高中數(shù)學(xué)平面直角坐標(biāo)系

高中數(shù)學(xué)平面直角坐標(biāo)系第1頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．回顧在平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的方法，體會(huì)坐標(biāo)

系的作用．2．通過具體例子，了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平

面圖形的變化情況．3．能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，體會(huì)在極坐標(biāo)系

和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)

和直角坐標(biāo)的互化．4．能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形(如過極點(diǎn)的直線、過極點(diǎn)或

圓心在極點(diǎn)的圓)的方程．通過比較這些圖形在極坐標(biāo)系

和平面直角坐標(biāo)系中的方程，體會(huì)在用方程刻畫平面圖形

時(shí)選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義．第2頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四5．借助具體實(shí)例(如圓形體育場(chǎng)看臺(tái)的座位、地球的經(jīng)緯

度等)了解在柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系中刻畫空間中點(diǎn)的位

置的方法，并與空間直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的方

法相比較，體會(huì)它們的區(qū)別．第3頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四【學(xué)習(xí)計(jì)劃】

內(nèi)容學(xué)習(xí)重點(diǎn)建議學(xué)習(xí)時(shí)間平面直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系的選擇；坐標(biāo)法；伸縮變換2課時(shí)極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系；極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化2課時(shí)簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程直線和圓的極坐標(biāo)方程2課時(shí)球坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系簡(jiǎn)介兩種坐標(biāo)系的意義2課時(shí)第4頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四【課標(biāo)要求】1．了解平面直角坐標(biāo)系的組成，領(lǐng)會(huì)坐標(biāo)法的應(yīng)用．2．理解平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換．3．能夠建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，運(yùn)用解析法解決數(shù)學(xué)問題．第一節(jié)平面直角坐標(biāo)系【核心掃描】1．對(duì)平面直角坐標(biāo)系的應(yīng)用以及坐標(biāo)法的考查是本節(jié)熱點(diǎn)．2．本節(jié)內(nèi)容常與方程、平面幾何圖形結(jié)合命題．3．理解圖形伸縮變換與坐標(biāo)變換之間的關(guān)系．(難點(diǎn))第5頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1．平面直角坐標(biāo)系(1)平面直角坐標(biāo)系的作用：使平面上的點(diǎn)與坐標(biāo)(有序?qū)崝?shù)

對(duì))，曲線與方程建立聯(lián)系，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的結(jié)合．(2)坐標(biāo)法：根據(jù)幾何對(duì)象的特征，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，建

立它的方程，通過方程研究它的性質(zhì)及與其他幾何圖形的關(guān)

系．(3)坐標(biāo)法解決幾何問題的“三步曲”：第一步，建立適當(dāng)坐

標(biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中涉及的幾何元素，將幾何問

題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題；第二步，通過代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問

題；第三步，把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論．自學(xué)導(dǎo)引第6頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2．平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換(1)平面直角坐標(biāo)系中方程表示圖形，那么平面圖形的伸

縮變換就可歸結(jié)為坐標(biāo)伸縮變換，這就是用代數(shù)方法研

究幾何變換．第7頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四想一想如何理解點(diǎn)的坐標(biāo)的伸縮變換？提示在平面直角坐標(biāo)系中，變換φ將點(diǎn)P(x，y)變換到P′(x′，y′)．當(dāng)λ>1時(shí)，是橫向拉伸變換，當(dāng)0<λ<1時(shí)，是橫向壓縮變換；當(dāng)μ>1時(shí)，是縱向拉伸變換，當(dāng)0<μ<1時(shí)，是縱向壓縮變換．第8頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1．坐標(biāo)系是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，它在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史上

起著劃時(shí)代的作用．坐標(biāo)系的創(chuàng)建，在代數(shù)和幾何之間架

起了一座橋梁．利用坐標(biāo)系，我們可以方便地用代數(shù)的方

法確定平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的位置，也可以方便地確定空間內(nèi)一

個(gè)點(diǎn)的位置．它使幾何概念得以用代數(shù)的方法來描述，幾

何圖形可以通過代數(shù)形式來表達(dá)，這樣便可將抽象的代數(shù)

方程用形象的幾何圖形表示出來，又可將先進(jìn)的代數(shù)方法

應(yīng)用于幾何學(xué)的研究．

建立直角坐標(biāo)系，數(shù)形結(jié)合，我們可以解決許多數(shù)學(xué)問

題，如函數(shù)問題就常常需要借助直角坐標(biāo)系來解決．名師點(diǎn)睛第9頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2．解析法解題步驟第一步：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題

中涉及的幾何元素，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；

第二步：通過代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問題；第三步：把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論．3．體會(huì)用坐標(biāo)伸縮變換研究圖形伸縮變換的思想方法(1)平面幾何圖形的伸縮變換可以歸結(jié)為坐標(biāo)伸縮變

換，學(xué)習(xí)中可結(jié)合坐標(biāo)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行理解．(2)對(duì)于圖形的伸縮變換問題，需要搞清新舊坐標(biāo)，區(qū)

