考點(diǎn)19相交線與平行線（原卷版）

考點(diǎn)19相交線與平行線【夯實(shí)基礎(chǔ)】1．在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿。2．對(duì)頂角＿＿＿＿＿，鄰補(bǔ)角＿＿＿＿＿。3．連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，＿＿＿＿＿最短。4．直線外一點(diǎn)到這條直線的＿＿＿＿＿的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離。5．兩直線平行，同位角＿＿＿＿＿；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角＿＿＿＿＿；兩直線平行，＿＿＿＿＿互補(bǔ)。6．每個(gè)命題都是＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿兩部分組成。【走進(jìn)考點(diǎn)】一．相交線及相關(guān)概念【解題關(guān)鍵】本題主要考查了對(duì)頂角，熟練掌握對(duì)頂角相等是解答本題關(guān)鍵．1、在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有兩種：平行和相交（重合除外）．2、對(duì)頂角相等；鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，即和為180°．3、三線八角中，同位角的邊構(gòu)成“F“形，內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成“Z“形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形．二．垂線及其性質(zhì)【解題關(guān)鍵】本題考查了垂線段最短，熟練掌握垂線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．1、垂線的性質(zhì)：在平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．2、點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離．3、垂線段最短三．平行線的性質(zhì)和判定【解題關(guān)鍵】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)．根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠ABD，再根據(jù)角的和差關(guān)系求得結(jié)果．1、平行線性質(zhì)定理定理1：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．定理3：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．2、平行線判定定理定理1：同位角相等，兩直線平行．定理2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．定理3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．定理4：兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行．定理5：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線同時(shí)垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行．3、兩條平行線之間的距離處處相等．四．命題、定理和證明【解題關(guān)鍵】本題考查了命題與定理，解題的關(guān)鍵是了解交換一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論即可得到這個(gè)命題的逆命題．1、判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題．命題可以寫(xiě)成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面接的部分是題設(shè)，“那么”后面接的部分是結(jié)論．2、就命題的內(nèi)容而言，任何一個(gè)命題非真即假．要說(shuō)明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．3、反證法的一般步驟是：①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；②從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論正確【真題實(shí)例】一．相交線及相關(guān)概念1.（2022?北京）如圖，利用工具測(cè)量角，則∠1的大小為（）A．30°B．60°C．120°D．150°2.（2021?大慶）如圖，3條直線兩兩相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線兩兩相交最多有6個(gè)交點(diǎn)，按照這樣的規(guī)律，則20條直線兩兩相交最多有＿＿＿＿＿個(gè)交點(diǎn)．3．（2022?青海）數(shù)學(xué)課上老師用雙手形象的表示了“三線八角”圖形，如圖所示（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）．從左至右依次表示（）A．同旁內(nèi)角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角B．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、對(duì)頂角C．對(duì)頂角、同位角、同旁內(nèi)角D．