2022-2023學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)重點中學(xué)三校聯(lián)考高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷-普通用卷

第=page11頁，共=sectionpages11頁2022-2023學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)重點中學(xué)三校聯(lián)考高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知a?i1+iA.3 B.4 C.5 D.72.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+πA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.圖1中的機械設(shè)備叫做“轉(zhuǎn)子發(fā)動機”，其核心零部件之一的轉(zhuǎn)子形狀是“曲側(cè)面三棱柱”，圖2是一個曲側(cè)面三棱柱，它的側(cè)棱垂直于底面，底面是“萊洛三角形”，萊洛三角形是以正三角形的三個頂點為圓心，正三角形的邊長為半徑畫圓弧得到的，如圖3.若曲側(cè)面三棱柱的高為10，底面任意兩頂點之間的距離為10，則其側(cè)面積為(

)

A.100π B.200π C.300π4.在空間中，α，β表示平面，m表示直線，已知α∩β=lA.若m//l，則m與α，β都平行 B.若m與α，β都平行，則m//l

C.若m與l異面，則m與α，β都相交 D.若m與α，5.某大學(xué)校園內(nèi)有一個“少年湖”，湖的兩側(cè)有一個健身房和一個圖書館，如圖，若設(shè)音樂教室在A處，圖書館在B處，為測量A、B兩地之間的距離，甲同學(xué)選定了與A、B不共線的C處，構(gòu)成△ABC，以下是測量的數(shù)據(jù)的不同方案：①測量∠A，∠B，∠C；②測量∠A，∠B，BC；③測量∠A，AC，BC；④測量∠CA.①② B.②③ C.②④6.設(shè)平面向量a=(1,0)，b=(A.3a+b B.a+b7.在三棱錐A?BCD中，AB⊥平面BCDA.16π B.32π C.112π8.已知3a=4bA.c<b<a B.1a+二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.歐拉公式exi=cosA.e2π3i對應(yīng)的點位于第四象限 B.eπ2i為純虛數(shù)

C.e10.已知函數(shù)f(x)=sin(ωxA.f(x)的最小正周期是π3

B.若f(2π3)+f(5π6)=0，則11.如圖，點M是棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1DA.有無數(shù)個點M滿足CM⊥AD1

B.當(dāng)點M在棱DD1上運動時，MA+MB的最小值為3+1

C.若MB1=12.已知點P在△ABC所在的平面內(nèi)，則下列命題正確的是A.若P為△ABC的垂心，AB?AC=2，則AP??AB=2

B.若△ABC為邊長為2的正三角形，則PA?(P三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.函數(shù)f(x)=lg14.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且3cosA15.已知函數(shù)f(x)是定義在[?1,1]上的奇函數(shù)且f(1)=2，當(dāng)x1，x2∈[16.容器中有A，B，C3種粒子，若相同種類的兩顆粒子發(fā)生碰撞，則變成一顆B粒子；不同種類的兩顆粒子發(fā)生碰撞，會變成另外一種粒子.例如，一顆A粒子和一顆B粒子發(fā)生碰撞則變成一顆C粒子，現(xiàn)有A粒子10顆，B粒子8顆，C粒子9顆，如果經(jīng)過各種兩兩碰撞后，只剩1顆粒子.給出下列結(jié)論：

①最后一顆粒子可能是A粒子；

②最后一顆粒子可能是B粒子；

③最后一顆粒子可能是C粒子；

其中正確結(jié)論的序號是______.(寫出所有正確結(jié)論的序號)四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

(Ⅰ)計算(338)?13?lg5+(lg18.(本小題12.0分)

由倍角公式cos2x=2cos2x?1可知cos2x可表示為cosx的二次多項式，類似的cos3x可表示為關(guān)于19.(本小題12.0分)

如圖，四棱臺ABCD?A1B1C1D1的上底面和下底面分別是邊長為2和4的正方形，側(cè)棱CC1上的一點E滿足CEEC1=2．

(Ⅰ)證明：A20.(本小題12.0分)已知a，b，c分別為ΔABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，S為Δ(1)證明：(2)若b=2，且21.(本小題12.0分)

如圖，已知正三棱錐P?ABC的側(cè)面是直角三角形，PA=6，頂點P在平面ABC內(nèi)的正投影為點D，點D在平面PAB內(nèi)的正投影為點E，連結(jié)PE并延長交AB于點G．

(Ⅰ)證明：點G是棱AB的中點；

(Ⅱ)22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=2exex+1+k是奇函數(shù).(e是自然對數(shù)的底)

(1)求實數(shù)k的值；

(2)若x>0時，關(guān)于x的不等式f(2x)≤mf(x)恒成立.答案和解析1.【答案】C

【解析】解：由a?i1+i=3+2bi，可得a?i=(1+i)(3+2bi)2.【答案】A

【解析】解：由f(x)=sin(ωx+π12)的最小正周期為2，

可得T=|2πω|=2，即ω=±π，

所以由“ω=π”可推出“f(x)3.【答案】A

【解析】解：底面圓弧的長度l=π3?10=10π3，

所以曲側(cè)面三棱柱的三個側(cè)面展開后，均是長為10π3，寬為10的矩形，

所以側(cè)面積S=3×4.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了空間中的線線、線面關(guān)系，熟練掌握相關(guān)定理是關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．

