優(yōu)質(zhì)解析：河北省衡水中學(xué)高考試卷1高三下學(xué)期第六次調(diào)研考試（A）數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．【答案】C【解析】試題分析：,應(yīng)選C.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算．2．已知集合，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】試題分析：由于,因此應(yīng)選C.考點(diǎn)：集合的運(yùn)算．3．命題若，則；命題，下列命題為假命題的是（）A．或 B．且 C． D．【答案】B【解析】試題分析：由于是假命題,是真命題,因此且是假命題；命題,或和都是真命題.應(yīng)選B.考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假和判定．4．設(shè)函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】試題分析：由于函數(shù)為偶函數(shù),因此,應(yīng)選B.考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性和對(duì)數(shù)的運(yùn)算．5．已知，則（）A． B． C． D．【答案】A考點(diǎn)：同角的關(guān)系和誘導(dǎo)公式的運(yùn)用．6．函數(shù)的圖象的相鄰兩支截直線所得線段長(zhǎng)為，則的值是（）A． B． C．1 D．【答案】D【解析】試題分析：由于,因此,所以,應(yīng)選D.考點(diǎn)：正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)．7．執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的依次是l，2，4，8，則輸出的為（）A．2 B． C．4 D．6【答案】A【解析】試題分析：由于當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,再次運(yùn)行時(shí),這時(shí)就輸出了,應(yīng)選A.考點(diǎn)：算法流程圖的識(shí)讀和理解．8．在棱長(zhǎng)為3的正方體中，在線段上，且，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積為（）A．1 B． C． D．與點(diǎn)的位置有關(guān)【答案】B考點(diǎn)：三棱錐體積的運(yùn)算．9．已知三地在同一水平面內(nèi)，地在地正東方向處，地在地正北方向處，某測(cè)繪隊(duì)員在、之間的直線公路上任選一點(diǎn)作為測(cè)繪點(diǎn)，用測(cè)繪儀進(jìn)行測(cè)繪，地為一磁場(chǎng)，在其不超過(guò)的范圍內(nèi)會(huì)對(duì)測(cè)繪儀等電子形成干擾，使測(cè)繪結(jié)果不準(zhǔn)確，則該測(cè)繪隊(duì)員能夠得到準(zhǔn)確數(shù)據(jù)的概率是（）A． B． C． D．【答案】A考點(diǎn)：幾何概型的計(jì)算公式．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題將解三角形和概率有機(jī)地結(jié)合在一起,重點(diǎn)考查的是幾何概型的計(jì)算公式和求解方法.解答時(shí)充分借助題設(shè)中提供的有效信息,以點(diǎn)為圓心半徑為畫(huà)圓,記交點(diǎn)為,從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求線段的長(zhǎng)的問(wèn)題.由于,點(diǎn)到的距離為,運(yùn)用勾股定理求出了.然后依據(jù)題設(shè)求出得到準(zhǔn)確數(shù)據(jù)的概率為.10．已知拋物線的交點(diǎn)恰好是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，兩條曲線的交點(diǎn)的連線過(guò)點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】試題分析：設(shè)兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為,由題設(shè),代入由得,即.也即,因此,應(yīng)選C．考點(diǎn)：雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題考查的是圓錐曲線的離心率問(wèn)題.解答這類(lèi)問(wèn)題的一般方法是借助題設(shè)條件和已知的事實(shí)合理構(gòu)建關(guān)于的方程或等式,然后再通過(guò)解方程使得問(wèn)題獲解.本題在求解時(shí)充分借助題設(shè)條件先確定交點(diǎn)的坐標(biāo),再將坐標(biāo)代入雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中,建立了關(guān)于的方程,最后通過(guò)解方程求出了雙曲線的離心率使問(wèn)題獲解,較好地考查和檢測(cè)了轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想和運(yùn)算求解能力.11．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A． B． C．4 D．【答案】A考點(diǎn)：三視圖及幾何體的表面積．12．已知函數(shù)，設(shè)方程的根從小到大依次為，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A． B． C． D．【答案】C考點(diǎn)：分段函數(shù)與數(shù)列的求和．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題以函數(shù)的圖像為背景,將數(shù)列的通項(xiàng)和求和等問(wèn)題有機(jī)地結(jié)合在一起,較好地考查和檢測(cè)了學(xué)生數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想和歸納猜想的合情推理的能力.解答時(shí)充分借助題設(shè)中提供的分段函數(shù)的表達(dá)形式,分別算出滿足函數(shù)方程的根,然后再借助等式,直接將問(wèn)題進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化和化歸.直接利用等比數(shù)列的求和公式求出其前項(xiàng)和為,使得問(wèn)題巧妙獲解.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題（本大題共4小題，每題5分，滿分20分．）13．已知平面向量的夾角為，，則______．【答案】【解析】試題分析：.考點(diǎn)：向量的模及運(yùn)算．14．設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，且，則的最大值為_(kāi)_____．