擴(kuò)展有限元方法和裂紋擴(kuò)展

擴(kuò)展有限元方法和裂紋擴(kuò)展1.1擴(kuò)展有限元方法(XFEM)基本理論1999年，美國NorthwesternUniversity的Belytschko和Black領(lǐng)導(dǎo)的研究小組提出了擴(kuò)展有限元方法，為解決裂紋這類強(qiáng)不連續(xù)問題帶來了曙光。他們正式應(yīng)用擴(kuò)展有限元法(XFEM)這一專業(yè)術(shù)語是在2000年，截止到目前，擴(kuò)展有限元法(XFEM)成為我們解決強(qiáng)不連續(xù)力學(xué)問題的最有效的數(shù)值計(jì)算方法，也成為計(jì)算斷裂力學(xué)的重要分支。XFEM在有限元的框架下進(jìn)行求解，無需對構(gòu)件內(nèi)部的物理界面進(jìn)行網(wǎng)格劃分，具有常規(guī)有限元方法的所有優(yōu)點(diǎn)。它最明顯的特點(diǎn)是用已知的特征函數(shù)作為形函數(shù)來使傳統(tǒng)有限元的位移得到逼近，進(jìn)而克服了在裂紋尖端和變形集中處進(jìn)行高密度網(wǎng)絡(luò)劃分產(chǎn)生的困難，方便地模擬裂紋的任意路徑，而且計(jì)算精度和效率得到了顯著的提高⑹。擴(kuò)展有限元方法是將已知解析解的特征函數(shù)作為插值函數(shù)增強(qiáng)傳統(tǒng)有限元的位移逼近，來使得單元內(nèi)的真實(shí)位移特性得以體現(xiàn)，裂紋尖端和物理或兒何界面獨(dú)立于有限元網(wǎng)格。XFEM主要包括以下三部分內(nèi)容：首先是不考慮構(gòu)件的任何內(nèi)部細(xì)節(jié)，按照構(gòu)件的兒何外形尺寸生成有限元網(wǎng)格；其次，采用水平集方法跟蹤裂紋的實(shí)際位置；根據(jù)已知解，改進(jìn)影響區(qū)域的單元的形函數(shù)，來反映裂紋的擴(kuò)展。最后通過引入不連續(xù)位移模式來表示不連續(xù)兒何界面的演化。因?yàn)楦倪M(jìn)的插值函數(shù)在單元內(nèi)部具有單元分解的特性，其剛度矩陣的特點(diǎn)與常規(guī)有限元法的剛度矩陣特性保持一致。單元分解法(PartitionOfUnityMethod)和水平集法(LevelSetMethod).節(jié)點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)構(gòu)成了擴(kuò)展有限元法的基本理論，其中，單元分解法是通過引入加強(qiáng)函數(shù)訃算平面裂紋擴(kuò)展問題，保證了XFEM的收斂性；水平集法是跟蹤裂紋的位置和模擬裂紋擴(kuò)展的常用數(shù)值方法，任何內(nèi)部兒何界面位置都可用它的零水平集函數(shù)來表示。單元分解法的基本思想是任意函數(shù)處工)都可以用子域內(nèi)一組局部函數(shù)Ng(x)表示，滿足如「卜等式：此丫)=工〃應(yīng)沁) ⑴I其中，它們滿足單位分解條件：玄/%丫)=1M⑴是有限元法中的形函數(shù)，才艮I據(jù)上述理論，便可以根據(jù)需要對有限元的形函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)。在XFEM中，單元分解的目的是進(jìn)行數(shù)值積分，達(dá)到不引人額外的自由度的目的丹。水平集法使用水平集法來描述兒何間斷性。在一般情形下，多用來追蹤界面的位置。這里的界面可以是閉合曲線或者是訃算域邊界的曲線。