河北省滄州市高三第二次模擬數(shù)學(xué)試題

2022屆河北省滄州市高三第二次模擬數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用交集的定義可求得結(jié)果.【詳解】由已知可得．故選：B.2．設(shè)，則復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)，表示出，由復(fù)數(shù)的乘法進行化簡，結(jié)合復(fù)數(shù)的相等得到方程，解方程即可.【詳解】由得．設(shè)復(fù)數(shù)，則，所以，所以，所以解得所以故選：C.3．已知雙曲線的離心率是它的一條漸近線斜率的2倍，則（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)列式可求出結(jié)果.【詳解】由題意得,解得，即.故選：A.4．若，則（

）A． B．0 C．1 D．【答案】D【分析】利用平方關(guān)系和正弦的二倍角公式弦化切，由求出代入可得答案.【詳解】因為，所以，所以.故選：D.5．《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐.如圖，若都是直角圓錐底面圓的直徑，且，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件證明，得到或其補角為異面直線與中利用余弦定理計算可得結(jié)果.【詳解】如圖，連接.因為為中點，且，所以四邊形為矩形，所以，所以或其補角為異面直線與所成的角.設(shè)圓的半徑為1，則.因為，所以.在直角中，，得.所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：C.6．的展開式中的常數(shù)項為（

）A． B． C．80 D．161【答案】A【分析】利用二項式展開式的原理可算出答案.【詳解】，所以展開式中的常數(shù)項為故選：A7．將函數(shù)圖象上的點向右平移個單位長度得到點，若恰好在函數(shù)的圖像上，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意易知和，根據(jù)輔角公式可知，由此可知，再根據(jù)，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意知，點在的圖象上，所以，所以，點向右平移個單位長度得到點.因為在函數(shù)的圖象上，所以，解得，所以，或.因為，所以.故選：D.8．已知定義在上的函數(shù)滿足，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足的的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)單調(diào)性和對稱性可知，自變量離對稱軸越遠，其函數(shù)值越大，由此結(jié)論列式可解得結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)滿足，所以的圖象關(guān)于直線對稱，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，因為，，即，平方后解得.所以的取值范圍為.故選：B.二、多選題9．某車間加工某種機器的零件數(shù)與加工這些零件所花費的時間之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示：個10203040506268758189由表中的數(shù)據(jù)可得回歸直線方程，則以下結(jié)論正確的有（

）A．相關(guān)系數(shù)B．C．零件數(shù)的中位數(shù)是30D．若加工60個零件，則加工時間一定是【答案】ABC【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)算出，然后算出，然后逐一判斷即可.【詳解】由表中的數(shù)據(jù)，得，將，代入，得，選項均正確，的中位數(shù)是30，選項正確；當(dāng)時，，所以加工時間約是，而非一定是，選項錯誤故選：ABC10．已知直線，圓，則下列結(jié)論正確的有（

