斯托克斯公式(共25張PPT)

三、環(huán)流量與旋度斯托克斯公式環(huán)流量與旋度第七節(jié)一、斯托克斯公式*二、空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件*四、向量微分算子機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十章第1頁，共25頁。一、斯托克斯(Stokes)公式

定理1.設(shè)光滑曲面的邊界是分段光滑曲線,(斯托克斯公式)個空間域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),的側(cè)與

的正向符合右手法則,在包含在內(nèi)的一證:情形1

與平行z軸的直線只交于一點(diǎn),

設(shè)其方程為為確定起見,不妨設(shè)取上側(cè)(如圖).則有簡介目錄上頁下頁返回結(jié)束第2頁，共25頁。則(利用格林公式)定理1目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁，共25頁。因此同理可證三式相加,即得斯托克斯公式;定理1目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁，共25頁。情形2曲面與平行z軸的直線交點(diǎn)多于一個,則可通過作輔助線面把分成與z軸只交于一點(diǎn)的幾部分,在每一部分上應(yīng)用斯托克斯公式,然后相加,由于沿輔助曲線方向相反的兩個曲線積分相加剛好抵消,所以對這類曲面斯托克斯公式仍成立.注意:如果是xoy面上的一塊平面區(qū)域,則斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.證畢定理1目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁，共25頁。為便于記憶,斯托克斯公式還可寫作:或用第一類曲面積分表示:定理1目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁，共25頁。一、斯托克斯(Stokes)公式注意:如果是xoy面上的一塊平面區(qū)域,習(xí)題課目錄上頁下頁返回結(jié)束解:設(shè)為平面z=y上被所圍橢圓域,與平面y=z的交線,從z邊界,方向如圖所示.出了著名的粘性流體運(yùn)動方程(后稱之是向量分析的基本公式.注意:如果是xoy面上的一塊平面區(qū)域,(1)對G內(nèi)任一分段光滑閉曲線,有向量rotA稱為向量場A的公式目錄上頁下頁返回結(jié)束的有效且一般的新方法,于是得斯托克斯公式的向量形式:設(shè)曲面的法向量為例1.利用斯托克斯公式計算積分其中為平面x+y+z=1被三坐標(biāo)面所截三角形的整個解:記三角形域為,取上側(cè),則邊界,方向如圖所示.利用對稱性機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁，共25頁。例2.

為柱面與平面y=z的交線,從z

軸正向看為順時針,計算解:設(shè)為平面z=y上被所圍橢圓域,且取下側(cè),利用斯托克斯公式得則其法線方向余弦公式目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁，共25頁。*二、空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件定理2.設(shè)G是空間一維單連通域,具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則下列四個條件相互等價:(1)對G內(nèi)任一分段光滑閉曲線,有(2)對G內(nèi)任一分段光滑曲線,與路徑無關(guān)(3)在G內(nèi)存在某一函數(shù)u,使(4)在G內(nèi)處處有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁，共25頁。證:由斯托克斯公式可知結(jié)論成立;(自證)設(shè)函數(shù)則定理2目錄上頁下頁返回結(jié)束第10頁，共25頁。情形2曲面與平行z軸的直線交點(diǎn)多于一個,向量rotA稱為向量場A的(此即“旋度”一詞的來源)設(shè)光滑曲面的邊界是分段光滑曲線,為確定起見,不妨設(shè)取上側(cè)(如圖).空間曲線積分與路徑無關(guān)的充要條件習(xí)題課目錄上頁下頁返回結(jié)束注意:如果是xoy面上的一塊平面區(qū)域,高斯公式與斯托克斯公式可寫成:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束情形2曲面與平行z軸的直線交點(diǎn)多于一個,與平面y=z的交線,從z機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束同理可證故有若(3)成立,則必有因P,Q,R一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),故有同理證畢定理2目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁，共25頁。與路徑無關(guān),并求函數(shù)解:

令積分與路徑無關(guān),因此例3.驗證曲線積分定理2目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁，共25頁。三、環(huán)流量與旋度斯托克斯公式設(shè)曲面的法向量為曲線的單位切向量為則斯托克斯公式可寫為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁，共25頁。令,引進(jìn)一個向量記作向量rotA稱為向量場A的稱為向量場A定義:沿有向閉曲線的環(huán)流量.或①于是得斯托克斯公式的向量形式:旋度.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束rotation第14頁，共25頁。設(shè)某剛體繞定軸l轉(zhuǎn)動,M為剛體上任一點(diǎn),建立坐標(biāo)系如圖,則角速度為,點(diǎn)M的線速度為(此即“旋度”一詞的來源)旋度的力學(xué)意義:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁，共25頁。向量場A產(chǎn)生的旋度場穿過的通量注意與的方向形成右手系!

為向量場A沿的環(huán)流量斯托克斯公式①的物理意義:例4.求電場強(qiáng)度的旋度.解:(除原點(diǎn)外)這說明,在除點(diǎn)電荷所在原點(diǎn)外,整個電場無旋.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁，共25頁。的外法向量,計算解:

例5.設(shè)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第17頁，共25頁。*四、向量微分算子定義向量微分算子:它又稱為▽(Nabla)算子,或哈密頓(Hamilton)算子.則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第18頁，共25頁。則高斯公式與斯托克斯公式可寫成:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第19頁，共25頁。內(nèi)容小結(jié)1.斯托克斯公式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第20頁，共25頁。在內(nèi)與路徑無關(guān)在內(nèi)處處有在內(nèi)處處有2.空間曲線積分與路徑無關(guān)的充要條件設(shè)P,Q,R在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第21頁，共25頁。3.場論中的三個重要概念設(shè)

梯度:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束散度:旋度:則第22頁，共25頁。思考與練習(xí)則提示:三式相加即得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第23頁，共25頁。作業(yè)P1831(1),(3),(4);2(1),(3);3(1);

4(2);6補(bǔ)充題:證明

習(xí)題課目錄上頁下頁返回結(jié)束第24頁，共25頁。斯托克斯(1819-1903)英國數(shù)學(xué)物理學(xué)家.他是19世紀(jì)英國數(shù)學(xué)物理學(xué)派的重要代表人物之一,其主要興趣在于尋