利用線線關(guān)系、線面關(guān)系的定理分別分別選擇．

【解答】

解：對于A，α∩β=l，m//l，則m與α，β可能都平行，也可能在其中一個平面內(nèi)；故A錯誤；

對于B，α∩β=l，若m與α，β都平行，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可以判斷m//l；故B正確；

對于C，α∩β=l，若m與l異面，則m與α，β可能都相交，也可能與其中一個平面平行，與另一個平面相交；故C錯誤；

對于D，α5.【答案】C

【解析】解：①測量∠A，∠C，∠B，知道三個角度值，三角形有無數(shù)多組解，不能唯一確定點A，B兩地之間的距離；

②測量∠A，∠B，BC，已知兩角及一邊，由正弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一確定點A，B兩地之間的距離；

③測量∠A，AC，BC，已知兩邊及其一邊的對角，由正弦定理可知，三角形可能有2個解，不能唯一確定點A，B兩地之間的距離；

④測量∠C，AC，BC，已知兩邊及夾角，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一確定點A，B兩地之間的距離．

綜上可得，一定能唯一確定A，B兩地之間的距離的所有方案的序號是②④．6.【答案】D

【解析】解：a=(1,0)，b=(?1,3)，、

則a?b=?1，|a|=1，|b|=2，

設(shè)c=ma+7.【答案】B

【解析】解：設(shè)底面BCD的外接圓的半徑為r，∠CBD=θ，底面三角形的外心為O1，過O1作底面BCD的垂線，與AB的中垂線的交點我外接球的球心，外接球的半徑為R；

可得2r=4sinθ，所以r=2sinθ，

8.【答案】D

【解析】【分析】結(jié)合指數(shù)與對數(shù)的相互轉(zhuǎn)化，對數(shù)的運算性質(zhì)及對數(shù)的換底公式進(jìn)行化簡，檢驗各選項即可判斷．

本題主要考查了指數(shù)與對數(shù)的相互轉(zhuǎn)化，對數(shù)的運算性質(zhì)及對數(shù)的換底公式的應(yīng)用，屬于中檔題．

【解答】

解：設(shè)k=3a=4b=5c>1，

所以a，b，c為正數(shù)，且a=log3k，b=log4k，c=log5k，

根據(jù)對數(shù)函數(shù)的底數(shù)對圖象的影響可知，a>b>c，9.【答案】BC【解析】解：e2π3i=cos2π3+isin2π3=?12+32i，其對應(yīng)的點(?12,3210.【答案】BD【解析】解：對于A，因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(2π3,5π6)上單調(diào)遞減，所以T2≥5π6?2π3=π6，

所以f(x)的最小正周期T≥π3，即f(x)的最小正周期的最小值為π3，故A錯誤；

對于B，若f(2π3)+f(5π6)=0，2π3+5π62=3π4，所以f(x)的圖像關(guān)于點(3π4,0)對稱，所以f(3π4)=0，故B正確；

對于C，若f(x+π3)≥f(x)恒成立，則π3為函數(shù)f(x11.【答案】AC【解析】解：對于A，若M在A1D上，此時必有CM⊥AD1，

證明如下：由正方體性質(zhì)得CD⊥平面ADD1A1，CD⊥AD1，

又A1D⊥AD1，CD∩A1D=D，∴AD1⊥平面A1DC，CM在平面A1DC內(nèi)，

∴AD1⊥CM，故A正確；

對于B，旋轉(zhuǎn)平面ADD1A1使之與平面BB1D1D共面，如圖中A′A1′D1D，

連接A′B1，交DD1于點M，

此時|MA|+|MB1|最短為A′B，大小為12+(1+2)2≠3+1，故B錯誤；

對于C，當(dāng)點M在平面ADD1A1內(nèi)時，由A1B1⊥面ADD1A12.【答案】AC【解析】解：對A選項，∵P為△ABC的垂心，∴CP⊥AB，

又AB?AC=2，∴由向量數(shù)量積的幾何意義可得：

AP??AB=AB?AC=2，∴A選項正確；

對B選項，設(shè)BC的中點為D，AD的中點為E，

又△ABC為邊長為2的正三角形，∴易得|AE|=32，

∵PA?(PB+PC)=2PA?PE，

∴根據(jù)向量數(shù)量積的極化恒等式可得：

PA?(PB+PC)=2PA?PE=2(|PE|2?|AE|2)=2(|PE|2?34)，

∴當(dāng)|PE|=0時，PA?13.【答案】(?【解析】解：由f(x)=lg(4?x2)+1?tanx，

得14.【答案】?4【解析】解：∵3cosAbc=cosBab+cosCac，即3acosA=ccosB+bcosC15.【答案】(?【解析】解：因為f(x)是奇函數(shù)，由已知設(shè)x1?(?x2)>0，即x1>?x2，且x1，x2∈[?1,1]，