別x，y和x′，y′，點(diǎn)(x，y)在原曲線上，點(diǎn)(x′，y′)在變

換后的曲線上，因此點(diǎn)(x，y)的坐標(biāo)滿足原曲線的方

程，點(diǎn)(x′，y′)的坐標(biāo)適合變換后的曲線方程．第10頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四【思維導(dǎo)圖】第11頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四題型一運(yùn)用坐標(biāo)法解決解析幾何問題第12頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第13頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，O1O2所在的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則O1(－2，0)，O2(2，0)．【反思感悟】建立坐標(biāo)系的幾個(gè)基本原則：①盡量把點(diǎn)和線段放在坐標(biāo)軸上;②對(duì)稱中心一般放在原點(diǎn);③對(duì)稱軸一般作為坐標(biāo)軸．第14頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．【變式1】解第15頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

在?ABCD中，求證：|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．[思維啟迪]解答本題可以運(yùn)用坐標(biāo)方法，先在?ABCD所在的平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)，再由距離公式完成證明．也可以運(yùn)用向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算加以證明．題型二用坐標(biāo)法解決平面幾何問題【例2】第16頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解

法一

坐標(biāo)法：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)O，AB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，第17頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第18頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四【反思感悟】本例實(shí)際上為平行四邊形的一個(gè)重要定理：平行四邊形的兩條對(duì)角線的平方和等于其四邊的平方和．法一是運(yùn)用代數(shù)方法即解析法實(shí)現(xiàn)幾何結(jié)論的證明的．這種“以算代證”的解題策略就是坐標(biāo)方法的表現(xiàn)形式之一．法二運(yùn)用了向量的數(shù)量積運(yùn)算，更顯言簡(jiǎn)意賅，給人以簡(jiǎn)捷明快之感．第19頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

已知在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且滿足|BD|＝|CD|，求證：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|BD|2)．【變式2】證明法一以A為坐標(biāo)原點(diǎn)O，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，則A(0，0)，設(shè)B(a，0)，C(b，c)，第20頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四法二延長(zhǎng)AD到E，使DE＝AD，連接BE，CE，則四邊形ABEC為平行四邊形，由平行四邊形的兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和得|AE|2＋|BC|2＝2(|AB|2＋|AC|2)，即(2|AD|)2＋(2|BD|)2＝2(|AB|2＋|AC|2)，所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|BD|2)．第21頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四題型三平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換【例3】[思維啟迪]解答本題首先要根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換公式的意義與作用，明確原來的點(diǎn)與變換后的點(diǎn)的坐標(biāo)，利用方程的思想求解．第22頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第23頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第24頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第25頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四【變式3】第26頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第27頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第28頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四方法技巧——求解曲線的軌跡方程第29頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第30頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第31頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第32頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第33頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第34頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四[P3思考]我們以信息中心為基點(diǎn)，用角和距離刻畫了點(diǎn)P的位置．這種方法與用直角坐標(biāo)刻畫點(diǎn)P的位置有什么區(qū)別和聯(lián)系？你認(rèn)為哪種方法更方便？

答

直角坐標(biāo)點(diǎn)的位置用有序數(shù)組來刻畫．兩者的聯(lián)系是都通過數(shù)刻畫點(diǎn)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想．在這里，應(yīng)該使用角和距離刻畫點(diǎn)P位置更方便．第35頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四[P4探究]你能建立與上述解答中不同的直角坐標(biāo)系解決這個(gè)問題嗎？比較不同的直角坐標(biāo)系下解決問題的過程，你認(rèn)為建立直角坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)注意些什么？答

可以建立不同的直角坐標(biāo)系(例如以點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系)解決問題的過程中，根據(jù)幾何特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系的一些規(guī)則．如果圖形有對(duì)稱中心，可以選對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)；如果圖形有對(duì)稱軸，可以選對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸；使圖形上的特殊點(diǎn)盡可能多地在坐標(biāo)軸上．第36頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四[P8思考]

答

橢圓可以變成圓，拋物線變?yōu)閽佄锞€，雙曲線變?yōu)殡p曲線，圓可以變?yōu)闄E圓．我們可以把圓作為橢圓的特例．第37頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四[課后習(xí)題解答]習(xí)題1.1

(第8頁(yè))1．解設(shè)兩定點(diǎn)A、B，以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所

在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則A、B的坐標(biāo)為(－3，0)、(3，0)．

設(shè)動(dòng)點(diǎn)為P(x，y)，由已知得到|PA|2＋|PB|2＝26，

即(x＋3)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝26，整理得x2＋y2＝4.這就是點(diǎn)M的軌跡方程．這是以AB的中點(diǎn)為圓心，2

為半徑的圓．第38頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2．解以直線l為x軸，過點(diǎn)A與l垂直的直線為y軸建立平

面直角坐標(biāo)系．則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，3)．設(shè)△ABC的外

心為P(x，y)，因?yàn)镻是線段BC的垂直平分線上的點(diǎn)，

所以B、C的坐標(biāo)分別為(x－2，0)，(x＋2，0)．

因?yàn)镻也在線段AB的垂直平分線上，整理得x2－6y＋5＝0.這就是所求的軌跡方程．第39頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3.證明

法一如圖所示，AD，BE，CO分別是三角形ABC的三條高，取邊AB所在的直線為x軸，邊AB上的高CO

所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系．設(shè)A，B，C的坐標(biāo)依次為(－a，0)，(b，0)，(0，c)，第40頁(yè)，共44頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由方程