向量組等價線性相關(guān)性

關(guān)于向量組等價線性相關(guān)性第1頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月存在非零列向量及非零行向量，使得而中至少有一個元素非零又積的秩不超過因子矩陣的秩21、設(shè)A為矩陣,證明有解

有解已證第2頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月1、或表示方法：求出方程組的解作組合系數(shù)矩陣表示形式：復(fù)習(xí)：向量、向量組的線性表示向量用向量組的線性表示問題歸結(jié)為線性方程組解的問題！第3頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月表示系數(shù)為列！2、向量組用向量組的線性表示問題歸結(jié)為矩陣方程解的問題！第4頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月線性表示,

m=s時系數(shù)矩陣為方陣！表示系數(shù)為行！任何向量組可由單位向量組表示！能由向量組A線性表示第5頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月能互相線性表示，則稱向量組A與向量組B等價.等價的充要條件（p84定理2推論）4、向量組與向量組等價定義（p83)向量組的等價關(guān)系具有:自反性、對稱性、傳遞性！則向量組E與向量組A等價？第6頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月例2(p86)設(shè)證明證所以第7頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月向量組A與向量組B等價反之不一定！

等價的必要條件

向量組與單位向量組等價的條件能由向量組A線性表示與向量組等價？第8頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月即B的行的向量組可由A的行的向量組線性表示，

所以，A的行的向量組可由B的行的向量組線性表示。重要但A~B

不能保證A與B的行向量組或列向量組等價向量組的等價與矩陣的等價同理，A~B

A的列組與B的列組等價.

思考第9頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月但A~B不能保證A與B的行向量組或列向量組等價其標(biāo)準(zhǔn)型但但其列、行組都不等價思考B與PA的列向量組等價，B與AQ的行向量組等價B與A的列向量組等價，B與A的行向量組等價例：所以第10頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月若組A~組B,矩陣一般不成立！A,B不一定同型！同型組A可用組B表示組B可用組A表示反之含向量個數(shù)相等的同維數(shù)的向量組等價時矩陣等價！m=l

情況下——A與B列滿秩可逆！P70例9的結(jié)果A、B列滿秩時，系數(shù)矩陣可逆第11頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月這時，組A與組B同解方程組A

方程組B

線性方程組的等價

設(shè)有方程組組B的每個方程都是方程組A的線性組合?。碆

中方程皆由A中方程經(jīng)線性運算得到）方程組A和方程組B能互相線性表示！方程組B能由方程組A的線性表示

B的增廣矩陣的行向量組

可由A的增廣矩陣的行向量組線性表示.故這時，組A的解也是組B的解方程組A的線性組合：由A中方程經(jīng)線性運算得到的方程！（用矩陣解決方程組的深層依據(jù)）方程組B能由方程組A線性表示：方程組B與方程組A等價（互推）：第12頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月？對齊次線性方程組有同樣結(jié)論A與B行等價是從而，方程組Ax=o與Bx=o同解反之，第13頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月第14頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月向量組矩陣線性方程組行向量組為行構(gòu)成矩陣列向量組為列構(gòu)成矩陣矩陣的一行（列）元素構(gòu)成一個行（列）向量矩陣的全部行（列）向量構(gòu)成行（列）向量組一個方程的系數(shù)及常數(shù)項構(gòu)成行向量一個未知數(shù)的系數(shù)構(gòu)成列向量系數(shù)矩陣、增廣矩陣對應(yīng)行（列）向量組向量組A與B等價方程組等價（同解）向量組線性組合方程組線性組合矩陣的乘法向量組由向量組表示方程組由方程組表示矩陣的初等變換向量由向量組表示方程組有解矩陣的初等變換矩陣的行或列等價第15頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月C的列向量組可由A的列向量組線性表示，系數(shù)矩陣就是B

C的行向量組可由B的行向量組線性表示，系數(shù)矩陣就是A兩個方程組等價（同解）B是矩陣方程AX=C

的解A是

矩陣方程YB=C

的解表示系數(shù)？表示系數(shù)？

常數(shù)項列向量可由未知數(shù)的系數(shù)列向量組線性表示增廣矩陣與系數(shù)矩陣的列向量組等價方程組有解第16頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月本節(jié)重點掌握

