過程特性及其數(shù)學(xué)模型

過程特性及其數(shù)學(xué)模型第1頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期四對(duì)象特性——是指對(duì)象輸入量與輸出量之間的關(guān)系(數(shù)學(xué)模型)即對(duì)象受到輸入作用后，被控變量是如何變化的、變化量為多少……

輸入量？？控制變量＋各種各樣的干擾變量由對(duì)象的輸入變量至輸出變量的信號(hào)聯(lián)系稱為通道控制變量至被控變量的信號(hào)聯(lián)系通道稱控制通道干擾至被控變量的信號(hào)聯(lián)系通道稱干擾通道對(duì)象輸出為控制通道輸出與各干擾通道輸出之和

控制通道干擾通道干擾變量控制變量被控變量被控對(duì)象第2頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期四對(duì)象特性的分類與研究方法所謂研究對(duì)象的特性，就是用數(shù)學(xué)的方法來描述出對(duì)象輸入量與輸出量之間的關(guān)系——數(shù)學(xué)建模。對(duì)象的數(shù)學(xué)模型：對(duì)象特性的數(shù)學(xué)描述；對(duì)象的數(shù)學(xué)模型可以分為靜態(tài)數(shù)學(xué)模型和動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。靜態(tài)數(shù)學(xué)模型描述的是對(duì)象在穩(wěn)定時(shí)（靜態(tài)）的輸入與輸出關(guān)系；動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型描述的是在輸入量改變以后輸出量跟隨變化的規(guī)律；動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型是更精確的模型，靜態(tài)數(shù)學(xué)模型是動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型在對(duì)象達(dá)到平衡時(shí)的特例。第3頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期四數(shù)學(xué)模型的表示方法：參量模型：通過數(shù)學(xué)方程式表示常用的描述形式：微分方程(組)*、傳遞函數(shù)*、頻率特性等參量模型的微分方程的一般表達(dá)式：y(t)表示輸出量，x(t)表示輸入量，通常輸出量的階次不低與輸入量的階次(n≥m)當(dāng)n=m時(shí)，稱對(duì)象是正則的；當(dāng)n>m時(shí)，稱對(duì)象是嚴(yán)格正則的；n<m的對(duì)象是不可實(shí)現(xiàn)的。通常n=1，稱該對(duì)象為一階對(duì)象模型；n=2，稱二階對(duì)象模型。

非參量模型：采用曲線、表格等形式表示。特點(diǎn)：形象、清晰，缺乏數(shù)學(xué)方程的解析性質(zhì)（必要時(shí)須進(jìn)行數(shù)學(xué)處理獲得參量模型）。

第4頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期四建模的方法：機(jī)理建模、實(shí)驗(yàn)建模、混合建模

機(jī)理建模——根據(jù)物料、能量平衡、化學(xué)反應(yīng)、傳熱傳質(zhì)等基本方程，從理論上來推導(dǎo)建立數(shù)學(xué)模型。由于工業(yè)對(duì)象往往都非常復(fù)雜，物理、化學(xué)過程的機(jī)理一般不能被完全了解，而且線性的并不多，再加上分布元件參數(shù)（即參數(shù)是時(shí)間與位置的函數(shù)）較多，一般很難完全掌握系統(tǒng)內(nèi)部的精確關(guān)系式。另外，在機(jī)理建模過程中，往往還需要引入恰當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化、假設(shè)、近似、非線性的線性化處理等，而且機(jī)理建模也僅適用于部分相對(duì)簡(jiǎn)單的系統(tǒng)。實(shí)驗(yàn)建?！谒芯康膶?duì)象上，人為的施加一個(gè)輸入作用，然后用儀表記錄表征對(duì)象特性的物理量隨時(shí)間變化的規(guī)律，得到一系列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或曲線。這些數(shù)據(jù)或曲線就可以用來表示對(duì)象特性。這種應(yīng)用對(duì)象輸入輸出的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)來決定其模型的方法，通常稱為系統(tǒng)辨識(shí)。其主要特點(diǎn)是把被研究的對(duì)象視為一個(gè)黑箱子，不管其內(nèi)部機(jī)理如何，完全從外部特性上來測(cè)試和描述對(duì)象的動(dòng)態(tài)特性。有時(shí)，為進(jìn)一步分析對(duì)象特性，可對(duì)這些數(shù)據(jù)或曲線進(jìn)行處理，使其轉(zhuǎn)化為描述對(duì)象特性的解析表達(dá)式。混合建?！獙C(jī)理建模與實(shí)驗(yàn)建模結(jié)合起來，稱為混合建模?；旌辖Ｊ且环N比較實(shí)用的方法，它先由機(jī)理分析的方法提出數(shù)學(xué)模型的結(jié)構(gòu)形式，把被研究的對(duì)象視為一個(gè)灰箱子，然后對(duì)其中某些未知的或不確定的參數(shù)利用實(shí)驗(yàn)的方法給予確定。這種在已知模型結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，通過實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)來確定數(shù)學(xué)表達(dá)式中某些參數(shù)的方法，稱為參數(shù)估計(jì)。第5頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期四對(duì)象機(jī)理數(shù)學(xué)模型的建立問題：處于平衡狀態(tài)的對(duì)象加入干擾以后，不經(jīng)控制系統(tǒng)能否自行達(dá)到新的平衡狀態(tài)？