【答案】【解析】試題分析：由正弦定理得,即,則,當(dāng)時(shí),.考點(diǎn)：正弦定理及運(yùn)用．15．若不等式組表示的區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)銳角三角形及其內(nèi)部，則實(shí)數(shù)的范圍是______．【答案】考點(diǎn)：線性規(guī)劃的知識(shí)及運(yùn)用．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題設(shè)置的是一道逆向型的線性規(guī)劃問(wèn)題,考查的仍是數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.解答本題時(shí)充分借助題設(shè)條件和圖形的直觀,先確定極限點(diǎn)的情況,算出此時(shí)的斜率的值,再移動(dòng)動(dòng)直線的位置,找出適合題設(shè)條件的參數(shù)的取值范圍,從而使問(wèn)題簡(jiǎn)捷巧妙獲解.值得提醒的是解答這類(lèi)問(wèn)題,一定要結(jié)合圖形,數(shù)形結(jié)合,將數(shù)的問(wèn)題直觀化,使得問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了,更加容易理解.16．設(shè)過(guò)曲線（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上任意一點(diǎn)處的切線為，總存在過(guò)曲線上一點(diǎn)處的切線，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】試題分析：設(shè)曲線上的切點(diǎn)為,曲線上一點(diǎn)為.因,故直線的斜率分別為,由于,因此,即,也即.又因?yàn)?所以,由于存在使得,因此且,所以,所以.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義及不等式恒成立和存在成立問(wèn)題的求解思路．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題考查的是存在性命題與全稱(chēng)命題成立的前提下參數(shù)的取值范圍問(wèn)題.解答時(shí)先求導(dǎo)將切線的斜率表示出來(lái),再借助題設(shè)中提供的兩切線的位置關(guān)系,將其數(shù)量化,最后再依據(jù)恒成立和存在等信息的理解和處理,從而使問(wèn)題獲解.本題在解答時(shí)最為容易出錯(cuò)的地方有兩處:其一是將切點(diǎn)設(shè)為一個(gè)；其二是將存在問(wèn)題當(dāng)做任意問(wèn)題來(lái)處理.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17．（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，，且為等差數(shù)列的前三項(xiàng)．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)，；(2).【解析】試題分析：(1)依據(jù)題設(shè)條件建立方程求解；(2)借助題設(shè)條件運(yùn)用錯(cuò)位相減法求解.試題解析:（1）解法1：∵，∴∴，即，又，∴數(shù)列為以1為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，…………………2分∴，∴，整理得，得………4分∴，…………………6分解法2：∵，∴，∴，整理得，得……2分∴，∴∴，即，又∴數(shù)列為以1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，…………4分∴，………………………6分（2）∴①∴②…………………8分①②得…………10分整理得：………………12分考點(diǎn)：等差數(shù)列等比數(shù)列的通項(xiàng)前項(xiàng)和等有關(guān)知識(shí)的運(yùn)用．18．（本小題滿分12分）某商店計(jì)劃每天購(gòu)進(jìn)某商品若干件，商店每銷(xiāo)售一件該商品可獲利潤(rùn)50元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品虧損10元，若供不應(yīng)求，則從外部調(diào)劑，此時(shí)每件調(diào)劑商品可獲利潤(rùn)30元．（1）若商店一天購(gòu)進(jìn)商品10件，求當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量（單位：件，）的函數(shù)解析式；（2）商店記錄了50天該商品的日需求量（單位：件），整理得下表：日需求量89101112頻數(shù)91115105若商店一天購(gòu)進(jìn)10件該商品，以50天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，求當(dāng)天的利潤(rùn)在區(qū)間的概率．【答案】(1)；(2).【解析】試題分析：(1)依據(jù)題設(shè)條件和利潤(rùn)的含義求解；(2)借助題設(shè)條件運(yùn)用古典概率的公式求解.（2）50天內(nèi)有9天獲得的利潤(rùn)380元，有11天獲得的利潤(rùn)為440，有15天獲得利潤(rùn)為500，有10天獲得的利潤(rùn)為530，有5天獲得的利潤(rùn)為560…………………8分=2\*GB3②若利潤(rùn)在區(qū)間時(shí)，日需求量為9件、10件、11件該商品，其對(duì)應(yīng)的頻數(shù)分別為11天、15天、10天…………………………10分則利潤(rùn)區(qū)間的概率為：?！?2分考點(diǎn)：分段函數(shù)的解析式和概率等有關(guān)知識(shí)的運(yùn)用．19．（本小題滿分12分）如圖1，在直角梯形中，，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)，將沿折起到圖2中的位置，得到四棱錐．（1）證明：平面；（2）當(dāng)平面平面時(shí)，四棱錐的體積為，求的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【解析】試題分析：(1)依據(jù)直線與平面垂直的判定定理推證；(2)借助題設(shè)條件運(yùn)用等積法建立方程求解.試題解析:（1）在圖1中，因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，即在圖2中，從而平面又所以平面…………………………5分（2）由已知，平面平面，且平面平面又由（1）知，，所以平面，即是四棱錐的高，由圖1可知，，平行四邊形面積，從而四棱錐的為，由，得…………………12考點(diǎn)：空間線面垂直的位置關(guān)系和棱錐的體積公式等有關(guān)知識(shí)的運(yùn)用．20．