金融工程第03章遠(yuǎn)期與期貨定價

第三章遠(yuǎn)期與期貨定價第一頁，共三十五頁。遠(yuǎn)期價值、遠(yuǎn)期價格與期貨價格2交割價格遠(yuǎn)期價值：遠(yuǎn)期合約本身的價值遠(yuǎn)期價格：理論上的交割價格期貨價格第一節(jié)遠(yuǎn)期價格與期貨價格遠(yuǎn)期價格與期貨價格的關(guān)系當(dāng)無風(fēng)險利率恒定且對所有到期日都相同時，交割日相同的遠(yuǎn)期價格和期貨價格應(yīng)相等。當(dāng)利率變化無法預(yù)測時當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格與利率呈正相關(guān)時，期貨價格高于遠(yuǎn)期價格當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格與利率呈負(fù)相關(guān)時，遠(yuǎn)期價格就會高于期貨價格第二頁，共三十五頁。基本假設(shè)31.沒有交易費(fèi)用和稅收。2．市場參與者能以相同的無風(fēng)險利率借入和貸出資金。3．遠(yuǎn)期合約沒有違約風(fēng)險。4．允許現(xiàn)貨賣空。5．當(dāng)套利機(jī)會出現(xiàn)時，市場參與者將參與套利活動，從而使套利機(jī)會消失，我們得到的理論價格就是在沒有套利機(jī)會下的均衡價格。6．期貨合約的保證金賬戶支付同樣的無風(fēng)險利率。這意味著任何人均可不花成本地取得遠(yuǎn)期和期貨的多頭和空頭地位。第三頁，共三十五頁。主要符號4T：遠(yuǎn)期和期貨合約的到期時間，單位為年。t：現(xiàn)在的時間，單位為年。變量T和t是從合約生效之前的某個日期開始計算的，T-t代表遠(yuǎn)期和期貨合約中以年為單位的距離到期時間的剩余時間。S：遠(yuǎn)期（期貨）標(biāo)的資產(chǎn)在時間t時的價格。ST：遠(yuǎn)期（期貨）標(biāo)的資產(chǎn)在時間T時的價格（在t時刻這個值是個未知變量）。K：遠(yuǎn)期合約中的交割價格。f：遠(yuǎn)期合約多頭在t時刻的價值，即t時刻的遠(yuǎn)期價值。F：t時刻的遠(yuǎn)期合約和期貨合約中的理論遠(yuǎn)期價格和理論期貨價格，在本書中如無特別注明，我們分別簡稱為遠(yuǎn)期價格和期貨價格。r：T時刻到期的以連續(xù)復(fù)利計算的t時刻的無風(fēng)險利率（年利率），在本書中，如無特別說明，利率均為連續(xù)復(fù)利的年利率。第四頁，共三十五頁。

構(gòu)建兩種投資組合，令其終值相等，則其現(xiàn)值一定相等；否則就可進(jìn)行套利，即賣出現(xiàn)值較高的投資組合，買入現(xiàn)值較低的投資組合，并持有到期末，套利者就可賺取無風(fēng)險收益。5第二節(jié)無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價無套利定價法第五頁，共三十五頁。無收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價值6無收益資產(chǎn)是指在到期日前不產(chǎn)生現(xiàn)金流的資產(chǎn)，如貼現(xiàn)債券。構(gòu)建組合：組合A：一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為 的現(xiàn)金（無風(fēng)險投資）組合B：一單位標(biāo)的資產(chǎn)。遠(yuǎn)期合約到期時，兩種組合都等于一單位標(biāo)的資產(chǎn)，因此現(xiàn)值必須相等。 f+=Sf=S－兩種理解：無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約多頭的價值等于標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格與交割價格現(xiàn)值的差額。一單位無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約多頭可由一單位標(biāo)的資產(chǎn)多頭和無風(fēng)險負(fù)債組成。第六頁，共三十五頁。現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價定理7