則f(x1)?f(?x2)x1?(?x2)>0，可得f(x1)>16.【答案】①③【解析】解：①若最后剩下的可能是A粒子，

10顆A粒子兩兩碰撞，形成5顆B粒子；

9顆C粒子中的8個兩兩碰撞，形成4顆B粒子；

所有的17顆B粒子兩兩碰撞，剩下一顆B粒子；

這個B粒子與剩下的一顆C粒子碰撞形成A粒子．

③最后剩下的可能是C粒子，

10顆A粒子中的9顆與9顆C粒子兩兩碰撞，形成9顆B粒子；

所有的17顆B粒子兩兩碰撞，最后剩一顆B粒子；

這個B粒子與剩下的一顆A粒子碰撞形成C粒子．

②最后剩下的不可能是B粒子，

A、B、C三種粒子每一次碰撞有以下6種可能的情況：

A與A碰撞，會產(chǎn)生一顆B粒子，減少兩顆A粒子：(B多1個，A、C共減少兩個)；

B與B碰撞，會產(chǎn)生一顆B粒子，減少兩顆B粒子(B少1個，A、C總數(shù)不變)；

C與C碰撞，會產(chǎn)生一顆B粒子，減少兩顆C粒子(B多1個，A、C共減少兩個)；

A與B碰撞，會產(chǎn)生一顆C粒子，減少A、B各一顆粒子(B少1個，A、C總數(shù)不變)；

A與C碰撞，會產(chǎn)生一顆B粒子，減少A、C各一顆粒子(B多1個，A、C共減少兩個)；

B與C碰撞，會產(chǎn)生一顆A粒子，減少B、C各一顆粒子(B少1個，A、C總數(shù)不變)，

可以發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：

(1)從B粒子的角度看：每碰撞一次，B粒子的數(shù)量增多一個或減少一個．

題目中共有27顆粒子，經(jīng)過26次碰撞剩一顆粒子，整個過程變化了偶數(shù)次，

由于開始B粒子共有8顆，所以26次碰撞之后，剩余的B粒子個數(shù)必為偶數(shù)，不可能是1個，所以最后剩下的不可能是B粒子．

(2)從A、C粒子的角度看：每次碰撞之后，A、C粒子總數(shù)或者不變、或者減少兩個．

題目中A、C粒子之和為19個，無論碰撞多少次，A、C粒子都沒了是不可能的，所以剩下的最后一顆粒子一定是A或C．

故正確結(jié)論的序號為①17.【答案】解：(I)(lg2)2?lg2+lg5=lg2(lg2?1)+lg5【解析】(I)根據(jù)已知條件，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，即可求解；

(Ⅱ)根據(jù)已知條件，結(jié)合投影向量的公式，即可求解；

18.【答案】解：(Ⅰ)cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx?sin2xsinx

=【解析】(Ⅰ)cos3x=cos(2x19.【答案】(Ⅰ)證明：延長D1E，DC，交于點M，連接MA交BC于N點，連接D1N，

由CEEC1=2，得C1ECE=12，∴C1D1CM=12，∴CM=4=AB1，

∴BN=CN，∴N是BC中點，

此時，A1D1//B1C//BN，A1D1=B1C1=BN，

∴四邊形A1BND1是平行四邊形，∴A1B/【解析】(Ⅰ)延長D1E，DC，交于點M，連接MA交BC于N點，連接D1N，通過證明四邊形A1BND1是平行四邊形得A1B//D1N，從而得A1B//平面A20.【答案】(Ⅰ)證明：由sin(B+C)=2Sa2?c2，即sinA=2Sa2?c2，

∴sinA=bcsinAa2?c2，sinA≠0，∴a2?c2=bc，

∵a2=b2+c2?2bccosA，【解析】(Ⅰ)由sin(B+C)=2Sa2?c2，利用三角形內(nèi)角和定理與誘導(dǎo)公式可得：sinA=2S21.【答案】(Ⅰ)證明：因為三棱錐P?ABC為正三棱錐，且點D為頂點P在平面ABC內(nèi)的正投影，

所以PD⊥平面ABC，

又AB?平面ABC，所以PD⊥AB，

因為點E為點D在平面PAB內(nèi)的正投影，所以DE⊥平面PAB，

又AB?平面PAB，所以DE⊥AB，

又PD∩DE=D，PD、DE?平面PDE，所以AB⊥平面PDE，

又PG?平面PDE，所以AB⊥PG，

又PA=PB，所以點G是棱AB的中點；

(Ⅱ)解：在平面PAB內(nèi)，過點E作PB的平行線交PA于點F，連結(jié)CG，如圖所示，

則點F即為點E在平面PAC內(nèi)的正投影．

因為正三棱錐P?ABC的側(cè)面是直角三角形，所以PB⊥PA，PB⊥PC，

又EF//PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，

又PA∩PC=P，PA、PC?平面PAC【解析】本題考查棱錐的體積以及線面垂直的判定與性質(zhì)，屬于較難題．

(Ⅰ)根據(jù)題意結(jié)合正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征以及線面垂直的性質(zhì)與判定定理證明AB⊥平面PDE，從而得到