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角4．（2022?蘭考縣模擬）如圖，直線a與b相交，∠1+∠2＝240°，∠3＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°5．（2022?突泉縣一模）如圖①兩條直線交于一點(diǎn)，圖中共有(4?2)×44=2對(duì)對(duì)頂角；如圖②三條直線交于一點(diǎn)，圖中共有(6?2)×64=6對(duì)對(duì)頂角；如圖③四條直線交于一點(diǎn)，圖中共有二．垂線及其性質(zhì)1.（2021?杭州）如圖，設(shè)點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn)，PQ⊥l，垂足為點(diǎn)Q，點(diǎn)T是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PT，則（）A．PT≥2PQB．PT≤2PQC．PT≥PQD．PT≤PQ2.（2021?北京）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°，則∠BOD的大小為（）A．30°B．40°C．50°D．60°3．（2022?貴陽(yáng)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，則點(diǎn)B到AC的距離是（）A．線段AB的長(zhǎng)度B．線段BC的長(zhǎng)度C．線段BD的長(zhǎng)度D．線段DE的長(zhǎng)度4．（2022?灤州市一模）在小河旁有一村莊，現(xiàn)要建一取水點(diǎn)，為使該村村民到河邊取水最近，則取水點(diǎn)應(yīng)建在（）A．A點(diǎn)B．B點(diǎn)C．C點(diǎn)D．D點(diǎn)5．（2021?紹興模擬）同一平面內(nèi)有A，B，C三點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)之間的距離為5cm，點(diǎn)C到直線AB的距離為2cm，且△ABC為直角三角形，則滿足上述條件的點(diǎn)C有＿＿＿＿＿個(gè)．三．平行線的性質(zhì)和判定1.（2022?襄陽(yáng)）已知直線m∥n，將一塊含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如圖方式放置，點(diǎn)A，B分別落在直線m，n上．若∠1＝70°．則∠2的度數(shù)為（）A．30°B．40°C．60°D．70°2.（2022?郴州）如圖，直線a∥b，且直線a，b被直線c，d所截，則下列條件不能判定直線c∥d的是（）A．∠3＝∠4B．∠1+∠5＝180°C．∠1＝∠2D．∠1＝∠43．（2022?鐵西區(qū)二模）如圖，下列條件中，能判定DE∥AC的是（）A．∠EDC＝∠EFCB．∠AFE＝∠ACDC．∠DEC＝∠ECFD．∠FEC＝∠BCE4．（2022?谷城縣二模）已知，直線m∥n，將含30°的直角三角板按照如圖位置放置，∠1＝25°，則∠2等于（）A．35°B．45°C．55°D．65°5．（2022?永嘉縣三模）如圖，在墻面上安裝某一管道需經(jīng)兩次拐彎，拐彎后的管道與拐彎前的管道平行．若第一個(gè)彎道處∠B＝140°，則第二個(gè)彎道處∠C也為140°，能解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識(shí)是（）A．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行C．兩直線平行，同位角相等D．同位角相等，兩直線平行6．（2022?新樂(lè)市校級(jí)模擬）如圖所示，六邊ABCDEF中，AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，BC平行且等于FE，對(duì)角線FD⊥BD．已知FD＝24，BD＝18．則六邊形ABCDEF的面積是（）A．423B．432C．405D．234四．命題、定理和證明1.（2022?上海）下列說(shuō)法正確的是（）A．命題一定有逆命題B．所有的定理一定有逆定理C．真命題的逆命題一定是真命題D．假命題的逆命題一定是假命題2．（2022?雨花區(qū)校級(jí)模擬）甲、乙、丙、丁四個(gè)同學(xué)在玩推理游戲，要找出誰(shuí)在數(shù)學(xué)測(cè)評(píng)中獲獎(jiǎng)．甲說(shuō)：“是乙獲獎(jiǎng)．”乙說(shuō)：“是丙獲獎(jiǎng)．”丙說(shuō)：“乙說(shuō)的不是實(shí)話．”丁說(shuō)：“反正我沒(méi)有獲獎(jiǎng)．”如果這四個(gè)同學(xué)中只有一個(gè)人說(shuō)了實(shí)話，請(qǐng)問(wèn)是誰(shuí)獲獎(jiǎng)（）A．甲B．乙C．丙D．丁3．（2022?瑞安市校級(jí)三模）用反證法證明“若a＜b＜0，則a2＞b2時(shí)”，應(yīng)假設(shè)（）A．a(chǎn)≤bB．a(chǎn)≥bC．a(chǎn)2≤b2D．a(chǎn)2≥b24．（2022?渝北區(qū)校級(jí)模擬）下列命題為假命題的是（）A．對(duì)頂角相等B．角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等C．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)D．過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直5．（2022?鹿城區(qū)校級(jí)三模）要說(shuō)明命題“若a＞b，則“a2＞b2”是假命題，下列a，b的值能作為反例的是（）A．a(chǎn)＝2，b＝﹣1B．a(chǎn)＝1，b＝2C．a(chǎn)＝﹣2，b＝﹣3D．a(chǎn)＝﹣3，b＝2【真題演練】1．（2022?