2016-2017《創(chuàng)新設計》同步人教A版選修2-1-2-2第一章-16

明目標、知重點1．直觀了解并掌握微積分基本定理的含義．2．會利用微積分基本定理求函數的積分．1．微積分基本定理如果f(x)是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數，并且F′(x)＝f(x)，那么?eq\o\al(b,a)f(x)dx＝F(b)－F(a)．2．定積分和曲邊梯形面積的關系設曲邊梯形在x軸上方的面積為S上，x軸下方的面積為S下，則(1)當曲邊梯形的面積在x軸上方時，如圖(1)，則?eq\o\al(b,a)f(x)dx＝S上．(2)當曲邊梯形的面積在x軸下方時，如圖(2)，則?eq\o\al(b,a)f(x)dx＝－S下．(3)當曲邊梯形的面積在x軸上方、x軸下方均存在時，如圖(3)，則?eq\o\al(b,a)f(x)dx＝S上－S下，若S上＝S下，則?eq\o\al(b,a)f(x)dx＝0.[情境導學]從前面的學習中可以發(fā)現，雖然被積函數f(x)＝x3非常簡單，但直接用定積分的定義計算?eq\o\al(1,0)x3dx的值卻比較麻煩．有沒有更加簡便、有效的方法求定積分呢？另外，我們已經學習了兩個重要的概念——導數和定積分，這兩個概念之間有沒有內在的聯系呢？我們能否利用這種聯系求定積分呢？探究點一微積分基本定理問題你能用定義計算?eq\o\al(2,1)eq\f(1,x)dx嗎？有沒有更加簡便、有效的方法求定積分呢？思考1如下圖，一個做變速直線運動的物體的運動規(guī)律是y＝y(tǒng)(t)，并且y(t)有連續(xù)的導數，由導數的概念可知，它在任意時刻t的速度v(t)＝y(tǒng)′(t)．設這個物體在時間段[a，b]內的位移為s，你能分別用y(t)，v(t)表示s嗎？答由物體的運動規(guī)律是y＝y(tǒng)(t)知：s＝y(tǒng)(b)－y(a)，通過求定積分的幾何意義，可得s＝?eq\o\al(b,a)v(t)dt＝?eq\o\al(b,a)y′(t)dt，所以?eq\o\al(b,a)v(t)dt＝?eq\o\al(b,a)y′(t)dt＝y(tǒng)(b)－y(a)．其中v(t)＝y(tǒng)′(t)．小結(1)一般地，如果f(x)是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數，并且F′(x)＝f(x)，那么?eq\o\al(b,a)f(x)dx＝F(b)－F(a)．這個結論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓—萊布尼茨公式．(2)運用微積分基本定理求定積分?eq\o\al(b,a)f(x)dx很方便，其關鍵是準確寫出滿足F′(x)＝f(x)的F(x)．思考2對一個連續(xù)函數f(x)來說，是否存在唯一的F(x)，使F′(x)＝f(x)？若不唯一，會影響微積分基本定理的唯一性嗎？答不唯一，根據導數的性質，若F′(x)＝f(x)，則對任意實數c，[F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′＝f(x)．不影響，因為?eq\o\al(b,a)f(x)dx＝[F(b)＋c]－[F(a)＋c]＝F(b)－F(a)例1計算下列定積分：(1)?eq\o\al(2,1)eq\f(1,x)dx；(2)?eq\o\al(3,1)(2x－eq\f(1,x2))dx；(3)?eq\o\al(0,－π)(cosx－ex)dx.解(1)因為(lnx)′＝eq\f(1,x)，所以?eq\o\al(2,1)eq\f(1,x)dx＝lnx|eq\o\al(2,1)＝ln2－ln1＝ln2.解所求面積為S＝－eq\f(π,2)|sinx|dx＝－sinxdx＋?eq\o\al(π,0)sinxdx－sinxdx＝1＋2＋(1－eq\f(\r(2),2))＝4－eq\f(\r(2),2).1．(1＋cosx)dx等于()A．πB．2C．π－2D．π＋2答案D解析∵(x＋sinx)′＝1＋cosx，∴(1＋cosx)dx＝(x＋sinx)|＝eq\f(π,2)＋sineq\f(π,2)－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))))＝π＋2.2．若?eq\o\al(a,1)(2x＋eq\f(1,x))dx＝3＋ln2，則a的值是()A．5B．4C．3D．2答案D解析?eq\o\al(a,1)(2x＋eq\f(1,x))dx＝?eq\o\al(a,1)2xdx＋?eq\o\al(a,1)eq\f(1,x)dx＝x2|eq\o\al(a,1)＋lnx|eq\o\al(a,1)＝a2－1＋lna＝3＋ln2，解得a＝2.3．?eq\o\al(2,0)(x2－eq\f(2,3)x)dx＝________.