江西省萍鄉(xiāng)市高三下學期5月第三模擬考試理科數(shù)學試題

準考證號姓名絕密★啟用前（在此卷上答題無效）萍鄉(xiāng)市2022屆高三第三次模擬考試試卷理科數(shù)學本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁．滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的準考證號、姓名填寫在答題卡上．考生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號、姓名、考試科目”與考生本人的準考證號、姓名是否一致．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回．第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．（1）如圖，全集，集合，則陰影部分表示的集合為A．B．C．D．（2）在復平面內(nèi)，復數(shù)所對應的點關(guān)于虛軸對稱，若，則復數(shù)A.B.C.D.（3）已知命題；命題，則下列為真命題的是A. B. C.D.（4）如圖，直三棱柱中，，若，則異面直線所成角的大小是A．B．C．D．（5）《幾何原本》是古希臘數(shù)學家歐幾里得所著的一部數(shù)學巨著，大約成書于公元前300年．漢語的最早譯本是由中國明代數(shù)學家、天文學家徐光啟和意大利傳教士利瑪竇合譯，成書于1607年.該書前6卷主要包括：基本概念、三角形、四邊形、多邊形、圓、比例線段、相似形這7章，幾乎包含現(xiàn)今平面幾何的所有內(nèi)容．某高校要求數(shù)學專業(yè)的學生從這7章里任選4章進行選修，則學生李某所選的4章中，含有“基本概念”這一章的概率為A．B．C．D．（6）已知，則A．B．C．D．（7）已知定義域為的函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，且當時，，若，則A.B.C.D.（8）如圖是計算的一個程序框圖，其中判斷框內(nèi)可以填入的條件為A．B．C．D．（9）已知橢圓的左、右焦點分別為，直線與相交于兩點（在第一象限）.若四點共圓，且直線的傾斜角為，則橢圓的離心率為A．B．C．D．（10）現(xiàn)收集到變量的六組觀測數(shù)據(jù)為：，用最小二乘法計算得其回歸直線為，相關(guān)系數(shù)為；經(jīng)過殘差分析后發(fā)現(xiàn)為離群點（對應殘差絕對值過大的點），剔除后，用剩下的五組數(shù)據(jù)計算得其回歸直線為，相關(guān)系數(shù)為.則下列結(jié)論不正確的是A．B．C．D．去掉離群點后，殘差平方和變?。?1）已知定義在上的函數(shù)，對任意,當時，都有，若存在，使不等式成立，則實數(shù)的最大值為A.B.C.D.（12）設，，，則A．B．C．D．萍鄉(xiāng)市2022屆高三第三次?？荚嚴砜茢?shù)學第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題～第21題為必考題，每個試題考生都必須做答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求做答.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．（13）已知雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則其離心率為_________．（14）已知單位向量滿足，則向量的夾角為_________．（15）已知分別為銳角的內(nèi)角的對邊，若，則面積的最大值為_________．（16）如圖，在正方形中，點是邊的中點，將沿翻折到，連結(jié)，在翻折到的過程中，下列說法正確的是_________．（將正確說法的序號都寫上）①點的軌跡為圓??；②存在某一翻折位置，使得；③棱的中點為，則的長為定值；三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．（17）（本小題滿分12分）已知正項數(shù)列的前項和滿足：，且成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令,求證：數(shù)列的前項和.（18）（本小題滿分12分）北京冬奧會于2022年2月4日至20日在北京市和張家口市聯(lián)合舉辦，這是中國歷史上第一次舉辦冬奧會，也是中國繼北京奧運會、南京青奧會之后第三次舉辦奧運賽事.北京冬奧會的成功舉辦推動了我國冰雪運動的普及，讓越來越多的青少年愛上了冰雪運動．某高校組織了20000名學生參加線上冰雪運動知識競賽活動，并抽取了100名參賽學生的成績制作了如下表格：競賽得分頻率(1)如果規(guī)定競賽得分在為“良好”，在為“優(yōu)秀”，以這100名參賽學生中競賽得分的頻率作為全校知識競賽中得分在相應區(qū)間的學生被抽中的概率．