第05講數(shù)列不等式與收斂性

第05講數(shù)列不等式與收斂性【考點預(yù)測】不等式問題的討論，是各種考試中必涉及的考試題型．對于數(shù)列問題，亦有關(guān)于不等式的問題．一般有兩個方面的問題．第一類問題是給定數(shù)列所滿足的不等式關(guān)系，研究該數(shù)列的某些性質(zhì)，此類問題的處理是分析所給不等式的關(guān)系，結(jié)合其他條件得到該數(shù)列滿足某些關(guān)系和性質(zhì)，從而解決所提出的問題．第二類問題是給定（或構(gòu)造）數(shù)列滿足某些關(guān)系或數(shù)列通項的表達式，求證該數(shù)列的通項或變形滿足一定的不等式，這類問題的解決需用到不等式證明的一些基本方法和技巧，并要結(jié)合給定數(shù)列的特征．這類問題具有一定的挑戰(zhàn)性，因為有時通過給定的關(guān)系式、簡單的變形，利用不等式的基礎(chǔ)知識，問題容易得到解決，但如果其中某步?jīng)]有觀察到或不等式知識使用不到位，可能找不到求解問題的思想和方法．下面舉例說明此類問題求解的方法和基本技巧．【典例例題】例1．已知數(shù)列滿足，，且，.(1)證明：；(2)證明：.【解析】(1)由已知數(shù)列滿足，，且，，即，故，由，，有，，故與同號，因為，則，，以此類推可知，對任意的，，所以，則，所以.(2)因為，則，，，累加得，所以，可得.當時，，故.例2．數(shù)列滿足且．證明：其中無理數(shù)．【解析】證法一：由遞推關(guān)系有.故．兩邊取對數(shù)并利用已知不等式得：．故．有，，…．將上述不等式兩邊相加可得．即，故．證法二：由數(shù)學(xué)歸納法易證對成立，故．令，則．對上述不等式兩邊取對數(shù)并利用已知不等式得：．故，，…．將上述不等式兩邊相加可得：．因．故．故，又顯然，故對一切成立．例3．設(shè)，記，，，3，…，集合對所有正整數(shù)，.求證：.【解析】證明：（1）如果，則，．（2）如果，由題意，，，，3，．則①當時，，．事實上，當時，，設(shè)時成立為某整數(shù)），則對，．②當時，，．事實上，當時，，設(shè)時成立為某整數(shù)），則對，有注意到當時，總有，即．從而有．由歸納法，推出，．（3）當時，記，則對于任意，且．對于任意，．則．所以，．當時，，即．因此．綜合（1），（2），（3），可得．例4．數(shù)列定義為，．證明，存在正整數(shù)，使得．【解析】由題意．對，我們有：；．兩式相減，得：，即．對有．取，則，從而滿足要求．例5．已知函數(shù)，設(shè)曲線在點處的切線與x軸的交點為，其中為正實數(shù)．(1)用表示；(2)求證：對一切正整數(shù)n，的充要條件是；(3)若，記證明數(shù)列成等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式．【解析】（1），所以曲線在點處的切線方程為：，將點代入方程，得，因為為正實數(shù)，所以為正實數(shù)，.（2）證明：充分性：由為正實數(shù)易得為正實數(shù)，，又因為，所以，，所以對一切正整數(shù)n，.必要性：因為，則，即，因為，解得.（3）證明：因為，所以，，所以，所以為等比數(shù)列.，所以，即，，解得.例6．已知.求證：.【解析】當時，，并且時，，因此，對任意，存在唯一的，使得.則有，所以.同理，，所以（其中充分大使得）.例7．若數(shù)列，求證：存在無窮多個正整數(shù)n，使得，并確定是否存在無窮多個正整數(shù)n使得？（這里表示不超過x的最大整數(shù)）【解析】用表示正整數(shù)i的正因數(shù)個數(shù)，則.所以若取，則，所以.而.所以，于是，故存在無窮多個n使.若?。╬為質(zhì)數(shù)，），則，.當時，.所以.所以，于是.故存在無窮多個n，使.例8．給定整數(shù).求具有下列性質(zhì)的最大常數(shù)，若實數(shù)列滿足：，則.【解析】取，得.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.當時，顯然成立.假設(shè)時，有；考慮時的情況，只需證明：.記.易得.則只需證明：，.由.證畢.例9．對于數(shù)列，若存在常數(shù)使得對任意正整數(shù)成立，則稱是有界數(shù)列．已知數(shù)列滿足遞推式，求證：（1）若，則不是有界數(shù)列．