）A．若，則直線恒過定點B．若，則圓可能過點C．若，則圓關(guān)于直線對稱D．若，則直線與圓相交所得的弦長為2【答案】ACD【分析】A.驗證即可；B.將點代入求解即可；C.由直線恒過圓的圓心判斷；D.由弦長公式求解判斷.【詳解】當(dāng)時，點恒在上，故選項正確；當(dāng)時，將點代入，得，該方程無解，故選項錯誤；當(dāng)時，直線恒過圓的圓心，故選項C正確；當(dāng)時，與相交所得的弦長為2，故選項D正確.故選：ACD11．已知數(shù)列滿足，記的前項和為，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】由條件可得當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，，然后可逐一判斷.【詳解】因為，所以當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，.所以，選項錯誤；又因為，所以，選項B正確；故C正確，選項D正確.故選：BCD12．已知實數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】得到，得到判斷；D.由，得到，令，用導(dǎo)數(shù)法判斷.【詳解】由得，又，所以，所以，所以，選項錯誤；因為，所以，即，所以，選項正確，因為，所以，所以.令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，又，所以，即，選項正確.故選：BCD三、填空題13．已知向量，且，則實數(shù)__________.【答案】【分析】首先求出的坐標，然后根據(jù)向量共線的坐標表示可建立方程求解.【詳解】由題意得，因為，所以，解得.故答案為：14．若直線是曲線的一條切線，則實數(shù)__________.【答案】【分析】求出切點坐標代入切線方程可得答案.【詳解】因為，所以，令，得，所以切點為，代入，得.故答案為：.15．已知拋物線的焦點為，準線為，過點的直線與交于兩點（點在軸上方），過分別作的垂線，垂足分別為，連接.若，則直線的斜率為__________.【答案】【分析】根據(jù)題意得，再得到，，分析即可得，，從而得到直線的傾斜角，即可求解.【詳解】如圖，由題意得，所以，，因為，所以，所以，又，所以，所以，故，所以直線的斜率為.故答案為：.16．三棱錐的平面展開圖如圖所示，已知，若三棱錐的四個頂點均在球的表面上，則球的表面積為__________.【答案】【分析】根據(jù)題意構(gòu)造底面正三角形的邊長為2，高為的正三棱柱，則該三棱柱的外接球即為三棱錐的外接球，球心即為上下底面外接圓圓心連線的中點，再根據(jù)條件求半徑即可.【詳解】由已知得，三棱錐中，，且與平面所成的角為，構(gòu)造如圖所示的正三棱柱，底面正三角形的邊長為2，高為，則該三棱柱的外接球即為三棱錐，分別為三棱柱上?下底面三角形的中心，則為的中點，因為，所以球的半徑，所以球的表面積為.故答案為：.【點睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.四、解答題17．已知正項等比數(shù)列的前項和為，且．(1)求的通項公式；(2)記，求的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件解出公比，即可求解（2）先求，再化簡，最后根據(jù)的特征，采用裂項相消法求其前項和【詳解】(1)由題意知．設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得或（舍去），所以．(2)由（1）可得，所以，所以．即的前項和．18．在中；內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)求；(2)若，點為的中點，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理可知，由此可知，進而求出.（2）由（1）結(jié)合余弦定理可知，對其使用基本不等式可知，根據(jù)三角形中線的向量表示可知，對其兩邊平方，根據(jù)平面向量數(shù)量積公式以及基本不等式可知，由此即可求出結(jié)果.【詳解】(1)解：在中，由正弦定理得.因為，所以.又，所以，所以.因為中，，所以.(2)解：在中，由及余弦定理，得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.又點為的中點，所以，所以，即的最大值為.19．如圖，在四棱柱中，底面是平行四邊形，，側(cè)面是矩形，為的中點，.(1)證明：平面；(2)點在線段上，若，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）由題可得，然后利用線面垂直的判定定理可得平面，進而即得；（2）建立空間直角坐標系，利用二面角的向量求法即得.【詳解】(1)因為矩形中，為的中點，所以，所以.因為，所以，所以.因為，所以平面.因為平面，所以，又，所以平面.(2)由（1）知兩兩相互垂直，所以以為原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系.因為，令，連接，則，所以.設(shè)平面的一個法向量為，則，得，所以，令，得，所以，由（1）知是平面的一個法向量，所以，故二面角的余弦值為.20．足球比賽淘汰賽階段常規(guī)比賽時間為90分鐘，若在90分鐘結(jié)束時進球數(shù)持平，需進行30分鐘的加時賽，若加時賽仍是平局，則采用“點球大戰(zhàn)”的方式?jīng)Q定勝負.“點球大戰(zhàn)”的規(guī)則如下：①兩隊各派5名隊員，雙方輪流踢點球，累計進球個數(shù)多者勝；②如果在踢滿5輪前，一隊的進球數(shù)已多于另一隊踢滿5輪最多可能射中的球數(shù)，則不需要再踢（例如：第4輪結(jié)束時，雙方“點球大戰(zhàn)”的進球數(shù)比為2：0，則不需要再踢第5輪了）；③若前5輪“點球大戰(zhàn)”中雙方進球數(shù)持平，則從第6輪起，雙方每輪各派1人罰點球，若均進球或均不進球，則繼續(xù)下一輪，直到出現(xiàn)一方進球另一方不進球的情況，進球方勝出.(1)假設(shè)踢點球的球員等可能地隨機選擇球門的左?中?右三個方向射門，門將也會等可能地選擇球門的左?中?右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也只有的可能性將球撲出，若球員射門均在門內(nèi)，在一次“點球大戰(zhàn)”中，求門將在前三次撲出點球的個數(shù)的分布列和期望：(2)現(xiàn)有甲?乙兩隊在半決賽中相遇，常規(guī)賽和加時賽后雙方戰(zhàn)平，需進行“點球大戰(zhàn)”來決定勝負，設(shè)甲隊每名隊員射進點球的概率均為，乙隊每名隊員射進點球的概率均為，假設(shè)每輪點球中進球與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.（i）若甲隊先踢點球，求在第3輪結(jié)束時，甲隊踢進了3個球（不含常規(guī)賽和加時賽進球）并勝出的概率；（ii）求“點球大戰(zhàn)”在第6輪結(jié)束，且乙隊以5：4（不含常規(guī)賽和加時賽得分）勝出的概率.【答案】(1)分布列見解析，(2)（i）；（ii）【分析】（1）先求門將每次可以撲出點球的概率，然后由獨立重復(fù)試驗的概率公式可得；（2）（i）理解清題意：甲隊先踢點球，前三輪點球乙隊沒進球，甲隊前三輪踢進3個點球，然后可得；（ii）理解清題意：前5輪結(jié)束后比分為，第6輪乙隊進球甲隊沒進球.然后計算可得.【詳解】(1)依題意可得，門將每次可以撲出點球的概率為，門將在前三次撲出點球的個數(shù)的可能取值為.，，則的分布列為0123的數(shù)學(xué)期望.或（易知）.(2)（i）記事件“甲隊先踢點球，在第3輪結(jié)束時，甲隊踢進了3個球（不含常規(guī)賽和加時賽進球）并勝出"為事件A，意味著甲隊先踢點球，前三輪點球乙隊沒進球，甲隊前三輪踢進3個點球，對應(yīng)的概率為（ii））記“點球大戰(zhàn)在第6輪結(jié)束，且乙隊以（不含常規(guī)賽和加時賽得分）勝出”為事件B，意味著前5輪結(jié)束后比分為，第6輪乙隊進球甲隊沒進球，其對應(yīng)的概率為21．已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求出，分、討論可得的單調(diào)區(qū)間；（2），由得，不等式等價于，令，利用的單調(diào)性可得答案.【詳解】(1)函數(shù)，定義域為，（i）當(dāng)時，單調(diào)遞增；（ii）當(dāng)時，時，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)由（1）知，當(dāng)時，，且，所以，因為，所以不等式等價于，令，則在時恒成立，所以當(dāng)時，，又，所以，故，即.【點睛】本題關(guān)鍵點是討論導(dǎo)數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及轉(zhuǎn)化求出函數(shù)的最值證明不等式，考查了學(xué)生分析問題、解決問題能力.22．已知橢圓的離心率為，且過點.(1)求橢圓的方程；(2)點關(guān)于原點的對稱點為點，與直線平行的直線與交于點，