在擴(kuò)展有限元方法中，山于網(wǎng)格劃分并不需要符合裂紋的兒何性質(zhì)，簡化裂紋跟蹤位置的關(guān)鍵是對裂紋的兒何描述。而水平集法的強(qiáng)大優(yōu)勢是可以用于分析和訃算界面運(yùn)動。正好符合擴(kuò)展有限元方法的要求即對于任意方向的裂紋增長不需要網(wǎng)格重劃。裂紋的水平集函數(shù)常取下列符號的距離函數(shù)即：皿）=土D既卜-引 ⑵若X位于裂紋上方，上式符號為正，反之為負(fù)X。：。（3）擴(kuò)展有限元法的位移模式（節(jié)點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)簡介）：擴(kuò)展有限元法的基本內(nèi)容就是在含有位移不連續(xù)性的影響區(qū)域內(nèi)通過一些附加的加強(qiáng)函數(shù)來多常規(guī)有限元法的位移模式進(jìn)行改進(jìn)，進(jìn)而對不連續(xù)的位移進(jìn)行描述。為了實(shí)現(xiàn)斷裂分析，裂紋尖端附近漸近函數(shù)用來模擬裂尖的應(yīng)力奇異性，間斷函數(shù)則用來表示裂紋兒何界面處的位移間斷跳躍。所以改進(jìn)的位移逼近可以寫為：Nr 4it=XNiE?+h +工耳（冊 ⑶其中，M（x）為有限元形函數(shù)，“/為節(jié)點(diǎn)位移向量的連續(xù)部分， q為與Heaviside函數(shù)相關(guān)的節(jié)點(diǎn)擴(kuò)展自山度向量，H（x）是裂紋面的間斷跳躍函數(shù)，外是與彈性漸進(jìn)裂尖函數(shù)有關(guān)的節(jié)點(diǎn)擴(kuò)展自山度向量，你（0是裂尖應(yīng)力漸進(jìn)函數(shù)。等式右邊笫一項(xiàng)可用于構(gòu)件中的所有節(jié)點(diǎn)，右邊笫二項(xiàng)單元節(jié)點(diǎn)形函數(shù)被裂紋完全貫穿的情況，第三項(xiàng)裂尖停留在單元內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)。引入位移擴(kuò)展函數(shù)使得擴(kuò)展有限元法確保裂尖可以被模擬為精確地停留在單元內(nèi)部，同時允許在相對粗糙的二維有限元網(wǎng)格上獲得比較好的精度:⑴。1.2擴(kuò)展有限元方法研究現(xiàn)狀1.1.1有限元法研究裂紋擴(kuò)展有限元方法是LI前來說應(yīng)用非常廣泛的數(shù)值計(jì)算方法之一，對彈性體進(jìn)行模擬裂紋擴(kuò)展時，有限元網(wǎng)格的劃分對整個計(jì)算過程最為重要，它不僅僅影響著計(jì)算的精度和速率，而且還決定著此訃算過程能否順利進(jìn)行。模擬裂紋擴(kuò)展問題的關(guān)鍵是裂紋尖端處的應(yīng)力場，所以裂紋尖端處的單元應(yīng)當(dāng)設(shè)訃為奇異性單元，并且在尖端領(lǐng)域內(nèi)進(jìn)行局部加密來提高計(jì)算精度，訃算網(wǎng)格隨著裂紋的擴(kuò)展而不斷變化，用來保證奇異性單元和加密網(wǎng)格始終位于裂紋尖端血，綜上，網(wǎng)格的重新劃分在有限元法模擬裂紋擴(kuò)展過程中是非常關(guān)鍵的一個問題。很多文獻(xiàn)關(guān)于有限元方法模擬裂紋擴(kuò)展過程的裂紋尖端處的網(wǎng)格生成進(jìn)行了研究，比如楊慶生的《斷裂過程的有限元模擬》中研究了自身適應(yīng)的模擬裂紋擴(kuò)展的有限元網(wǎng)格生成技術(shù)。