．（2）X的所有可能取值為2，4，6，8，10．，，，，．故X的分布列為X246810P故．20．已知拋物線的焦點為，是上的動點，點不在上，且的最小值為2．(1)求C的方程；(2)若直線AP與C交于另一點B，與直線l交于點Q，設(shè)，且，求直線l的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，分P在C的內(nèi)部和P在C的外部，兩種情況討論，結(jié)合的最小值為2，求得的值，即可求得拋物線的方程；（2）設(shè)，聯(lián)立方程組求得，再由和，求得的表達(dá)式，求得，結(jié)合點Q在直線AP上，消去，即可求解.【詳解】（1）解：當(dāng)P在C的內(nèi)部時，因為等于點A到準(zhǔn)線的距離，所以的最小值為P到準(zhǔn)線的距離，可得，解得；當(dāng)P在C的外部時，，解得，則C的方程為，此時P在C的內(nèi)部，所以，故拋物線C的方程為．（2）解：依題意可知，直線AP的斜率不為0，則可設(shè)，聯(lián)立方程組，可得，設(shè)，則，設(shè)，由，可得，又由由，可得，所以，即，即，所以，即，因為點Q在直線AP上，所以．消去m得，即，故直線l的方程為．【點睛】方法點睛：解決拋物線問題的方法與策略：1、涉及拋物線的定義問題：拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的點到焦點的距離、拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化．如果問題中涉及拋物線的焦點和準(zhǔn)線，又能與距離聯(lián)系起來，那么用拋物線定義就能解決問題．因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點弦問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點到準(zhǔn)線的距離，這樣就可以使問題簡單化．2、涉及直線與拋物線的綜合問題：通常設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，合理進(jìn)行轉(zhuǎn)化運算求解，同時注意向量、基本不等式、函數(shù)及導(dǎo)數(shù)在解答中的應(yīng)用.21．已知函數(shù)．(1)若直線與曲線相切，求m的值；(2)證明：（參考數(shù)據(jù)：）．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合條件即得；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，然后構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，進(jìn)而即得.【詳解】（1）由題意，，由，得，則，解得；（2）因為，，由，可得，在上遞減，由，可得，在上遞增；所以；又等價于．令，則．當(dāng)時，，在上遞增；當(dāng)時，，在上遞減．所以．令，則．當(dāng)時，，在上遞減，當(dāng)時，；在上遞增，．所以．因為，所以，所以，所以，從而得證，故．【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).22．在直角坐標(biāo)系中，曲線M的方程為，曲線N的方程為，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．(1)求曲線M，N的極坐標(biāo)方程；(2)若射線與曲線M交于點A（異于極點），與曲線N交于點B，且，求．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，即可求解曲線和的極坐標(biāo)方程；（2）將代入曲線和的方程，求得和，結(jié)合題意求得，即可求解.【詳解】（1）解：由，可得，即，又由，可得，所以曲線M的極坐標(biāo)方程為．由，可得，即，即曲線N的極坐標(biāo)方程為.（2）解：將代入，可得，將代入，可得，則