（2）若，則是有界數(shù)列．【解析】（1）歸納證明．當時命題成立．假設(shè)當時命題成立，則當時，．因此命題成立，不是有界數(shù)列．（2）顯然．注意到．因此時，．而．因此，即是有界數(shù)列．【過關(guān)測試】1．定義在R上的函數(shù)，，，是否存在常數(shù)，使得對，有.【解析】首先，易證，則.因為對，有，故，當時，無界，所以不存在常數(shù)，使得對，有.2．若正整數(shù)的二進制表示是，這里()，稱有窮數(shù)列1，，，，為的生成數(shù)列，設(shè)是一個給定的實數(shù)，稱為的生成數(shù).（1）求的生成數(shù)列的項數(shù)；（2）求由的生成數(shù)列，，，的前項的和(用?表示)；（3）若實數(shù)滿足，證明：存在無窮多個正整數(shù)，使得不存在正整數(shù)滿足.【解析】因為，所以且，，故確定即可確定的生成數(shù)列的項數(shù)，令，解得，因為，所以，所以的生成數(shù)列的項數(shù)為；（2）法一：(數(shù)學(xué)歸納法)當時，，當時，，當時，，猜想：，接下來用數(shù)學(xué)歸納法證明，當時，已證，假設(shè)結(jié)論對成立，則對有，故結(jié)論對也成立，所以；（3）對，設(shè)二進制表示下，我們證明不存在，使得，事實上，對這樣的，有，如果存在，使得，設(shè)的二進制表示為，則，①若，則，這時，如果，那么(因為，所以)，矛盾，如果，那么或，也矛盾，②設(shè)時可以推出矛盾，考慮的情形，若，則，矛盾，若，則，矛盾，上述推導(dǎo)中都用到了，所以，這時，記，進而，有，于是，由得，與歸納假設(shè)不符.綜上所述，存在無窮多個正整數(shù)，使得不存在正整數(shù)，滿足.3．設(shè).求證：（1）；（2）.【解析】（1）由已知可得.（2）由已知條件有.當n=1時，，不等式成立.當n≥2時，由（1）的結(jié)論可得.綜上所述，不等式成立.4．已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）求證：.【解析】（1）由得到.因為，所以，即.兩式相減，得，進而.因為，所以.又由已知，所以，對任意n∈N+，有，即{an}是等差數(shù)列，故an=n.（2）由an=n，對原式變形有：.原式得證.5．已知實數(shù)滿足，且.證明：存在整數(shù)，使得.【解析】記.構(gòu)造下列51個數(shù)：，，.下面證明中至少有一個在區(qū)間內(nèi).由上述符號的含義，知，且.所以.（1）若，則由，得.因此.（2）若，假設(shè)都不在區(qū)間內(nèi)，則由，知.結(jié)合假設(shè)，得.又由，知.所以中存在比小的數(shù)，也存在比大的數(shù).又，且都不在區(qū)間內(nèi).因此，存在j∈{1，2，……，50}，使得.此時，.另一方面，，兩者矛盾.所以中至少有一個在區(qū)間內(nèi).由（1）?（2）知，中至少有一個在區(qū)間內(nèi).由的定義知，結(jié)論成立解法二：首先用數(shù)學(xué)歸納法證明對于任意正整數(shù)n，若實數(shù)滿足，則存在的一個排列，使得.證明如下：（1）當n=1時，結(jié)論顯然成立（2）假設(shè)當n=k時，結(jié)論成立，則當n=k+1時，由歸納假設(shè)知，存在的一個排列，使得.記，，則.從而當時：；當時：.即當n=k+1時，結(jié)論也成立.由（1）?（2）知，對于任意正整數(shù)n，結(jié)論都成立.回到本題，利用上述結(jié)論容易知道存在的一個排列滿足，，且.又，所以或.因此結(jié)論成立.6．已知數(shù)列{an}滿足.（1）記，求數(shù)列{cn}的通項公式；（2）記，求使成立的最大正整數(shù)n的值.(其中，符號[x]表示不超過x的最大整數(shù))【解析】（1）由，得，代入條件遞推式，得.整理，得，即.所以，數(shù)列是以為首項，公比為3的等比數(shù)列.所以.（2）由（1）知，，.因為n≥2時，，.所以n≥2時，.又n=1時，，所以[b1]=1；n≥2時，[bn]=2(n-1)，所以n≥2時，.由n2-n+1≤2019，及n∈N+，得n≤45.所以使成立的最大正整數(shù)n的值為45.7．設(shè)復(fù)數(shù)數(shù)列{zn}滿足：，且對任意正整數(shù)n，均有.