向量、向量組、向量組的線性組合、向量由向量組線性表示、向量組等價概念，判定條件，方法，形式

重在理解!第17頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月引入設(shè)有向量組A:零向量可由A線性表示，§2向量組的線性相關(guān)性一定有：表示系數(shù)全為0我們關(guān)心的是：是否還有一組（m個）不全為零的數(shù)使得：至少一個不為0這兩者的本質(zhì)不同是什么呢？也就是對與向量組A：僅有組合系數(shù)全為零時其線性組合為零向量？也有組合系數(shù)不全為零時其線性組合為零向量？

本質(zhì)上的不同對向量組而言至關(guān)重要！第18頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月或曰線性相關(guān)。若有一組不全為零的數(shù)使得：比如至少有則能用其它m-1個向量線性表示，至少一個不為0這樣我們就說向量之間有了實實在在的線性關(guān)系，即向量組中，至少有一個向量若僅有組合系數(shù)全為零時其線性組合為零向量，則組中任何向量都不能用其它向量線性表示即只有向量之間沒有線性關(guān)系或曰線性無關(guān)。第19頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月k

0

則它線性相關(guān);線性無關(guān).線性相關(guān)

.基本結(jié)果：定義4（p87)(1)

當(dāng)向量組只含一個向量時,若該向量是非零向量,

(2)

兩個向量線性相關(guān)的充要條件是其對應(yīng)分量成比例.線性無關(guān).0則它線性無關(guān).共線若該向量是零向量,(4

)

n維單位坐標(biāo)向量組(P.88例4，待證)?當(dāng)且僅當(dāng)k

i

都為零時,()式成立1(3)

含有零向量的向量組線性相關(guān).當(dāng)且僅當(dāng)

時,成立成立第20頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)性條件線性無關(guān)只有零解

R(A)=

m線性方程組向量組A:向量組A:線性方程組向量組構(gòu)成的（列）矩陣R(A)<

m有非零解

矩陣方程矩陣方程判定一個向量組的線性相關(guān)性是重要的！用定義，用條件！第21頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月定理4（p88）向量組R(A)<

m向量組R(A)=

m其中是向量組構(gòu)成的（列）矩陣

溝通了向量組線性相關(guān)性與矩陣的秩之間的聯(lián)系!!!m為向量組中向量的個數(shù)R(A)=n它們所構(gòu)方陣A可逆（非奇異）。n個n維向量A可逆A構(gòu)成的向量組（行或列）線性無關(guān)特別的

任意n個n維向量線性相關(guān)

R(A)<n.

它們所構(gòu)方陣A不可逆（奇異）m=n時可用|A|是否為零判斷第22頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月例5（p88）判定向量組的線性相關(guān)性.解是坐標(biāo)已知的向量構(gòu)成的向量組，用判定條件(TH4)線性相關(guān)！或：是三個三維向量構(gòu)成的向量組，用矩陣的可逆性判別A不可逆，從而線性相關(guān)第23頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月用定義判定相關(guān)性證(P.88例4)線性無關(guān).

n維單位坐標(biāo)向量組法一：用條件法二：用定義令則R（E）=n線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)線性無關(guān)即第24頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月例6（p88）證一用定義即只有—(1)設(shè)出所討論向量組的零組合式；

用定義證明向量組相關(guān)性(2)由條件從(1)找出組合系數(shù)所滿足的方程組；(3)由此方程組有無非零解判定出其線性相關(guān)性.用方程組解的定理第25頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月證二用條件證明令向量組不具體（坐標(biāo)沒有給出），將向量組轉(zhuǎn)化為矩陣表達(dá)系數(shù)作列兩種方法的思路分析（p89)尋求線性表示的矩陣表達(dá)形式！第26頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月基本結(jié)論

結(jié)論也成立稱組A是組B的一個部分組整體與部分的相關(guān)性的聯(lián)系

線性無關(guān)的向量組中

在一個向量組中,若有一個部分向量組線性相關(guān)，則整個向量組也必定線性相關(guān)

.

意即：任何有限個向量構(gòu)成的的部分向量組都線性無關(guān)

.證明

（P89用定理4證明，自閱

)

定理5(P89)

(1)第27頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月

n<m時,m個n維向量構(gòu)成的m×n矩陣的秩定理5(P89)

(2)

必n<m

，

n<m時,m個n維向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān).

特別的，n+1個n維向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān).定理5(P89)

(3)則向量b必能由向量組線性表示，且表示式是惟一的.方程個數(shù)<未知量個數(shù)時,齊次線性方程組必有非零解向