還有2003年陳永強(qiáng)和姚振漢在有限元技術(shù)的基礎(chǔ)上，對表征非均勻材料且初始分布并不均勻的格子模型用重復(fù)多子域邊界元法對非均勻材料在簡單荷載作用下的破壞過程進(jìn)行了相關(guān)研究和模擬。諸如對裂紋擴(kuò)展過程模擬的研究還有很多，但是有限元法是基于網(wǎng)格的數(shù)值方法，山于裂紋尖端的奇異性和強(qiáng)不連續(xù)性，使得網(wǎng)格劃分變得困難，還是沒有完全解決此類問題。1.1.2擴(kuò)展有限元方法研究裂紋擴(kuò)展擴(kuò)展有限元方法（theextendedfinitemethod—XFEM）可以減少裂紋面網(wǎng)格劃分帶來的劣勢。該方法基于整體劃分（單元分解）的概念，仍然屬于傳統(tǒng)有常規(guī)有限元方法的擴(kuò)展。整體劃分的概念使擴(kuò)展函數(shù)方便地進(jìn)入到有限元當(dāng)中，不連續(xù)性也可以通過引入額外自III度的擴(kuò)展函數(shù)來解決，即可以確定裂紋的實(shí)際位置，跟蹤裂紋的生長網(wǎng)。當(dāng)然，擴(kuò)展有限元方法保留了傳統(tǒng)有限元的框架，其剛度矩陣具有與常規(guī)有限單元一樣的優(yōu)點(diǎn)。具有以下特點(diǎn)：（1） 單元劃分的常規(guī)有限元擴(kuò)展（2） 引入特殊的位移函數(shù)，擴(kuò)展自由度實(shí)現(xiàn)不連續(xù)性（3） 不需要重新劃分網(wǎng)格描述兒何間斷性（4） 所劃分網(wǎng)格與構(gòu)件的兒何或物理界面無關(guān)（5） 可用于模擬任意性、求解相關(guān)路徑裂紋的裂紋初始和擴(kuò)展過程（6） 同時允許兒何和材料的非線性的存在（7） 裂紋的生成與擴(kuò)展路徑可以完全基于計(jì)算的結(jié)果（8） 簡化模型網(wǎng)格細(xì)化后的裂紋研究（9） 在裂尖應(yīng)變奇異性改進(jìn)方法的基礎(chǔ)上，使裂紋分析的收斂速度得到提1.3斷裂力學(xué)中裂紋相關(guān)內(nèi)容斷裂力學(xué)的任務(wù)是：獲得不同材料的斷裂強(qiáng)度；預(yù)測物體在給定外力作用下是否將發(fā)生斷裂，即建立材料斷裂準(zhǔn)則；研究載荷作用過程里的裂紋擴(kuò)展規(guī)律；研究在復(fù)雜環(huán)境和應(yīng)力同時作用下物體的斷裂問題。裂紋擴(kuò)展有三種基本形式：張開型、滑開型以及撕開型。在工程應(yīng)用與實(shí)際生產(chǎn)中，并非所有的斷裂問題都可簡化為上述三個基本模式之一，還有復(fù)合型斷裂是三種基本模式的組合，也是最常見的裂紋類型。在斷裂力學(xué)中，有最為基本的理論即：能量釋放率理論、裂紋尖端彈性應(yīng)力場理論、J積分理論刖。（1） 能量釋放率（G）理論：G>G=RC(4)其中R是裂紋擴(kuò)展的阻力，Gc是G達(dá)到R時的臨界值。該理論認(rèn)為材料對裂紋擴(kuò)展的阻力等于彈性表面能與伴隨裂紋產(chǎn)生的塑性應(yīng)變功之和，成功的解釋了裂紋擴(kuò)展現(xiàn)象，為線彈性斷裂力學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。裂紋尖端應(yīng)力場理論：K=KC(5)應(yīng)力強(qiáng)度因子K不僅僅適用于穩(wěn)定的裂紋擴(kuò)展，還適用于應(yīng)力腐蝕和疲勞之類的亞裂紋擴(kuò)展。J積分理論：J=Jwdy-T"-els(6)是一個回路積分，曲Rice提出，J積分是一個與積分路徑無關(guān)的常數(shù)，J積分和應(yīng)力