答案eq\f(4,3)解析?eq\o\al(2,0)(x2－eq\f(2,3)x)dx＝?eq\o\al(2,0)x2dx－?eq\o\al(2,0)eq\f(2,3)xdx＝eq\f(x3,3)|eq\o\al(2,0)－eq\f(x2,3)|eq\o\al(2,0)＝eq\f(8,3)－eq\f(4,3)＝eq\f(4,3).4．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－2π，0≤x≤\f(π,2)，,cosx，\f(π,2)<x≤π))，計算?eq\o\al(π,0)f(x)dx.解?eq\o\al(π,0)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＝(4x－2π)dx＋cosxdx，取F1(x)＝2x2－2πx，則F1′(x)＝4x－2π；取F2(x)＝sinx，則F2′(x)＝cosx.所以(4x－2π)dx＋cosxdx＝(2x2－2πx)|＋sinx|＝－eq\f(1,2)π2－1，即?eq\o\al(π,0)f(x)dx＝－eq\f(1,2)π2－1.[呈重點、現規(guī)律]1．求定積分的一些常用技巧(1)對被積函數，要先化簡，再求積分．(2)若被積函數是分段函數，依據定積分“對區(qū)間的可加性”，分段積分再求和．(3)對于含有絕對值符號的被積函數，要去掉絕對值符號才能積分．2．由于定積分的值可取正值，也可取負值，還可以取0，而面積是正值，因此不要把面積理解為被積函數對應圖形在某幾個區(qū)間上的定積分之和，而是在x軸下方的圖形面積要取定積分的相反數．一、基礎過關1．已知物體做變速直線運動的位移函數s＝s(t)，那么下列命題正確的是()①它在時間段[a，b]內的位移是s＝s(t)|eq\o\al(b,a)；②它在某一時刻t＝t0時，瞬時速度是v＝s′(t0)；③它在時間段[a，b]內的位移是s＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(b－a,n)s′(ξi)；④它在時間段[a，b]內的位移是s＝?eq\o\al(b,a)s′(t)dt.A．① B．①②C．①②④ D．①②③④答案D2．若F′(x)＝x2，則F(x)的解析式不正確的是()A．F(x)＝eq\f(1,3)x3B．F(x)＝x3C．F(x)＝eq\f(1,3)x3＋1D．F(x)＝eq\f(1,3)x3＋c(c為常數)答案B3．?eq\o\al(1,0)(ex＋2x)dx等于()A．1B．e－1C．eD．e＋1答案C解析?eq\o\al(1,0)(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|eq\o\al(1,0)＝(e1＋12)－(e0＋02)＝e.4．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，－1≤x≤0，,1，0<x≤1，))則?eq\o\al(1,－1)f(x)dx的值為()A.eq\f(3,2)B.eq\f(4,3)C.eq\f(2,3)D．－eq\f(2,3)答案B解析?eq\o\al(1,－1)f(x)dx＝?eq\o\al(0,－1)x2dx＋?eq\o\al(1,0)1dx＝eq\f(x3,3)|eq\o\al(0,－1)＋1＝eq\f(1,3)＋1＝eq\f(4,3)，故選B.5．sin2eq\f(x,2)dx等于()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,2)－1C．2 D.eq\f(π－2,4)答案D解析sin2eq\f(x,2)dx＝eq\f(1－cosx,2)dx＝eq\f(1,2)(x－sinx)|＝eq\f(π－2,4)，故選D.6．若?eq\o\al(1,0)(2x＋k)dx＝2，則k＝________.答案1解析∵?eq\o\al(1,0)(2x＋k)dx＝(x2＋kx)|eq\o\al(1,0)＝1＋k＝2，∴k＝1.二、能力提升7．設函數f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若?eq\o\al(1,0)f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，則x0的值為________．答案eq\f(\r(3),3)解析?eq\o\al(1,0)(ax2＋c)dx＝axeq\o\al(2,0)＋c，∴eq\f(a,3)＝axeq\o\al(2,0)，∵a≠0，∴xeq\o\al(2,0)＝eq\f(1,3)，又0≤x0≤1，∴x0＝eq\f(\r(3),3).8．