2023屆陜西省榆林市高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)（文）試題

2023屆陜西省榆林市高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．設(shè)集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)交集定義求解.【詳解】由題意可得，則．故選:D.2．（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求解.【詳解】．故選:A.3．已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】引入中間值，與1比較大小，與0比較大小即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以．故選：B.4．某企業(yè)為了解員工身體健康情況，采用分層抽樣的方法從該企業(yè)的營(yíng)銷部門和研發(fā)部門抽取部分員工體檢，已知該企業(yè)營(yíng)銷部門和研發(fā)部門的員工人數(shù)之比是4:1，且被抽到參加體檢的員工中，營(yíng)銷部門的人數(shù)比研發(fā)部門的人數(shù)多72，則參加體檢的人數(shù)是（

）A．90 B．96 C．120 D．144【答案】C【分析】設(shè)參加體檢的人數(shù)是，根據(jù)題意列出方程，求解即可.【詳解】解：設(shè)參加體檢的人數(shù)是，則，解得，所以參加體檢的人數(shù)是120人.故選：C.5．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.若的面積為，則角（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用面積公式和余弦定理可求.【詳解】由余弦定理可得，而三角形面積為，故，整理得到，而為三角形內(nèi)角，故.故選：C.6．已知雙曲線：（）的左、右焦點(diǎn)分別是，，是雙曲線上的一點(diǎn)，且，若，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線定義聯(lián)立方程組求出，，再根據(jù)勾股定理求出，進(jìn)一步計(jì)算得出結(jié)果．【詳解】不妨設(shè)在雙曲線的右支上,由題意可得，根據(jù)雙曲線定義，又，所以，．因?yàn)椋?，則，故雙曲線的離心率．故選：B.7．目前，全國(guó)所有省份已經(jīng)開始了新高考改革.改革后，考生的高考總成績(jī)由語文、數(shù)學(xué)、外語3門全國(guó)統(tǒng)一考試科目成績(jī)和3門選擇性科目成績(jī)組成.已知某班甲、乙同學(xué)都選了物理和地理科目，且甲同學(xué)的另一科目會(huì)從化學(xué)、生物、政治這3科中選1科，乙同學(xué)的另一科目會(huì)從化學(xué)、生物這2科中選1科，則甲、乙所選科目相同的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意先列出所有的基本事件，再列出甲、乙所選科目相同的基本事件，求其比值即可.【詳解】甲、乙同學(xué)所選的科目情況有：（化學(xué)，化學(xué)），（化學(xué)，生物），（生物，化學(xué)），（生物，生物），（政治，化學(xué)），（政治，生物），共6種，其中甲、乙同學(xué)所選的科目相同的情況有（化學(xué)，化學(xué)），（生物，生物），共2種，故所求概率．故選：B.8．如圖，在正三棱柱中，，是棱的中點(diǎn)，在棱上，且，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取棱靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，取棱的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，，．證明，得是異面直線與所成的角（或補(bǔ)角）．設(shè)，用余弦定理計(jì)算出余弦值．【詳解】取棱靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，取棱的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，，．由已知，又，所以是平行四邊形，，同時(shí)可得是中點(diǎn)，而是中點(diǎn)，所以．所以，則是異面直線與所成的角（或補(bǔ)角）．又，平面，則平面，平面，則，設(shè)，則，從而，，，，，故，，．在中，由余弦定理可得．所以異面直線與所成的角的余弦值為．故選：B．9．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式得到，兩邊平方得到的值，再根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)一步運(yùn)算得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，兩邊平方得，則，故．故選：C.10．已知函數(shù)在和上都是單調(diào)的，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得且，求解即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，解得；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，則，解得．綜上，的取值范圍是．故選：D11．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點(diǎn)問題，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的大致圖象進(jìn)行求解判斷.【詳解】函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于關(guān)于的方程有5個(gè)不同的實(shí)根．由，得或．因?yàn)椋?，由，得或，由，得，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以可畫出的大致圖象：由圖可知有2個(gè)不同的實(shí)根，則有3個(gè)不同的實(shí)根，故，故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.12．已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，若三棱錐體積的最大值是，則球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)球O的半徑為R，的外心為，由題意可得外接圓的半徑及面積，高的最大值為，代入體積公式，結(jié)合題意可求得R值，代入球的表面積公式即可得答案.【詳解】設(shè)外接圓的半徑為，則，設(shè)球的半徑為，當(dāng)三棱錐的高最大時(shí)，體積取最大值，高的最大值.所以，即，解得.故球的表面積是．故選：A.二、填空題13．已知向量，，若，則______．【答案】##【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算公式，計(jì)算可得答案.【詳解】已知，，，所以，解得．故答案為：.14．已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件則的最大值是______．【答案】7【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)即可得解.【詳解】如圖，畫出可行域，設(shè)則，直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值，聯(lián)立可得，此時(shí)最大值是7．故答案為：7.15．已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若對(duì)任意的，都有，則的最大值______．【答案】5【分析】利用已知條件得出的性質(zhì)：，然后由上解析式確定在上的單調(diào)性，最值，從而得出在上的性質(zhì)，最終得出結(jié)論．【詳解】時(shí)，，其中，，，在上遞減，在上遞增，∴，由得，當(dāng)時(shí)，，上，最小值是，在上，最小值是，由的定義，在上遞減，，所以當(dāng)，都有，則的最大值是5，故答案為：5.三、雙空題16．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出．反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線：（）焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于軸的光線從點(diǎn)（點(diǎn)在拋物線內(nèi)）射入，經(jīng)過上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)過上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，且經(jīng)過點(diǎn)，若直線與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，則直線的斜率為______；若，且平分，則______.【答案】