證明：對任意正整數(shù)m，均有.【解析】由于，且對任意正整數(shù)n，均有,故.由條件得，解得.因此，故①進而有②當m為偶數(shù)時，設(shè)m=2s(s∈N+).利用②可得.當m為奇數(shù)時，設(shè)m=2s+1(s∈N).由①?②可知，故.綜上結(jié)論獲證.8．數(shù)列滿足，，設(shè)、都是正整數(shù)，且.求的所有可能值.【解析】由題設(shè)知.故數(shù)列是等比數(shù)列.設(shè).則數(shù)列的公比是.所以，.因為是正整數(shù)，所以，.令.則.所以，，即.故.于是，.9．已知是數(shù)列的前項的和，對任意的正整數(shù)，都有成立．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，若對所有的正整數(shù)成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）當時，有．故．當時，及．則，即．（i）若，則．于是，．故．（ii）若，則．于是，．故．綜上，．（2）若，則，顯然不滿足條件．若，則．當時，，故當時，，不符合條件．（i）當時，，．從而，為單調(diào)遞減數(shù)列，且．所以，只須，顯然成立．（ii）當時，，顯然滿足條件．（iii）當時，，．從而，為單調(diào)遞增數(shù)列．因為，所以，．要使成立，只須，即．綜上，所求的實數(shù)的范圍是．10．把正整數(shù)數(shù)列中含有數(shù)字9的項都刪掉，剩下的項按原次序組成一個數(shù)列，記作.證明：.【解析】易知，從1到中不含數(shù)字9的自然數(shù)的個數(shù)是.從而，由到的自然數(shù)中不含數(shù)字9的數(shù)的個數(shù)是.設(shè)由到的自然數(shù)中不含數(shù)字9的數(shù)的倒數(shù)之和為，則.對任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得.故.11．對任意正整數(shù)，定義函數(shù)如下：①；②；③.（1）求的解析式；（2）設(shè)是數(shù)列的前項和，證明：.【解析】(1).由條件②可得：…….將上述個等式相加得而，所以由條件②可得：……將上述個等式相加得而，所以(2).因為，所以.所以兩式相減得故，所以.12．定義數(shù)列，，，對任意的，.證明：為整數(shù)數(shù)列.【解析】注意到，，.令，則，，.故.令，則.從而，.故.又為整數(shù)，于是為整數(shù)數(shù)列.13．已知正數(shù)數(shù)列滿足對于任意的正整數(shù)n，有．證明：（1）對于任意的正整數(shù)n(n≥2)有；（2）從某一個正整數(shù)n開始均有．【解析】（1）由正數(shù)數(shù)列知.（2）顯然，數(shù)列均嚴格遞增，從而，每-項均大于1.則.當n≥3時，有.對于任意正整數(shù)k有

①

②取.則當，時，.再由式①②知當時，，同理，當.取.則當時，有.故原命題成立.14．設(shè).對所有不同的子集，有.證明：.【解析】對集合，滿足對任意的，且.對所有，不妨設(shè).令(否則，將均減去一個數(shù)，使).若，設(shè)其中，.則.于是，.若，則.故.于是，由數(shù)學(xué)歸納法，知對任意的有.從而，.15．已知數(shù)列滿足，.證明：【解析】設(shè).則.當時，.于是，.從而，所證不等式轉(zhuǎn)化為.先用數(shù)學(xué)歸納法證明：.①（1）當時，不等式①的右邊左邊.（2）假設(shè)當時，有.當時，.只需證明：.設(shè)，只需證明：.易證，從而，不等式①成立.再證明：.②因為對任意的，均有，所以，.又當時，有，則.于是，不等式②成立.從而，原不等式得證.16．已知，.證明：.【解析】考慮數(shù)列：，.首先證明：.①事實上，因為，，所以，.假設(shè)當時，有.當時，因為，所以，.由數(shù)學(xué)歸納法知式①成立.由式①得.故.以此類推得.17．給定正數(shù)，若存在一個無窮正數(shù)數(shù)列滿足：.證明：.【解析】若不然，設(shè)，且存在數(shù)列滿足條件.則.從而，.若存在使得，則.依次類推得而當時，矛盾.所以，假設(shè)不成立.故.18．已知數(shù)列滿足，，.（1）求的通項公式；（2）令，為數(shù)列的前項和，證明