向量和三角形的五心

向量和三角形的五心一、前言：在本校自然資優(yōu)班的一次數(shù)學(xué)課堂中，筆者講到以下的性質(zhì)：在中，若點(diǎn)為的重心，則，其中點(diǎn)為任一點(diǎn)。下課后，有位許同學(xué)便到辦公室提出以下的問題：（1）在中，點(diǎn)為的重心，可得到的結(jié)果；那么反過來，若有一點(diǎn)，滿足，是否保證點(diǎn)為的重心呢？（2）在中，另外的四心，即內(nèi)心、垂心、外心、傍心，是否也有類似充要條件的性質(zhì)呢？當(dāng)時(shí)筆者告訴許同學(xué)，重心、內(nèi)心、傍心有類似性質(zhì)，其中重心的性質(zhì)是充要條件沒錯(cuò)；至于內(nèi)心、傍心的性質(zhì)是否為充要，還須再證明看看；而垂心、外心的向量充要性質(zhì)老師還沒看過，容老師再思考一些時(shí)間。接到許同學(xué)的問題后，筆者便與劉國(guó)莉老師一起討論，經(jīng)過仔細(xì)探討之后，我們得到以下的結(jié)果：1.重心向量性質(zhì)的充要條件與證明。2.內(nèi)心向量性質(zhì)的充要條件與證明。3.傍心向量性質(zhì)的充要條件與證明。4.外心向量性質(zhì)的充要條件與證明。5.垂心向量性質(zhì)的充要條件與證明。二、重心的向量性質(zhì)：我們將三角形重心與向量性質(zhì)的充要條件寫成定理1如下：定理1：如圖（一），在中，則點(diǎn)為的重心的充要條件為（其中點(diǎn)為任一點(diǎn)）圖（一）證明：設(shè)點(diǎn)為的重心，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，。因此，。圖（一）設(shè)點(diǎn)為任一點(diǎn)，。另一方面，已知，其中點(diǎn)為任一點(diǎn)，令代入得。延長(zhǎng)交于點(diǎn)，設(shè)，共線，，得。因此，，故為邊上的中線。同理可證：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則為邊上的中線，故點(diǎn)為的重心。三、內(nèi)心的向量性質(zhì)：我們先證明三角形的內(nèi)分比性質(zhì)的充要條件，再進(jìn)一步證明三角形內(nèi)心與向量性質(zhì)的充要條件，分別寫成性質(zhì)1及定理2如下：性質(zhì)1：圖（二）如圖（二），在中，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，則為的角平分線的充要條件為圖（二）證明：證明省略。圖（三）如圖（三），設(shè)中，，，，因，設(shè)，，為正數(shù)。作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則?？芍?，又，得為的角平分線。圖（三）定理2：如圖（四），在中，點(diǎn)為任一點(diǎn)，則點(diǎn)為的內(nèi)心的充要條件為。設(shè)交于點(diǎn)，可設(shè)，因共線。，由性質(zhì)1知：為的內(nèi)角平分線。另一方面，令點(diǎn)為點(diǎn)代入，得，，。又為的內(nèi)角平分線；因此，。，由性質(zhì)2可知：為的外角平分線。同理可證：為的外角平分線。故為中所對(duì)之傍心。五、外心的向量性質(zhì)：我們將三角形外心與向量性質(zhì)的充要條件寫成定理4如下：定理4：如圖（七），在中，點(diǎn)為任一圖（七）點(diǎn)，則點(diǎn)為的外心的充要條件為，（其中表的面積）圖（七）證明：如圖（七），已知點(diǎn)為的外心，，，。設(shè)于點(diǎn)，于點(diǎn)，則。同理，。設(shè)-------（＊），由方程組（＊）可得。由海龍公式，其中，可知。由方程組（＊）可得，。所以。設(shè)平面上任一點(diǎn)，。已得到，利用面積公式，及余弦定理、、代入上式，即可得。圖（八）已知，點(diǎn)為平面上任一點(diǎn)，令點(diǎn)為點(diǎn)代入，得。如圖（八），設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn)，，。因此圖（八）。所以，直線為的中垂線。同理可證為的中垂線。故點(diǎn)為的外心。六、垂心的向量性質(zhì)：我們將三角形垂心與向量性質(zhì)的充要條件寫成定理5如下：定理5：如圖（九），在中，點(diǎn)為任一點(diǎn)，則點(diǎn)為的垂心的充要條件為（其中表的面積）圖（九）證明：如圖（九），中，，，。于點(diǎn)，于點(diǎn)，點(diǎn)為的垂心。則，，；因此，。圖（九）設(shè)------（＊＊）。由方程組（＊＊）可得。，。設(shè)平面上任一點(diǎn)，接者，將面積公式，及余弦定理、、代入，即可得。如圖（九），已知，點(diǎn)為任一點(diǎn)。令點(diǎn)為點(diǎn)代入，得。。因此，直線垂直。同理可證，直線垂直，故點(diǎn)為的垂心。七、結(jié)論：我們?cè)诒疚牡奶接懷芯恐校l(fā)現(xiàn)學(xué)生有時(shí)會(huì)提出看似平凡而卻容易被遺漏的問題，而這些問題在被提出后，往往是令人覺得深思的問題。平常在教學(xué)過程中，看到三角形的重心，便自然想到向量的性質(zhì)的口訣，甚至很少特別提出這是三角形重心的充要條件；內(nèi)心、傍心亦復(fù)如是。匆匆歲月，經(jīng)過學(xué)生提問，才激勵(lì)我們將三角形五心與向量性質(zhì)的充要條件，作進(jìn)一步的整理，并完成五心與向量性質(zhì)充要條件的證明，實(shí)在是感恩學(xué)生的提問與智慧。從探討中我們深深感到教學(xué)相長(zhǎng)的真實(shí)，學(xué)生的提問有時(shí)會(huì)激發(fā)老師另ㄧ層的深入思考，難怪古人說：「有天才學(xué)生，沒有天才老師?！挂虼耍诖颂岢?，千萬不可忽視學(xué)生的任何一個(gè)問題，好好去思考