北京延慶區(qū)高三下學期質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題

2022屆北京延慶區(qū)高三下學期質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先化簡集合A、B，再去求【詳解】，則故選：D2．在復平面內(nèi)，復數(shù)，則對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】先求得復數(shù)，再去判斷對應的點所在象限.【詳解】由，可得，在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點為，位于第二象限故選：B3．的展開式中，常數(shù)項為A． B．C． D．【答案】D【分析】寫出二項式展開通項，整理后令的指數(shù)為0，得到相應的項數(shù)，然后算出常數(shù)項.【詳解】的展開式的通項為，令，得到所以展開式中常數(shù)項為，故選D項.【點睛】對二項式展開通項的考查，題目難度不大，考查內(nèi)容比較單一，屬于簡單題.4．設是兩個不同的平面，是直線且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】依據(jù)面面垂直判定定理和性質(zhì)定理去推導即可判定二者間的邏輯關系【詳解】由，，可得；由，，可得，或則“”是“”的充分不必要條件故選：A5．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用特殊值法，結(jié)合已知逐一判斷即可.【詳解】因為，所以，選項A正確；當時，顯然滿足，但，選項B不正確；當時，顯然滿足，但，選項C不正確；當時，顯然滿足，但是，選項D不正確，故選：A6．已知拋物線的焦點為，是拋物線上一點.若，則點的坐標為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先求出拋物線的準線方程，設，根據(jù)焦半徑公式求出，再代入拋物線方程求出，即可得解；【詳解】解：拋物線，，拋物線的準線方程是，設，，，解得，所以，解得，故點的坐標為或．故選：D7．已知雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意結(jié)合雙曲線的性質(zhì)確定a,b的關系式，據(jù)此即可確定雙曲線的漸近線方程.【詳解】由離心率的定義可知：，則雙曲線的漸近線方程為：.故選A.【點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，雙曲線的漸近線的求解方法等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.8．已知圓截直線所得弦的長度為，則實數(shù)的值為（

）A． B．C． D．不存在【答案】B【分析】利用點到直線距離公式，結(jié)合勾股定理進行求解即可.【詳解】由可知：圓心為，半徑為，所以有，故選：B9．已知函數(shù)，且，則的零點個數(shù)為（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】解三角方程求得的零點即可解決【詳解】由可得或，又，則，或，或則的零點個數(shù)為3故選：C10．已知曲線的方程為，直線的方程為．當直線與曲線有兩個交點時，實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先作出曲線C的圖像，利用數(shù)形結(jié)合，求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】曲線如圖所示.顯然直線的經(jīng)過點A、B時，有兩個交點，此時把或代入，解得：a=1；直線的經(jīng)過點E、D時，有兩個交點，此時把或代入，解得：a=-1；如圖示，直線l1，l2與曲線C相切時，有三個交點，所以要使直線與曲線有兩個交點，只需直線l夾在l1，l2之間.當直線l1與曲線C相切時，即為直線l1與曲線C在第一象限部分相切，所以消去y，整理化簡得：.由，解得：，此時符合題意；同理可求：當直線l2與曲線C相切時，即為直線l2與曲線C在第一象限部分相切，求出，此時符合題意；所以直線l夾在l1，l2之間時，.綜上所述：即直線與曲線有兩個交點，實數(shù)的取值范圍是.故選：B二、填空題11．函數(shù)的定義域是_______．【答案】【分析】依據(jù)題意列出不等式組，解之即可得到函數(shù)的定義域【詳解】由題意可得，，解之得則函數(shù)的定義域是故答案為：12．已知函數(shù)的兩個相鄰零點之間的距離是，則_______．【答案】【分析】根據(jù)正弦二倍角公式，結(jié)合正弦型函數(shù)的最小正周期的性質(zhì)和公式進行求解即可.【詳解】由，因為函數(shù)的兩個相鄰零點之間的距離是，所以該函數(shù)的最小正周期為，因為，所以，故答案為：13．已知函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則實數(shù)_________．【答案】【分析】求出導函數(shù)，在上確定函數(shù)的單調(diào)性與最小值，由此確定，利用單調(diào)性得最小值，從而求得．【詳解】函數(shù)定義域是，因此，，時，，遞減，時，，遞增，，所以，此時在上遞增，，解得或（舍去），故答案為：2．14．已知向量序列：和向量滿足：，，．定義（），則最小值為_________．【答案】【分析】先求得的表達式，再求其最小值即可【詳解】由（），可得數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，則，則（當且僅當時等號成立）則最小值為故答案為：15．數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，為其前項和.已知，，給出下列四個結(jié)論：①；②若存在使得的乘積最大，則的一個可能值是；③若存在使得的乘積最大，則的一個可能值是；④若存在使得的乘積最小，則的值只能是．其中所有正確結(jié)論的序號是________.【答案】①②③【分析】求出數(shù)列的通項公式，求得前項乘積，確定積的最大值和最小值，即可得．【詳解】由題意，，若，則，所以，，，無實解，若，則，，，又，所以，①正確，，，，，，，，，因此，又時，，所以時，，，，，，，，所以或時，取得最大值，或時，取得最小值，因此②③正確，④錯誤，故答案為：①②③．三、解答題16．如圖，在正方體中，為棱的中點，棱交平面于點．(1)求證：平面平面；(2)求證：；(3)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）依據(jù)面面垂直判定定理去證明平面平面；（2）利用面面平行性質(zhì)定理和平行公理去證明；（3）建立空間直角坐標系，利用向量的方法去求二面角的余弦值．【詳解】(1)在正方體中，平面.因為平面，所以．

又因為是正方形，所以．又因為，所以平面．

又平面，所以平面平面．(2)在正方體中，平面平面.又平面平面，平面平面，則．

又因為且，所以是平行四邊形．所以．

所以.(3)因為底面，，所以兩兩垂直.以所在直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標系．設正方體邊長為，則，，，．

設平面的一個法向量為，由得令，得.