現(xiàn)從該校參加知識競賽的學生中隨機抽取3人，記競賽得分結(jié)果為“良好”及以上的人數(shù)為，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望；(2)已知此次知識競賽全校學生成績近似服從正態(tài)分布，若學校要對成績不低于分的學生進行表彰，請估計獲得表彰的學生人數(shù)．附：若隨機變量，則.（19）（本小題滿分12分）如圖，在水平放置的直角梯形中，.以所在直線為軸，將向上旋轉(zhuǎn)角得到，其中.(1)證明：平面平面；(2)若平面與平面的夾角余弦值不超過，求的范圍.（20）（本小題滿分12分）已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點與圓的圓心重合，為上一動點，點.若的最小值為2.(1)求拋物線的標準方程；(2)過焦點的直線與拋物線和圓從左向右依次交于四點，且滿足，求直線的方程．（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)．(1)若，求的最大值；(2)若，證明：有兩個零點．請考生在第22、23題中任選一題做答．如果多做，則按所做的第一題計分．做答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題號后方框涂黑．（22）（本小題滿分10分）選修4—4：坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；(2)點為曲線上任意一點，求點到直線距離的最小值．（23）（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講已知的最小值為．(1)求的值；(2)若正實數(shù)滿足，證明：．萍鄉(xiāng)市2022屆高三第三次模擬考試理科數(shù)學參考答案及評分標準一、選擇題（5×12=60分）：DABCB；ACCBB；BD．二、填空題（5×4=20分）：13．；14．；15．；16．①③．三、解答題（共70分）：17.（1）由題意：,,…………（1分）兩式相減得到,又,是首項為,公比為的等比數(shù)列，………（3分）再由成等差數(shù)列得,得，即,即,……（5分）的通項公式為.…………（6分）（2）由題意知，………（8分）………………（10分）.…………………………（12分）18.(1)由題意知，的可能取值0,1,2,3．………………（1分）由題可知，任意1名學生競賽得分“良好”及以上的概率為，競賽得分是“良好”以下的概率為．若以頻率估計概率，則服從二項分布．…………………（3分）；；；．………………（5分）所以的分布列為:…………………（7分）．（或）……………（8分）（2）………（10分）估計獲得表彰的學生人數(shù)為人.…………………（12分）19.(1)由題意，，；……（2分）又；…………………（3分）而…………………（4分）(2)根據(jù)題意，旋轉(zhuǎn)角即；以A為原點，在平面ADF內(nèi)，作AD的垂線為z軸，AD,AB所在直線分別作為x,y軸，建立空間直角坐標系，則……（6分），設為平面BCE的一個法向量，則，，取………（8分）平面ADF的一個法向量為，………（9分）記平面ADF與平面BCE的夾角為，則，………………（10分）化簡得，又，得.……………………（12分）20.(1)由題意知拋物線標準方程為，…………（1分）過P點作準線l垂線交于H，則當M，P，H三點共線時，最小，即…（3分）所以拋物線的方程為.…………（4分）(2)根據(jù)題意，可得，，，化簡得，…………（6分）設，則，代入上式得…（7分）由題知，直線AD存在斜率，設其方程為，若，則，不滿足上式；由聯(lián)立，整理得：，恒成立則，……………………（9分）∴……………………（10分）解得，所以直線AD的方程為.………………（12分）21.（1）………(1分)令，由函數(shù)的圖象可知，存在唯一，滿足，且……(2分)故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，……………………(3分)（*），…………(4分)又，則，代入（*）得：；………………(5分)（2），令，則；……(6分)因是關(guān)于的單調(diào)函數(shù)，則與的零點個數(shù)相同；又，故是的一個零點…(7分)得，且單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，…………(8分)，；又當時，故在上存在唯一的零點…………………(10分)故在上存在唯一零點，在上存在唯一零點0，即在上有兩個零點….(11分)所以在有兩個零點.………….(12分)22.(1)將代入，消去t得直線的普通方程為；………………（2分）由得，，即曲線的直角坐標方程為.………（5分）（2）設點…………………（6分）則點到直線的距離…………………（8分）當，即時，，故點到直線的距離最小值為.…（10分）23.(1)，