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關(guān)于借對稱求最短距離第1頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月最短距離問題考查知識點:“兩點之間線段最短”,“點關(guān)于軸對稱”。生活中的原型:“建奶站問題”,“牧馬人飲馬問題”等。出題背景變式:有角、三角形、菱形、正方形、圓、坐標(biāo)軸、雙曲線、拋物線等。解題總思路:(不變的“宗”):找點關(guān)于軸的對稱點,實現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”.
第2頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月在北師版七年級數(shù)學(xué)(下)的第123頁上:如圖,要在街道旁修建一個奶站,分別向居民區(qū)A、B提供牛奶,奶站應(yīng)建在什么地方,才能使A、B到它的距離之和最短?數(shù)學(xué)模型1第3頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)問題1
已知:直線L和L的同側(cè)兩點A、B求作:點C,使C在直線L上,并且AC+CB最小。第4頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月∴BC+AC
<BC’+AC’,即AC+BC最小.LBACA'C'∵直線L是點A、A’的對稱軸,
點C、C’在對稱軸上,∴AC=A’C,AC’=A’C’.在△BA
’C’中,BA’<
BC’+A
’C’,∴BC+AC
=A’C+BC
=
A’B.∴AC’+BC’=A’C’+BC’做法:作點A關(guān)于直線L的對稱點A',連接A'B與直線L相交于點C,連接AC,則AC+BC最短。則點C就是奶站的位置依據(jù)?:以此題為“宗”的題目可以說層出不窮,如:第5頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月1.在正方形中探求線段和的最小值例1:如圖,正方形ABCD的邊長為8,M在DC上,且DM=2,N是AC上的一動點,DN+MN的最小值為
N連接BM交AC于N,連接DN,可得BN=DN,因此DN+MN=BN+MN=BM.第6頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月變式1:如圖所示,正方形ABCD的面積為36,△ABE是等邊三角形,點E在正方形ABCD內(nèi),在對角線AC上有一點P,使PD+PE的和最小,則這個最小值為()
面積為36,所以AB=BE=6第7頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月變式2:如圖,在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是BC邊的中點,E是AB邊上一動點,則EC+ED的最小值為_______第8頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月2.在圓背景下探求線段和的最小值例2:如圖,AB是⊙O的直徑,AB=2,OC是⊙O的半徑,OC⊥AB,點D在AC上,弧AD=2弧CD,點P是半徑OC上一個動點,那么AP+PD的最小值是
.PADCOB第9頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月變式:已知⊙O的直徑CD為4,∠AOD的度數(shù)為60°,點B是弧AD的中點,在直徑CD上找一點P,使BP+AP的值最小,并求BP+AP的最小值.2.在圓背景下探求線段和的最小值第10頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月3.在平面直角坐標(biāo)系背景下探求線段和的最小值例3:在平面直角坐標(biāo)系中,有A(3,-2),B(4,2)兩點,現(xiàn)另取一點C(1,n),當(dāng)n=___時,AC+BC的值最?。?1頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月3.在平面直角坐標(biāo)系背景下探求線段和的最小值
變式1:一次函數(shù)y=-2x+4的圖象與x、y軸分別交于點A(2,0),B(0,4),O為坐標(biāo)原點,設(shè)OA、AB的中點分別為C、D,P為OB上一動點,求PC+PD的最小值,并求取得最小值時P點坐標(biāo).第12頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月令X=0得,Y=1,所以P點(0.1)第13頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月變式2:已知拋物線與x軸交于A、B兩點,與Y軸交于點C。且對稱軸為直線X=-1,其中A點(-3,0),C點(0,-2)(1)求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式.(2)已知在對稱軸上存在一點P,使得△PBC的周長最小.請求出點P的坐標(biāo).ACxyBO第14頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月(2)已知在對稱軸上存在一點P,使得△PBC的周長最?。埱蟪鳇cP的坐標(biāo).第15頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月4、在角的背景下探求線段和的最小值例4:已知:如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點,在∠MON的兩邊OM,ON上各取一點B,C,組成三角形,使三角形周長最小.第16頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月變式:如圖,點P在∠AOB內(nèi)部,且∠AOB=45°,OP=2cm,在射線OA、OB上找點C、D,使PC+CD+DP之和最小。思考:你能求得出PC+CD+DP之和最小為多少嗎?第17頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月第18頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)模型2如圖:C處為馬棚,D處為帳篷,牧馬人某一天要從馬棚牽出馬,先到草地邊某一處牧馬,再到河邊飲馬,然后回到帳篷,請你幫他確定所走的最短路線。第19頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月
數(shù)學(xué)問題2如圖:C、D在∠AOB的內(nèi)部,在OA、OB上分別找點G、H,使得CG+GH+DH最短作法:1.作點C關(guān)于直線
OA的對稱點點F,2.作點D關(guān)于直線OB
的對稱點點E,
3.連接EF分別交直線OA.OB于點G.H,則CG+GH+DH最短FAOBD
··CEGH第20頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月例題:在直線m、n上分別求點M、N,使得四邊形PQMN的周長最小第21頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月變式1:如圖點A(a,1)、B(-1,b)都在雙曲線(x<0)上,點P、Q分別是x軸、y軸上的動點,當(dāng)四邊形PABQ的周長取最小值時,PQ在直線的解析式是().A.y=xB.y=x+1C.y=x+2D.y=x+3第22頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月第23頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月變式2:(2016貴陽)25.如圖,直線y=5x+5交x軸于點A,交y軸于點C,過A,C兩點的二次函數(shù)y=ax2+4x+c的圖象交x軸于另一點B.(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;(2)若點H為二次函數(shù)y=ax2+4x+c圖象的頂點,點M(4,m)是該二次函數(shù)圖象上一點,在x軸、y軸上分別找點F,E,使四邊形HEFM的周長最小,求出點F,E的坐標(biāo).第24頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月第25頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月我的收獲:第26頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月[課堂小結(jié)]1、構(gòu)建“對稱模型”實現(xiàn)折轉(zhuǎn)直PNPP2.關(guān)鍵:作對稱點,利用軸對稱的性質(zhì)將線段轉(zhuǎn)化,從而利用“兩點之間,線段最短”來解決第27頁,課件共29頁,創(chuàng)作于2023年2月測試題:在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OACB的頂點O在坐標(biāo)原點,頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上,OA=3,OB=4,D為
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