遠(yuǎn)期價格：（F）就是使合約價值（f）為零的交割價格（K）F=無收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價定理：對于無收益資產(chǎn)而言，遠(yuǎn)期價格等于其標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格的終值。反證法7運(yùn)用無套利原理對無收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價定理的反證F>？F<？第七頁，共三十五頁。例3.1設(shè)一份標(biāo)的證券為一年期貼現(xiàn)債券、剩余期限為6個月的遠(yuǎn)期合約多頭，其交割價格為$950，6個月期的無風(fēng)險年利率（連續(xù)復(fù)利）為6%，該債券的現(xiàn)價為$930。則我們可以算出該遠(yuǎn)期合約多頭的價值為多少第八頁，共三十五頁。例3.2假設(shè)一年期的貼現(xiàn)債券價格為$960，3個月期無風(fēng)險年利率為5%，則3個月期的該債券遠(yuǎn)期合約的交割價格應(yīng)為多少?第九頁，共三十五頁。遠(yuǎn)期價格的期限結(jié)構(gòu)10遠(yuǎn)期價格的期限結(jié)構(gòu)描述的是不同期限遠(yuǎn)期價格之間的關(guān)系。 F=第十頁，共三十五頁。當(dāng)即期利率和遠(yuǎn)期利率所用的利率均為連續(xù)復(fù)利時，即期利率和遠(yuǎn)期利率的關(guān)系可表示為：第十一頁，共三十五頁。例3.3假設(shè)某種不付紅利股票6個月遠(yuǎn)期的價格為20元，目前市場上6個月至1年的遠(yuǎn)期利率為8％，求該股票1年期的遠(yuǎn)期價格。第十二頁，共三十五頁。已知現(xiàn)金收益的資產(chǎn)13支付已知現(xiàn)金收益的資產(chǎn)在到期前會產(chǎn)生完全可預(yù)測的現(xiàn)金流的資產(chǎn)例子：附息債券和支付已知現(xiàn)金紅利的股票。負(fù)現(xiàn)金收益的資產(chǎn)：黃金、白銀等貴金屬本身不產(chǎn)生收益，但需要花費(fèi)一定的存儲成本，存儲成本可看成是負(fù)收益。我們令已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值為I，對黃、白銀來說，I為負(fù)值。第三節(jié)已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約定價第十三頁，共三十五頁。支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價值14構(gòu)建組合：組合A：一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ke-r（T－t）的現(xiàn)金;組合B：一單位標(biāo)的證券加上利率為無風(fēng)險利率、期限為從現(xiàn)在到現(xiàn)金收益派發(fā)日、本金為I的負(fù)債。

遠(yuǎn)期合約到期時，兩種組合都等于一單位標(biāo)的資產(chǎn)：f+=S-If=S-I-兩種理解：支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約多頭價值等于標(biāo)的證券現(xiàn)貨價格扣除現(xiàn)金收益現(xiàn)值后的余額與交割價格現(xiàn)值之差。一單位支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約多頭可由一單位標(biāo)的資產(chǎn)和I+單位無風(fēng)險負(fù)債構(gòu)成。由于使用的是I的現(xiàn)值，所以支付一次和多次現(xiàn)金收益的處理方法相同。第十四頁，共三十五頁。支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨－遠(yuǎn)期平價公式15支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價公式。根據(jù)F的定義，我們可從上式求得：F=(S-I)公式的理解：支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價格等于標(biāo)的證券現(xiàn)貨價格與已知現(xiàn)金收益現(xiàn)值差額的終值。反證法F>(S-I)F<(S-I)第十五頁，共三十五頁。例3.4假設(shè)6個月期和12個月期的無風(fēng)險年利率分別為9%和10%，而一種十年期債券現(xiàn)貨價格為990元，該證券一年期遠(yuǎn)期合約的交割價格為1001元，該債券在6個月和12個月后都將收到$60的利息，且第二次付息日在遠(yuǎn)期合約交割日之前，求該合約的價值。第十六頁，共三十五頁。例3.517第十七頁，共三十五頁。18支付已知收益率的資產(chǎn) 在到期前將產(chǎn)生與該資產(chǎn)現(xiàn)貨價格成一定比率的收益的資產(chǎn)支付已知收益率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約外匯遠(yuǎn)期和期貨：外匯發(fā)行國的無風(fēng)險利率股指期貨：市場整體水平的紅利率基本可預(yù)測遠(yuǎn)期利率協(xié)議：本國的無風(fēng)險利率遠(yuǎn)期外匯綜合協(xié)議：外匯發(fā)行國的無風(fēng)險利率第四節(jié)支付已知現(xiàn)金收益率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約定價第十八頁，共三十五頁。支付已知收益率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價值19建立組合：組合A：一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ke-r（T－t）的現(xiàn)金；組合B：單位證券并且所有收入都再投資于該證券，其中q為該資產(chǎn)按連續(xù)復(fù)利計算的已知收益率。兩種理解：支付已知紅利率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約多頭價值等于單位證券的現(xiàn)值與交割價現(xiàn)值之差。一單位支付已知紅利率資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約多頭可由單位標(biāo)的資產(chǎn)和單位無風(fēng)險負(fù)債構(gòu)成。

第十九頁，共三十五頁。例3.620第二十頁，共三十五頁。例3.7A股票現(xiàn)在的市場價格是25美元，年平均紅利率為4％，無風(fēng)險利率為10％，若該股票6個月的遠(yuǎn)期合約的交割價格為27美元，求該遠(yuǎn)期合約的價值及遠(yuǎn)期價格。第二十一頁，共三十五頁。第五節(jié)外匯遠(yuǎn)期期貨定價