左圖：假設(shè)初始為平衡狀態(tài)qi=qo，水箱水位保持不變。當(dāng)發(fā)生變化時(shí)(qi＞qo)，此時(shí)水箱的水位開始升高根據(jù)流體力學(xué)原理，水箱出口流量與H是存在一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系的：

因此，qi

H

qo，直至qi=qo可見該系統(tǒng)受到干擾以后，即使不加控制，最終自身是會(huì)回到新的平衡狀態(tài)，這種特性稱為“自衡特性”。

右圖：如果水箱出口由泵打出，其不同之處在于：qi當(dāng)發(fā)生變化時(shí)，qo不發(fā)生變化。如果qi＞qo

，水位H將不斷上升，直至溢出，可見該系統(tǒng)是無自衡能力。絕大多數(shù)對(duì)象都有自衡能力，一般而言有自衡能力的系統(tǒng)比無自衡能力的系統(tǒng)容易控制。第6頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§2.2對(duì)象理論數(shù)學(xué)模型的建立一階對(duì)象： 系統(tǒng)輸入、輸出關(guān)系（動(dòng)態(tài)特性）可以用一階微分方程來表示的控制對(duì)象。積分對(duì)象 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性可以用一階積分方程來表示的控制對(duì)象。二階對(duì)象： 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性可以用二階微分方程來表示的控制對(duì)象。第7頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期四·一階線性對(duì)象問題：求右圖所示的對(duì)象模型（輸入輸出模型）。

解：該對(duì)象的輸入量為qi

被控變量為液位h根據(jù)物料平衡方程：

單位時(shí)間內(nèi)水槽體積的改變＝輸入流量—輸出流量

由于出口流量可以近似地表示為：(i)式是針對(duì)完全量的輸入輸出模型，(ii)式是針對(duì)變化量的輸入輸出模型，二者的結(jié)構(gòu)形式完全相同。由于在控制領(lǐng)域中，特性的分析往往是針對(duì)變化量而言的，為了書寫方便在以后的表達(dá)式中不寫出變化量符號(hào)。第8頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期四對(duì)上式作拉氏變換：對(duì)象的傳遞函數(shù)：該對(duì)象的階躍響應(yīng)：如果qi為幅值為A的階躍輸入，則

這是最典型的一階對(duì)象的傳遞函數(shù)第9頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期四·一階線性對(duì)象（總結(jié)）典型的微分方程典型的傳遞函數(shù)典型的階躍響應(yīng)函數(shù)典型的階躍響應(yīng)曲線h()h(t)T0.632h()qita從微分方程的解析解來看

K――放大系數(shù)，在階躍輸入作用下，對(duì)象輸出達(dá)到新的穩(wěn)定值時(shí)，輸出變化量與輸入變化量之比，也稱靜態(tài)增益。K越大，表示輸入量對(duì)輸出量的影響越大。T――時(shí)間常數(shù)，在階躍輸入作用下，對(duì)象輸出達(dá)到最終穩(wěn)態(tài)變化量的63.2％所需要的時(shí)間，時(shí)間常數(shù)T是反映響應(yīng)變化快慢或響應(yīng)滯后的重要參數(shù)。用T表示的響應(yīng)滯后稱阻容滯后（容量滯后）。

