金融工程第03章遠期與期貨定價

第三章遠期與期貨定價第一頁，共三十五頁。遠期價值、遠期價格與期貨價格2交割價格遠期價值：遠期合約本身的價值遠期價格：理論上的交割價格期貨價格第一節(jié)遠期價格與期貨價格遠期價格與期貨價格的關系當無風險利率恒定且對所有到期日都相同時，交割日相同的遠期價格和期貨價格應相等。當利率變化無法預測時當標的資產(chǎn)價格與利率呈正相關時，期貨價格高于遠期價格當標的資產(chǎn)價格與利率呈負相關時，遠期價格就會高于期貨價格第二頁，共三十五頁。基本假設31.沒有交易費用和稅收。2．市場參與者能以相同的無風險利率借入和貸出資金。3．遠期合約沒有違約風險。4．允許現(xiàn)貨賣空。5．當套利機會出現(xiàn)時，市場參與者將參與套利活動，從而使套利機會消失，我們得到的理論價格就是在沒有套利機會下的均衡價格。6．期貨合約的保證金賬戶支付同樣的無風險利率。這意味著任何人均可不花成本地取得遠期和期貨的多頭和空頭地位。第三頁，共三十五頁。主要符號4T：遠期和期貨合約的到期時間，單位為年。t：現(xiàn)在的時間，單位為年。變量T和t是從合約生效之前的某個日期開始計算的，T-t代表遠期和期貨合約中以年為單位的距離到期時間的剩余時間。S：遠期（期貨）標的資產(chǎn)在時間t時的價格。ST：遠期（期貨）標的資產(chǎn)在時間T時的價格（在t時刻這個值是個未知變量）。K：遠期合約中的交割價格。f：遠期合約多頭在t時刻的價值，即t時刻的遠期價值。F：t時刻的遠期合約和期貨合約中的理論遠期價格和理論期貨價格，在本書中如無特別注明，我們分別簡稱為遠期價格和期貨價格。r：T時刻到期的以連續(xù)復利計算的t時刻的無風險利率（年利率），在本書中，如無特別說明，利率均為連續(xù)復利的年利率。第四頁，共三十五頁。

構建兩種投資組合，令其終值相等，則其現(xiàn)值一定相等；否則就可進行套利，即賣出現(xiàn)值較高的投資組合，買入現(xiàn)值較低的投資組合，并持有到期末，套利者就可賺取無風險收益。5第二節(jié)無收益資產(chǎn)遠期合約的定價無套利定價法第五頁，共三十五頁。無收益資產(chǎn)的遠期價值6無收益資產(chǎn)是指在到期日前不產(chǎn)生現(xiàn)金流的資產(chǎn)，如貼現(xiàn)債券。構建組合：組合A：一份遠期合約多頭加上一筆數(shù)額為 的現(xiàn)金（無風險投資）組合B：一單位標的資產(chǎn)。遠期合約到期時，兩種組合都等于一單位標的資產(chǎn)，因此現(xiàn)值必須相等。 f+=Sf=S－兩種理解：無收益資產(chǎn)遠期合約多頭的價值等于標的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格與交割價格現(xiàn)值的差額。一單位無收益資產(chǎn)遠期合約多頭可由一單位標的資產(chǎn)多頭和無風險負債組成。第六頁，共三十五頁?，F(xiàn)貨-遠期平價定理7

