初二三角形常見輔助線做法總結及相關試題-周末

數(shù)學專題——三角形中的常用輔助線常見輔助線的作法有以下幾種：（1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折”。例1：如圖，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于點D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE。2）解題思路：要求證BD=2CE，可用加倍法，延長短邊，又因為有BD平分∠ABC的條件，可以和等腰三角形的三線合一定理結合起來。解答過程：證明：延長BA，CE交于點F，在ΔBEF和ΔBEC中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，從而CF=2CE。又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。（2）若遇到三角形的中線，可倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉”。例2：如圖，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ΔABC是等腰三角形。

證明：延長AD到E，使DE=AD，連接BE。又因為AD是BC邊上的中線，∴BD=DC又∠BDE=∠CDAΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，∵AD是∠BAC的平分線∴∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。（3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理。例3：已知，如圖，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。求證：∠B+∠ADC=180°。2）解題思路：因為AC是∠BAD的平分線，所以可過點C作∠BAD的兩邊的垂線，構造直角三角形，通過證明三角形全等解決問題。解答過程：證明：作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F?！逜C平分∠BAD，∴CE=CF。在Rt△CBE和Rt△CDF中，∵CE=CF，CB=CD，∴Rt△CBE≌Rt△CDF，∴∠B=∠CDF，∵∠CDF+∠ADC=180°，∴∠B+∠ADC=180°。解題后的思考：①關于角平行線的問題，常用兩種輔助線；②見中點即聯(lián)想到中位線。（4）過圖形上某一點作特定的平行線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”例4：如圖，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一點，F(xiàn)是AC延長線上一點，連EF交BC于D，若EB=CF。

求證：DE=DF。④如圖（5），過P作PD∥BQ交AC于D，則△ABP≌△ADP從而得以解決。。

例6：如圖甲，AD∥BC，點E在線段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。求證：CD=AD+BC。2）解題思路：結論是CD=AD+BC，可考慮用“截長補短法”中的“截長”，即在CD上截取CF=CB，只要再證DF=DA即可，這就轉化為證明兩線段相等的問題，從而達到簡化問題的目的。解答過程：證明：在CD上截取CF=BC，如圖乙∴△FCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1。又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠CDE=90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4。在△FDE與△ADE中，∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA，∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC。小結：三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看