（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，一動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線相切，若該動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）已知點(diǎn)，傾斜角為的直線與線段相交（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)或點(diǎn)）且與曲線交于、兩點(diǎn)，求的面積的最大值，及此時(shí)直線的方程．【答案】(1)；(2)，此時(shí)直線的方程為.【解析】試題分析：(1)依據(jù)拋物線的定義直接求解；(2)借助題設(shè)條件建立目標(biāo)函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解.試題解析:（1）由題意可知圓心到的距離等于到直線的距離，由拋物線的定義可知，圓心的軌跡方程：。………4分（2）解法一：由題意，可設(shè)的方程為，其中由方程組，消去，得①當(dāng)時(shí)，方程①的判別式成立。設(shè)，則，………………6分∴又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為∴S△=?！?分令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。當(dāng)時(shí)，有最大值32，……………11分故當(dāng)直線的方程為時(shí)，的最大面積為?！?2分解法二：由題意，可設(shè)與軸相交于，的方程為，其中由方程組，消去，得①∵直線與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)、，∴方程①的判別式必成立，設(shè)則?！?分∴S△=?！?分令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，有最大值32，…………11分故當(dāng)直線的方程為時(shí)，的最大面積為?！?2分考點(diǎn)：直線與拋物線的位置關(guān)系等有關(guān)知識(shí)的運(yùn)用．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】平面解析幾何是高考的重要內(nèi)容之一,也是高考的難點(diǎn)之一.解答這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是運(yùn)算求解能力不過(guò)關(guān)和靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法不到位.解答本題的第二問(wèn)時(shí),如何建立的目標(biāo)函數(shù)是解答好本題的難點(diǎn)和關(guān)鍵之所在.當(dāng)建立出目標(biāo)函數(shù),在求解該函數(shù)的最大值時(shí),又陷入了困境,這里運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求出了當(dāng)時(shí),該三角形的面積最大,從而走出問(wèn)題的瓶頸.21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：若，則對(duì)于任意，有．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】試題分析：(1)依據(jù)題設(shè)條件建立不等式分析探求；(2)借助題設(shè)條件運(yùn)用轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想和導(dǎo)數(shù)知識(shí)推證.試題解析:（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，令，因?yàn)楹瘮?shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，說(shuō)明或恒成立，……………2分即的符號(hào)大于等于零或小于等于零恒成立，當(dāng)時(shí)，，，在定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，只需，即，不符合要求；當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，只需即可，即，解得，此時(shí)在定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)；……………5分綜上所述……………………6分解法二：令即在恒成立說(shuō)明，即在上單調(diào)增加，……………10分從而當(dāng)時(shí)，有成立，命題得證！…………12分考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性和不等式等方面的運(yùn)用．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題以探求函數(shù)的單調(diào)性和不等式的推證為背景,考查的是導(dǎo)函數(shù)的與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系的綜合應(yīng)用問(wèn)題.解答本題的第一問(wèn)時(shí),依據(jù)題設(shè)條件直接建立含參數(shù)的不等式,通過(guò)分類(lèi)討論將適合題設(shè)條件的參數(shù)的范圍求出.第二問(wèn)是不等式的證明問(wèn)題,解答時(shí)充分借助題設(shè)條件,運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學(xué)思想將其進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化,再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)進(jìn)行推證從而獲證,整個(gè)求解過(guò)程充滿了數(shù)學(xué)思想的利用.請(qǐng)考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.解答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào).22．（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，已知點(diǎn)在直徑的延長(zhǎng)線上，切于點(diǎn)，是的平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求的度數(shù)；（2）若，求．【答案】(1)；(2).【解析】試題分析：(1)依據(jù)圓的弦切角與同弦所對(duì)的內(nèi)角相等求解；(2)借助題設(shè)條件運(yùn)用相似三角形求解.試題解析:（1）因?yàn)闉榈那芯€，所以，因?yàn)槭堑钠椒志€，所以，所以，即，所以所以．（2）因?yàn)?，所以，所以，所以，在中，又因?yàn)?，所以，中，考點(diǎn)：圓的有關(guān)性質(zhì)及運(yùn)用．23．（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)