遠期價格：（F）就是使合約價值（f）為零的交割價格（K）F=無收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠期平價定理：對于無收益資產(chǎn)而言，遠期價格等于其標的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格的終值。反證法7運用無套利原理對無收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠期平價定理的反證F>？F<？第七頁，共三十五頁。例3.1設一份標的證券為一年期貼現(xiàn)債券、剩余期限為6個月的遠期合約多頭，其交割價格為$950，6個月期的無風險年利率（連續(xù)復利）為6%，該債券的現(xiàn)價為$930。則我們可以算出該遠期合約多頭的價值為多少第八頁，共三十五頁。例3.2假設一年期的貼現(xiàn)債券價格為$960，3個月期無風險年利率為5%，則3個月期的該債券遠期合約的交割價格應為多少?第九頁，共三十五頁。遠期價格的期限結構10遠期價格的期限結構描述的是不同期限遠期價格之間的關系。 F=第十頁，共三十五頁。當即期利率和遠期利率所用的利率均為連續(xù)復利時，即期利率和遠期利率的關系可表示為：第十一頁，共三十五頁。例3.3假設某種不付紅利股票6個月遠期的價格為20元，目前市場上6個月至1年的遠期利率為8％，求該股票1年期的遠期價格。第十二頁，共三十五頁。已知現(xiàn)金收益的資產(chǎn)13支付已知現(xiàn)金收益的資產(chǎn)在到期前會產(chǎn)生完全可預測的現(xiàn)金流的資產(chǎn)例子：附息債券和支付已知現(xiàn)金紅利的股票。負現(xiàn)金收益的資產(chǎn)：黃金、白銀等貴金屬本身不產(chǎn)生收益，但需要花費一定的存儲成本，存儲成本可看成是負收益。我們令已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值為I，對黃、白銀來說，I為負值。第三節(jié)已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠期合約定價第十三頁，共三十五頁。支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠期價值14構建組合：組合A：一份遠期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ke-r（T－t）的現(xiàn)金;組合B：一單位標的證券加上利率為無風險利率、期限為從現(xiàn)在到現(xiàn)金收益派發(fā)日、本金為I的負債。

遠期合約到期時，兩種組合都等于一單位標的資產(chǎn)：f+=S-If=S-I-兩種理解：支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠期合約多頭價值等于標的證券現(xiàn)貨價格扣除現(xiàn)金收益現(xiàn)值后的余額與交割價格現(xiàn)值之差。一單位支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠期合約多頭可由一單位標的資產(chǎn)和I+單位無風險負債構成。由于使用的是I的現(xiàn)值，所以支付一次和多次現(xiàn)金收益的處理方法相同。第十四頁，共三十五頁。支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨－遠期平價公式15支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠期平價公式。根據(jù)F的定義，我們可從上式求得：F=(S-I)公式的理解：支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠期價格等于標的證券現(xiàn)貨價格與已知現(xiàn)金收益現(xiàn)值差額的終值。反證法F>(S-I)F<(S-I)第十五頁，共三十五頁。例3.4假設6個月期和12個月期的無風險年利率分別為9%和10%，而一種十年期債券現(xiàn)貨價格為990元，該證券一年期遠期合約的交割價格為1001元，該債券在6個月和12個月后都將收到$60的利息，且第二次付息日在遠期合約交割日之前，求該合約的價值。第十六頁，共三十五頁。例3.517第十七頁，共三十五頁。18支付已知收益率的資產(chǎn) 在到期前將產(chǎn)生與該資產(chǎn)現(xiàn)貨價格成一定比率的收益的資產(chǎn)支付已知收益率資產(chǎn)的遠期合約外匯遠期和期貨：外匯發(fā)行國的無風險利率股指期貨：市場整體水平的紅利率基本可預測遠期利率協(xié)議：本國的無風險利率遠期外匯綜合協(xié)議：外匯發(fā)行國的無風險利率第四節(jié)支付已知現(xiàn)金收益率資產(chǎn)的遠期合約定價第十八頁，共三十五頁。支付已知收益率資產(chǎn)的遠期價值19建立組合：組合A：一份遠期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ke-r（T－t）的現(xiàn)金；組合B：單位證券并且所有收入都再投資于該證券，其中q為該資產(chǎn)按連續(xù)復利計算的已知收益率。兩種理解：支付已知紅利率資產(chǎn)的遠期合約多頭價值等于單位證券的現(xiàn)值與交割價現(xiàn)值之差。一單位支付已知紅利率資產(chǎn)的遠期合約多頭可由單位標的資產(chǎn)和單位無風險負債構成。

第十九頁，共三十五頁。例3.620第二十頁，共三十五頁。例3.7A股票現(xiàn)在的市場價格是25美元，年平均紅利率為4％，無風險利率為10％，若該股票6個月的遠期合約的交割價格為27美元，求該遠期合約的價值及遠期價格。第二十一頁，共三十五頁。第五節(jié)外匯遠期期貨定價