T大，反應(yīng)慢，難以控制；T小，反應(yīng)塊。第10頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期四·二階線性對(duì)象問題：求右圖所示的對(duì)象模型（輸入輸出模型）。

解：該對(duì)象的輸入量為qi

被控變量為液位h2（同樣利用物料平衡方程）槽1：槽2：聯(lián)立方程求解：傳遞函數(shù)：第11頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期四·二階線性對(duì)象（總結(jié)）典型的微分方程典型的階躍響應(yīng)函數(shù)典型的階躍響應(yīng)曲線qita不相關(guān)雙容第12頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期四·二階線性對(duì)象(相關(guān)和不相關(guān)）若各特性參數(shù)不變，則二者的階躍響應(yīng)曲線示意圖如下：qita不相關(guān)雙容響應(yīng)曲線比較單容相關(guān)雙容第13頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期四·純滯后一階對(duì)象在工業(yè)過程中常有一些輸送物料的中間過程，如圖所示，qi為操縱變量，但需要經(jīng)過導(dǎo)流槽才送入水箱。如果把水箱入口的進(jìn)料量記為qf，并設(shè)：導(dǎo)流槽長(zhǎng)度l，流體平均速度v，流體流經(jīng)導(dǎo)流槽所需的時(shí)間τ，所以當(dāng)qi發(fā)生改變以后，經(jīng)過時(shí)間以后qf才有變化：對(duì)于qf與h來說，根據(jù)前面的推導(dǎo)，可知：傳遞函數(shù)為：第14頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期四·純滯后對(duì)象（總結(jié)）典型的微分方程典型的傳遞函數(shù)典型的階躍響應(yīng)函數(shù)典型的階躍響應(yīng)曲線qitah()hT0.632h()純滯后產(chǎn)生的主要原因：

物料輸送等中間過程產(chǎn)生純滯后（大時(shí)間常數(shù)表現(xiàn)出來的等效滯后）由于純滯后的出現(xiàn)，控制作用必須經(jīng)歷一定的時(shí)間延遲（滯后）才能在被控變量上得到體現(xiàn)，致使當(dāng)被控變量的反饋反映出控制作用時(shí)，可能會(huì)輸入過多的控制量，導(dǎo)致系統(tǒng)嚴(yán)重超調(diào)甚至失穩(wěn)。

第15頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期四對(duì)象特性的實(shí)驗(yàn)建?！诒豢貙?duì)象上人為加入輸入量，記錄表征對(duì)象特性的輸出量隨時(shí)間的變化規(guī)律。被控對(duì)象輸入量輸出量系統(tǒng)辨識(shí)對(duì)象模型階躍信號(hào)脈沖信號(hào)偽隨機(jī)信號(hào)……表格數(shù)據(jù)響應(yīng)曲線……階躍輸入t0At0A矩形脈沖t1加測(cè)試信號(hào)前，要求系統(tǒng)盡可能保持穩(wěn)定狀態(tài)，否則會(huì)影響測(cè)試結(jié)果；輸入量/輸出量的起始時(shí)間是相同的，起始時(shí)間是輸入量的加入時(shí)間，輸出量的響應(yīng)曲線可能滯后于輸入量的響應(yīng)，其原因是純滯后或容量滯后；在測(cè)試過程中盡可能排除其它干擾的影響，以提高測(cè)量精度；在相同條件下重復(fù)測(cè)試多次，以抽取其共性；在測(cè)試和記錄的過程中，應(yīng)持續(xù)到輸出量達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)值；許多工業(yè)對(duì)象不是真正的線性對(duì)象，由于非線性關(guān)系，對(duì)象的放大倍數(shù)是可變的，所以作為測(cè)試對(duì)象的工作點(diǎn)應(yīng)該選擇正常的工作狀態(tài)（一般要求運(yùn)行在額定負(fù)荷、正常干擾等條件下）。第16頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期四對(duì)象特性的混合建模由于機(jī)理建模和實(shí)驗(yàn)建模各優(yōu)特點(diǎn)，目前比較實(shí)用的方法是將二者結(jié)合起來，成為混合建模?；旌辖５倪^程：先通過機(jī)理建模獲取數(shù)學(xué)模型的結(jié)構(gòu)形式，通過實(shí)驗(yàn)建模（辨識(shí)）來求?。ü烙?jì)）模型的參數(shù)。第17頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期四對(duì)象特性對(duì)過渡過程的影響對(duì)象模型由三個(gè)基本參數(shù)決定：K、T、τ