因為平面，所以是平面的一個法向量所以．

由圖可知，二面角的余弦值．17．在中，，．(1)求；(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求的面積.條件①：；條件②：邊上的中線；條件③：的周長為．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理化邊為角，得出關系，從而求得角；（2）由（1）得，又，選①，無解；選②，利用余弦定理求出后可得三角形面積；選③，由已知求得與的關系，然后由周長得三邊長，從而得三角形面積．【詳解】(1)因為，由正弦定理可得．

所以，或．因為，所以不滿足題意舍去，所以，所以．

所以．(2)選條件①：，由（1），，但，矛盾，三角形無解；選條件②：因為邊上的中線．

由（1）可知，，．所以

由余弦定理可得．解得．

所以．選條件③：的周長為．

由（1）可知，，．所以,，所以.

解得.

所以．18．2022年北京冬奧會的成功舉辦，帶動中國3億多人參與冰雪運動，這是對國際奧林匹克運動發(fā)展的巨大貢獻．2020《中國滑雪產(chǎn)業(yè)白皮書》顯示，2020-2021排名前十的省份的滑雪人次（單位：萬人次）數(shù)據(jù)如下表：排名省份2020-20212019-20202018-20191河北2211362352吉林2021232073北京1881121864黑龍江1491011955新疆133761166四川9952697河南9858958浙江94621089陜西79477610山西7839100(1)從滑雪人次排名前10名的省份中隨機抽取1個省份，求該省2020-2021滑雪人次大于2018-2019滑雪人次的概率；(2)從滑雪人次排名前5名的省份中隨機選取3個省份，記這3個省份中2020-2021的滑雪人次超過150萬人次的省份數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望；(3)記表格中2020-2021，2019-2020兩組數(shù)據(jù)的方差分別為與，試判斷和的大?。Y(jié)論不要求證明【答案】(1)；(2)分布列見解析，;(3).【分析】（1）根據(jù)古典概型計算公式進行求解即可；（2）根據(jù)古典概型計算公式，結(jié)合數(shù)學期望公式進行求解即可；（3）根據(jù)方差的性質(zhì)進行判斷即可.【詳解】(1)由表格可知，滑雪人次排名前十的省份中2020-2021滑雪人次大于2018-2019滑雪人次的頻率為．

設事件從滑雪人次排名前十的省份中隨機抽取1個省份，該省2020-2021滑雪人次大于2018-2019滑雪人次．所以；(2)由題意可知，X的可能取值是．

，，，所以X的分布列為X123P所以X的數(shù)學期望為=；(3)通過表格可以發(fā)現(xiàn)2020-2021，2019-2020兩組數(shù)據(jù)中，2020-2021這一組數(shù)據(jù)比較分散不集中，所以．19．已知函數(shù).(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)求的極值和單調(diào)區(qū)間；(3)若在上不是單調(diào)函數(shù)，且在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)答案見解析(3)【分析】（1）求出導函數(shù)，計算出切線斜率，然后由點斜式得切線方程；（2）求出導函數(shù)，分類討論確定的正負，確定函數(shù)單調(diào)性、極值．（3）由函數(shù)不單調(diào)，結(jié)合（2）得出函數(shù)在的最值，由最大值滿足的不等關系可得的范圍．【詳解】(1)當時，函數(shù)，．

所以，．

所以曲線在點處的切線方程．(2)函數(shù)定義域．

求導得.

①當時，因為，所以．故的單調(diào)遞減區(qū)間是，此時無極值.

②當時，變化時，變化如下表：極小值所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是．

此時函數(shù)的極小值是，無極大值．(3)因為在不是單調(diào)函數(shù)，由第（2）可知此時，且，1極小值又因為在上恒成立，只需即可，所以，解得的取值范圍是20．已知橢圓的長軸長為，離心率為，其中左頂點為，右頂點為，為坐標原點.(1)求橢圓的標準方程；(2)直線與橢圓交于不同的兩點，，直線，分別與直線交于點，.求證：為定值.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率的公式，結(jié)合橢圓長軸的定義、橢圓之間的關系進行求解即可；（2）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)關系進行求解即可.【詳解】(1)由已知得．所以．

又因為橢圓的離心率為，所以．所以．所以，所以橢圓的方程為；(2)由得，設，．因為直線與橢圓交于不同的兩點，，所以．解得，所以，，直線的方程為.令得．直線的方程為.令得.又因為

，

所以.【點睛】關鍵點睛：利用一元二次方程根與系數(shù)關系是解題的關鍵.21．已知是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前項的最大值記為，最小值記為，令

，并將數(shù)列稱為的“生成數(shù)列”．(1)若，求數(shù)列的前項和；(2)設數(shù)列的“生成數(shù)列”為，求證：；(3)若是等比數(shù)列，證明：存在正整數(shù)，當時，

是等比數(shù)列．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【分析】（1）利用差比法判斷數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合等比數(shù)列的定義和前項和公式進行求解即可；（2）根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合生成數(shù)列的定義運用累加法進行證明即可；（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，根據(jù)等比數(shù)列的定義分類討論進行證明即可.【詳解】(1)因為，