為一單位外幣的美元價格為一單位外幣的遠期或期貨價格為期限為T的外幣的無風險利率為對應于同樣期限的美元無風險利率則：第二十二頁，共三十五頁。例3.8假定澳元與美元的2年期的無風險利率分別為5%及7%，且澳元及美元的匯率為0.62（即1澳元所對應的美元數(shù)量）請計算一下2年期的期貨合約匯率假定2年期的期貨合約匯率為0.63，請問一個套利者將如何交易假定2年期的期貨合約匯率為0.6600，請問一個套利者將如何交易第二十三頁，共三十五頁。24持有成本持有成本＝保存成本＋利息成本－標的資產(chǎn)在合約期限內(nèi)提供的收益具體例子：不支付紅利的股票，沒有保存成本和收益，所以持有成本就是利息成本r股票指數(shù)的持有成本是r－q外幣的持有成本是r－。遠期和期貨定價中的持有成本（c）概念：第六節(jié)遠期與期貨價格的一般結論第二十四頁，共三十五頁。非完全市場上的定價公式25存在交易成本：假定每一筆交易的費率為Y，那么不存在套利機會的遠期價格就不再是確定的值，而是一個區(qū)間：借貸存在利差如果用表示借入利率，用表示借出利率，對非銀行的機構和個人，一般是。這時遠期和期貨的價格區(qū)間為：存在賣空限制因為賣空會給經(jīng)紀人帶來很大風險，所以幾乎所有的經(jīng)紀人都扣留賣空客戶的部分所得作為保證金。假設這一比例為X，那么均衡的遠期和期貨價格區(qū)間應該是：第二十五頁，共三十五頁。26如果上述三種情況同時存在，遠期和期貨價格區(qū)間應該是：完全市場可以看成是的特殊情況。

消費性資產(chǎn)的遠期合約定價消費性資產(chǎn)則是指那些投資者主要出于消費目的而持有的資產(chǎn)，如石油、銅、農(nóng)產(chǎn)品等。對于消費性資產(chǎn)來說，遠期定價公式

不再適用，而是轉化為第二十六頁，共三十五頁。27同一時刻的兩者價格高低取決于持有成本在遠期（期貨）到期日，遠期（期貨）價格將收斂于標的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價格標的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價格對同一時刻的遠期（期貨）價格起著重要的制約關系價格的領先滯后關系第七節(jié)遠期（期貨）價格與標的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格的關系第二十七頁，共三十五頁。當前遠期（期貨）價格與標的資產(chǎn)預期的未來現(xiàn)貨價格的關系

**在一個無套利的有效市場中，標的資產(chǎn)和其冗余證券期貨之間具有一體化性質(zhì)，現(xiàn)貨相對于期貨的預期收益率總是正好等于標的資產(chǎn)的風險溢酬。**轉移風險和管理風險的確是期貨市場的最本質(zhì)功能。28第二十八頁，共三十五頁。練習1.每季度計一次復利的年利率為14%，請計算與之等價的每年計一次復利的年利率和連續(xù)復利年利率。第二十九頁，共三十五頁。2.假設連續(xù)復利的零息票利率分別為：期限（月）年利率

38.068.298.4128.5158.6188.7請計算第2、3、4、5、6季度的連續(xù)復利遠期利率。第三十頁，共三十五頁。3.假設一種無紅利支付的股票目前的市價為20元，無風險連續(xù)復利年利率為10%，求該股票3個月期遠期價格。第三十一頁，共三十五頁。4.假設恒生指數(shù)目前為10000點，香港無風險連續(xù)復利年利率為10%，恒生指數(shù)股息收益率為每年3%，求該指數(shù)4個月期的期貨價格。第三十二頁，共三十五頁。5.某股票預計在2個月和5個月后每股分別派發(fā)1元股息，該股票目前市價等于30，所有期限的無風險連續(xù)復利年利率均為6%，某投資者剛取得該股票6個月期的遠期合約空頭，請問：該遠期價格等于多少？若交割價格等于遠期價格，則遠期合約的初始值等于多少？3個月后，該股票價格漲到35元，無風險利率仍為6%，此時遠期價格和該合約空頭價值等于多少？第三十三頁，共三十五頁。6．瑞士和美國兩個月連續(xù)復利率分別為2%和7%，瑞士法郎的現(xiàn)貨匯率為0.6500美元，2個月期的瑞士法郎期貨價格為0.6600美元，請問有無套利機會第三十四頁，共三十五頁。內(nèi)容總結第三章遠期與期貨定價。當無風險利率恒定且對所有到期日都相同時，交割日相同的遠期價格和期貨價格