為一單位外幣的美元價格為一單位外幣的遠(yuǎn)期或期貨價格為期限為T的外幣的無風(fēng)險利率為對應(yīng)于同樣期限的美元無風(fēng)險利率則：第二十二頁，共三十五頁。例3.8假定澳元與美元的2年期的無風(fēng)險利率分別為5%及7%，且澳元及美元的匯率為0.62（即1澳元所對應(yīng)的美元數(shù)量）請計算一下2年期的期貨合約匯率假定2年期的期貨合約匯率為0.63，請問一個套利者將如何交易假定2年期的期貨合約匯率為0.6600，請問一個套利者將如何交易第二十三頁，共三十五頁。24持有成本持有成本＝保存成本＋利息成本－標(biāo)的資產(chǎn)在合約期限內(nèi)提供的收益具體例子：不支付紅利的股票，沒有保存成本和收益，所以持有成本就是利息成本r股票指數(shù)的持有成本是r－q外幣的持有成本是r－。遠(yuǎn)期和期貨定價中的持有成本（c）概念：第六節(jié)遠(yuǎn)期與期貨價格的一般結(jié)論第二十四頁，共三十五頁。非完全市場上的定價公式25存在交易成本：假定每一筆交易的費(fèi)率為Y，那么不存在套利機(jī)會的遠(yuǎn)期價格就不再是確定的值，而是一個區(qū)間：借貸存在利差如果用表示借入利率，用表示借出利率，對非銀行的機(jī)構(gòu)和個人，一般是。這時遠(yuǎn)期和期貨的價格區(qū)間為：存在賣空限制因為賣空會給經(jīng)紀(jì)人帶來很大風(fēng)險，所以幾乎所有的經(jīng)紀(jì)人都扣留賣空客戶的部分所得作為保證金。假設(shè)這一比例為X，那么均衡的遠(yuǎn)期和期貨價格區(qū)間應(yīng)該是：第二十五頁，共三十五頁。26如果上述三種情況同時存在，遠(yuǎn)期和期貨價格區(qū)間應(yīng)該是：完全市場可以看成是的特殊情況。

消費(fèi)性資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約定價消費(fèi)性資產(chǎn)則是指那些投資者主要出于消費(fèi)目的而持有的資產(chǎn)，如石油、銅、農(nóng)產(chǎn)品等。對于消費(fèi)性資產(chǎn)來說，遠(yuǎn)期定價公式

不再適用，而是轉(zhuǎn)化為第二十六頁，共三十五頁。27同一時刻的兩者價格高低取決于持有成本在遠(yuǎn)期（期貨）到期日，遠(yuǎn)期（期貨）價格將收斂于標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價格標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價格對同一時刻的遠(yuǎn)期（期貨）價格起著重要的制約關(guān)系價格的領(lǐng)先滯后關(guān)系第七節(jié)遠(yuǎn)期（期貨）價格與標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格的關(guān)系第二十七頁，共三十五頁。當(dāng)前遠(yuǎn)期（期貨）價格與標(biāo)的資產(chǎn)預(yù)期的未來現(xiàn)貨價格的關(guān)系

**在一個無套利的有效市場中，標(biāo)的資產(chǎn)和其冗余證券期貨之間具有一體化性質(zhì)，現(xiàn)貨相對于期貨的預(yù)期收益率總是正好等于標(biāo)的資產(chǎn)的風(fēng)險溢酬。**轉(zhuǎn)移風(fēng)險和管理風(fēng)險的確是期貨市場的最本質(zhì)功能。28第二十八頁，共三十五頁。練習(xí)1.每季度計一次復(fù)利的年利率為14%，請計算與之等價的每年計一次復(fù)利的年利率和連續(xù)復(fù)利年利率。第二十九頁，共三十五頁。2.假設(shè)連續(xù)復(fù)利的零息票利率分別為：期限（月）年利率

38.068.298.4128.5158.6188.7請計算第2、3、4、5、6季度的連續(xù)復(fù)利遠(yuǎn)期利率。第三十頁，共三十五頁。3.假設(shè)一種無紅利支付的股票目前的市價為20元，無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利年利率為10%，求該股票3個月期遠(yuǎn)期價格。第三十一頁，共三十五頁。4.假設(shè)恒生指數(shù)目前為10000點，香港無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利年利率為10%，恒生指數(shù)股息收益率為每年3%，求該指數(shù)4個月期的期貨價格。第三十二頁，共三十五頁。5.某股票預(yù)計在2個月和5個月后每股分別派發(fā)1元股息，該股票目前市價等于30，所有期限的無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利年利率均為6%，某投資者剛?cè)〉迷摴善?個月期的遠(yuǎn)期合約空頭，請問：該遠(yuǎn)期價格等于多少？若交割價格等于遠(yuǎn)期價格，則遠(yuǎn)期合約的初始值等于多少？3個月后，該股票價格漲到35元，無風(fēng)險利率仍為6%，此時遠(yuǎn)期價格和該合約空頭價值等于多少？第三十三頁，共三十五頁。6．瑞士和美國兩個月連續(xù)復(fù)利率分別為2%和7%，瑞士法郎的現(xiàn)貨匯率為0.6500美元，2個月期的瑞士法郎期貨價格為0.6600美元，請問有無套利機(jī)會第三十四頁，共三十五頁。內(nèi)容總結(jié)第三章遠(yuǎn)期與期貨定價。當(dāng)無風(fēng)險利率恒定且對所有到期日都相同時，交割日相同的遠(yuǎn)期價格和期貨價格