南京模擬）下列生活實(shí)例中，數(shù)學(xué)原理解釋錯(cuò)誤的一項(xiàng)是（）A．兩個(gè)村莊之間修一條最短的公路，原理是：兩點(diǎn)之間線段最短B．從一條河向一個(gè)村莊引一條最短的水渠，原理是：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直C．把一根木條固定到墻上需要兩個(gè)釘子，原理是：兩點(diǎn)確定一條直線D．從一個(gè)貨站向一條高速公路修一條最短的路，原理是：連接直線外一點(diǎn)與已知直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短2．（2022?南京模擬）如圖，P是直線l外一點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)在直線l上，且PB⊥l于點(diǎn)B，∠APC＝90°，則下列結(jié)論中正確的是（）①線段BP的長(zhǎng)度是點(diǎn)P到直線l的距離；②線段AP是A點(diǎn)到直線PC的距離；③在PA，PB，PC三條線段中，PB最短；④線段PC的長(zhǎng)度是點(diǎn)P到直線l的距離A．①②③B．③④C．①③D．①②③④3．（2022?武進(jìn)區(qū)校級(jí)一模）下列命題中正確的是（）A．矩形的對(duì)角線相互垂直B．矩形的對(duì)角線相等且互相平分C．平行四邊形是軸對(duì)稱圖形D．平行四邊形的對(duì)角線相等4．（2022?鹿城區(qū)校級(jí)模擬）暗室里有5種不同的顏色的襪子各若干，為確保從室內(nèi)取出10雙襪子（同色即為一雙），應(yīng)從暗室內(nèi)取出襪子的最小只數(shù)為（）A．26B．25C．24D．235．（2022?岳麓區(qū)校級(jí)模擬）某學(xué)習(xí)興趣小組由學(xué)生和教師組成，人員構(gòu)成同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：（i）男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)；（ii）女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù)；（iii）教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù)．下列說(shuō)法，不正確的是（）A．若男學(xué)生人數(shù)是8人，則女學(xué)生人數(shù)最多為7B．若女學(xué)生人數(shù)為8，則教師人數(shù)最少為5C．該小組教師人數(shù)的最小值為1D．若學(xué)習(xí)興趣小組有12人，則男學(xué)生人數(shù)為56．（2022?嵊州市模擬）有六名同學(xué)需要在某天內(nèi)每人交一份作業(yè)給老師，每名同學(xué)交作業(yè)時(shí)將作業(yè)放在作業(yè)堆的最上面，老師一有空就從最上面拿一份作業(yè)來(lái)批改．按交作業(yè)的先后順序?qū)⒘葑鳂I(yè)依次編號(hào)為①、②、③、④、⑤、⑥．已知當(dāng)天中午老師已經(jīng)批改完兩份作業(yè)且第二份作業(yè)編號(hào)為④．則老師下午作業(yè)批改的順序不可能為（）A．③、⑥、⑤、①B．②、⑥、①、⑤C．③、⑤、⑥、②D．⑤、③、①、⑥7．（2022?南陵縣自主招生）已知a，b，c是不完全相等的任意實(shí)數(shù)，若x＝a﹣2b+c，y＝a+b﹣2c，z＝﹣2a+b+c，則關(guān)于x，y，z，的值，下列說(shuō)法正確的是（）A．都大于0B．至少有一個(gè)大于0C．都小于0D．至多有一個(gè)大于08．（2022?順德區(qū)二模）命題：已知△ABC，AB＝AC．求證：∠B＜90°．運(yùn)用反證法證明這個(gè)命題時(shí)，第一步應(yīng)假設(shè)（）成立．A．AB≠ACB．∠B＞90°C．∠B≥90°D．AB≠AC且∠B≥90°9．（2022春?鄞州區(qū)期末）用反證法證明“直角三角形的兩個(gè)銳角至少有一個(gè)角不大于45°”時(shí)，應(yīng)假設(shè)（）A．兩個(gè)銳角都大于45°B．兩個(gè)銳角都小于45°C．兩個(gè)銳角都不小于45°D．一個(gè)銳角大于45°，另一個(gè)銳角小于45°10．（2022春?保定期末）用反證法證明命題“若在△ABC中，AB≠AC，則∠B≠∠C”時(shí)，首先應(yīng)假設(shè)（）A．∠A＝∠BB．AB＝ACC．∠A＝∠CD．∠B＝∠C11．（2022春?神木市期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OA平分∠COE，且∠DOE＝50°，則∠BOD的度數(shù)是°．12．（2022春?嘉興期末）如圖，直線a，b被直線c所截，∠3的同旁內(nèi)角是．13．（2022?江陰市校級(jí)一模）命題“菱形的對(duì)角線互相垂直”的逆命題是，它是一個(gè)命題（填“真”或“假”）．14．（2022春?北京期中）破譯密碼：根據(jù)下面五個(gè)已知條件，推斷正確密碼是．15．（2022?門頭溝區(qū)二模）電腦系統(tǒng)中有個(gè)“掃雷”游戲，游戲規(guī)定：一個(gè)方塊里最多有一個(gè)地雷，方塊上面如果標(biāo)有數(shù)字，則是表示此數(shù)字周圍的方塊中地雷的個(gè)數(shù)．如圖1中的“3”就是表示它周圍的八個(gè)方塊中有且只有3個(gè)有地雷．如圖2，這是小明玩游戲的局部，圖中有4個(gè)方塊已確定是地雷（標(biāo)旗子處），其它區(qū)域表示還未掀開(kāi)，問(wèn)在標(biāo)有“A”～“G”的七個(gè)方塊中，能確定一定是地雷的有（填方塊上的字母）．16．（2022?河南模擬）用反證法證明“若|a|＜1，則a2＜1”是真命題時(shí)，第一步應(yīng)該先假設(shè)．17．（2022春?惠州期末）如圖所示，直線AB，CD