設f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgx，x>0,x＋\o\al(a,0)3t2dt，x≤0))，若f[f(1)]＝1，則a＝________.答案1解析因為x＝1>0，所以f(1)＝lg1＝0.又x≤0時，f(x)＝x＋?eq\o\al(a,0)3t2dt＝x＋t3|eq\o\al(a,0)＝x＋a3，所以f(0)＝a3.因為f[f(1)]＝1，所以a3＝1，解得a＝1.9．設f(x)是一次函數，且?eq\o\al(1,0)f(x)dx＝5，?eq\o\al(1,0)xf(x)dx＝eq\f(17,6)，則f(x)的解析式為________．答案f(x)＝4x＋3解析∵f(x)是一次函數，設f(x)＝ax＋b(a≠0)，則?eq\o\al(1,0)f(x)dx＝?eq\o\al(1,0)(ax＋b)dx＝?eq\o\al(1,0)axdx＋?eq\o\al(1,0)bdx＝eq\f(1,2)a＋b＝5，?eq\o\al(1,0)xf(x)dx＝?eq\o\al(1,0)x(ax＋b)dx＝?eq\o\al(1,0)(ax2)dx＋?eq\o\al(1,0)bxdx＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,2)b＝eq\f(17,6).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋b＝5，,\f(1,3)a＋\f(1,2)b＝\f(17,6)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝3.))10．計算下列定積分：(1)?eq\o\al(2,1)(ex＋eq\f(1,x))dx；(2)?eq\o\al(9,1)eq\r(x)(1＋eq\r(x))dx；(3)?eq\o\al(20,0)(－0.05e－0.05x＋1)dx；(4)?eq\o\al(2,1)eq\f(1,xx＋1)dx.解(1)∵(ex＋lnx)′＝ex＋eq\f(1,x)，∴?eq\o\al(2,1)(ex＋eq\f(1,x))dx＝(ex＋lnx)|eq\o\al(2,1)＝e2＋ln2－e.(2)∵eq\r(x)(1＋eq\r(x))＝x＋eq\r(x)，(eq\f(1,2)x2＋eq\f(2,3))′＝x＋eq\r(x)，∴?eq\o\al(9,1)eq\r(x)(1＋eq\r(x))dx＝(eq\f(1,2)x2＋eq\f(2,3))|eq\o\al(9,1)＝eq\f(172,3).(3)∵(e－0.05x＋1)′＝－0.05e－0.05x＋1，∴?eq\o\al(20,0)(－0.05e－0.05x＋1)dx＝e－0.05x＋1|eq\o\al(20,0)＝1－e.(4)∵eq\f(1,xx＋1)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,x＋1)，(lnx)′＝eq\f(1,x)，(ln(x＋1))′＝eq\f(1,x＋1)，∴?eq\o\al(2,1)eq\f(1,xx＋1)dx＝lnx|eq\o\al(2,1)－ln(x＋1)|eq\o\al(2,1)＝2ln2－ln3.11．若函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3，x∈[0，1]，,\r(x)，x∈1，2]，,2x，x∈2，3].))求?eq\o\al(3,0)f(x)dx的值．解由定積分的性質，知：?eq\o\al(3,0)f(x)dx＝?eq\o\al(1,0)f(x)dx＋?eq\o\al(2,1)f(x)dx＋?eq\o\al(3,2)f(x)dx＝?eq\o\al(1,0)x3dx＋?eq\o\al(2,1)eq\r(x)dx＋?eq\o\al(3,2)2xdx＝eq\f(x4,4)|eq\o\al(1,0)＋eq\f(2,3)xeq\f(3,2)|eq\o\al(2,1)＋eq\f(2x,ln2)|eq\o\al(3,2)＝eq\f(1,4)＋eq\f(4,3)eq\r(2)－eq\f(2,3)＋eq\f(8,ln2)－eq\f(4,ln2)＝－eq\f(5,12)＋eq\f(4,3)eq\r(2)＋eq\f(4,ln2).12．已知f(a)＝?eq\o\al(1,0)(2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值．解∵(eq\f(2,3)ax3－eq\f(1,2)a2x2)′＝2ax2－a2x，∴?eq\o\al(1,0)(2ax2－a2x)dx＝(eq\f(2,3)ax3－eq\f(1,2)a2x2)|eq\o\al(1,0)＝eq\f(2,3)a－eq\f(1,2)a2，即f(a)＝eq\f(2,3)a－eq\f(1,2)a2＝－eq