0

2【分析】①設(shè)直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立得出韋達(dá)定理，求出的坐標(biāo)，寫出直線的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到直線的斜率；②由平分推導(dǎo)角的關(guān)系得出，即，根據(jù)弦長(zhǎng)公式寫出方程，求出結(jié)果.【詳解】依題意直線的方程為，，，聯(lián)立方程組得，則，．因?yàn)?，所以，．因?yàn)橹本€的方程為，所以直線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為，所以直線的斜率為0．②因?yàn)槠椒?，所以，所以．因?yàn)?，所以，即所以，得．故答案為：?；②2.四、解答題17．通過市場(chǎng)調(diào)查，現(xiàn)得到某種產(chǎn)品的資金投入（單位：百萬元）與獲得的利潤(rùn)（單位：百萬元）的數(shù)據(jù)，如下表所示：資金投入24568利潤(rùn)34657(1)求樣本（）的相關(guān)系數(shù)（精確0.01）；(2)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸直線方程；(3)現(xiàn)投入資金1千萬元，求獲得利潤(rùn)的估計(jì)值．附：相關(guān)系數(shù)，，對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，．【答案】(2)(3)8.25百萬元．【分析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)的公式可求；（2）利用最小二乘法求得，即可得到線性回歸方程；（3）把代入線性回歸方程即可求解.【詳解】（1）由題意得，．因?yàn)?，，所以，，所以．故樣本（）的相關(guān)系數(shù)約為（2），，故線性回歸直線方程為．（3）當(dāng)時(shí)，百萬元．故現(xiàn)投入資金1千萬元，獲得利潤(rùn)約為百萬元.18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用當(dāng)時(shí)，可得，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所以（），所以，即（）．?dāng)時(shí)，．因?yàn)?，所以，所以，即，則是首項(xiàng)和公比都為3的等比數(shù)列，故．（2）由（1）可得，則是首項(xiàng)和公比都為-3的等比數(shù)列，故．19．如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，，，是棱上的一點(diǎn)，且．(1)證明：平面．(2)若，，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用菱形、等腰三角形的性質(zhì)以及線面垂直的判定定理.（2）利用線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理以及等體積法進(jìn)行求解.【詳解】（1）證明：記，連接，則是，的中點(diǎn)．因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以．因?yàn)椋沂堑闹悬c(diǎn)，所以．因?yàn)椋矫?，且，所以平面．?）連接．因?yàn)椋沂堑闹悬c(diǎn)，所以．因?yàn)?，，平面，且，所以平面．因?yàn)?，，所以，，所以，故三棱錐的體積，因?yàn)?，所以．過點(diǎn)作，垂足為，由題中數(shù)據(jù)可得，，則．因?yàn)槠矫妫移矫?，所以，則的面積．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，解得．20．已知橢圓：（），四點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓上．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，試問直線，的斜率之和是否為定值？若是定值，求出此定值；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)是，1【分析】（1）根據(jù)橢圓的對(duì)稱性以及已知建立方程組求解.（2）利用直線與橢圓的方程聯(lián)立以及韋達(dá)定理、斜率公式進(jìn)行計(jì)算求解.【詳解】（1）由橢圓的對(duì)稱性可知，，在橢圓上．由題意可得解得故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，則不妨令，．因?yàn)椋?，．?dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立整理得，則由，得，，．因?yàn)?，，所以．綜上，直線，的斜率之和是定值，且該定值為1．21．已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，曲線在處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)．【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算和，由點(diǎn)斜式（或斜截式）得切線方程；（2）計(jì)算，從而，由此得，然后在此情況下對(duì)放縮得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)，得出時(shí)，恒成立，從而得出得的單調(diào)性，證得滿足題意，得出參數(shù)范圍．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，則，．故曲線在處的切線方程為．（2）由題意，，因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以至少滿足（否則含的某個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)，不滿足時(shí)，恒成立），即，解得．當(dāng)時(shí)，．設(shè)，顯然在上單調(diào)遞增，則，即恒成立，從而在上單調(diào)遞增，故．故的取值范圍是．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：由導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，常常利用分離參數(shù)法分離參數(shù)化不等式為，由此只要利用導(dǎo)數(shù)求得新函數(shù)的最大值，然后解不等式即可得．本題利用臨界點(diǎn)滿足的性質(zhì)得出參數(shù)的范圍（必要條件），然后證明其為充分條件，從而得出結(jié)論，這種方法的難點(diǎn)是臨界點(diǎn)的取得，如區(qū)間的端點(diǎn)．22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程是．(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線與曲線交于，兩點(diǎn)，，求的值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由消去求解；根據(jù)，由求解（2）先得到直線的參數(shù)方程與曲線的普通方程聯(lián)立，利用直線參數(shù)的幾何意義求解.【詳解】（1）解：由（為參數(shù)），得，故曲線的普