K對(duì)過渡過程的影響階躍輸入作用下，對(duì)象輸出達(dá)到新的穩(wěn)定值時(shí)，輸出變化量與輸入變化量之比，稱為靜態(tài)增益（輸出靜態(tài)變化量與輸入靜態(tài)變化量之比）。u廣義對(duì)象fyK其它參數(shù)不變控制通道放大系數(shù)

干擾通道放大系數(shù)

KO越大

控制變量u對(duì)被控變量y的影響越靈敏

控制能力強(qiáng)Kf

越大

干擾f對(duì)被控變量y的影響越靈敏。在設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，應(yīng)合理地選擇KO使之大些，抗干擾能力強(qiáng)，太大會(huì)引起系統(tǒng)振蕩。第18頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

T對(duì)過渡過程的影響時(shí)間常數(shù)：在階躍輸入作用下，對(duì)象輸出達(dá)到最終穩(wěn)態(tài)變化量的63.2％所需要的時(shí)間。一般情況希望TO小些，但不能太小，Tf大些。T（其它參數(shù)不變）時(shí)間常數(shù)T是反映響應(yīng)變化快慢或響應(yīng)滯后的重要參數(shù)。用T表示的響應(yīng)滯后稱阻容滯后（容量滯后），T大反應(yīng)慢，難以控制；T小反應(yīng)塊。

控制通道TO大

響應(yīng)慢、控制不及時(shí)、過渡時(shí)間tp長(zhǎng)、超調(diào)量大控制通道TO小

響應(yīng)快、控制及時(shí)、過渡時(shí)間tp短、超調(diào)量小控制通道TO太小

響應(yīng)過快、容易引起振蕩、降低系統(tǒng)穩(wěn)定性。干擾通道的時(shí)間常數(shù)對(duì)被控變量輸出的影響也是相類似的。第19頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

τ對(duì)過渡過程的影響產(chǎn)生純滯后的原因：物料輸送等中間過程產(chǎn)生大時(shí)間常數(shù)對(duì)象所表現(xiàn)出來的等效純滯后。物料輸送產(chǎn)生的純滯后比較容易理解，實(shí)際對(duì)象由于多容的存在也會(huì)使響應(yīng)速度變慢，尤其是初始響應(yīng)被大大延遲，在動(dòng)態(tài)特性上也可近似作為純滯后看待。事實(shí)上，廣義等效的等效純滯后就包括了以上二個(gè)部分之和?？刂仆ǖ兰儨髮?duì)控制肯定不利，純滯后增大控制質(zhì)量惡化、超調(diào)量大干擾通道的純滯后對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)影響不大，因?yàn)楦蓴_本身是不確定的，可以在任何時(shí)間出現(xiàn)。在工藝設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)盡量減少或避免純滯后時(shí)間。如：簡(jiǎn)化工藝、減少不必要的環(huán)節(jié)，以利于減少控制通道的滯后時(shí)間，在選擇控制閥與檢測(cè)點(diǎn)的安裝位置時(shí)，應(yīng)選取靠近控制對(duì)象的有利位置。第20頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

一階對(duì)象的放大倍數(shù)和時(shí)間常數(shù)

(Q1-Q2)dt=Adh其中Q2h/Rs對(duì)于任意Q1輸入，最終總能形成一定的h，使得：

Q1=Q2h/Rs一個(gè)Q1對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的h。 參數(shù)Rs實(shí)際上決定了穩(wěn)定液位高度與給料量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系——比例系數(shù)或放大倍數(shù)。 當(dāng)某一瞬間Q1從a增加/減少到b時(shí)，h需要經(jīng)過一段時(shí)間才能從對(duì)應(yīng)的h1增加/減少到h2