河北省衡水中學高三（上）六調數(shù)學試卷（文科）（解析版）

-學河北省衡水中學高三（上）六調數(shù)學試卷（文科）一、選擇題（共12小題，每小題3分，滿分36分）1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B={x|2＜x＜4}，那么集合CUA∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤4} B．{x|2＜x≤3} C．{x|2≤x＜3} D．{x|﹣1＜x＜4}2．若復數(shù)z=1﹣i，i為虛數(shù)單位，則=（）A．﹣i B．i C．﹣1 D．13．函數(shù)y=2cos2（x﹣）﹣1是（）A．最小正周期為π的奇函數(shù) B．最小正周期為π的偶函數(shù)C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)4．下列四個命題中真命題的個數(shù)是（）①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要條件②命題“?x∈R，sinx≤1”的否定是“?x∈R，sinx＞1”③命題p：?x∈[1，+∞），lgx≥0，命題q：?x∈R，x2+x+1＜0，則p∨q為真命題．A．0 B．1 C．2 D．35．已知z=2x+y，其中實數(shù)x，y滿足，且z的最大值是最小值的4倍，則a的值是（）A． B． C．4 D．6．在△ABC中，點D滿足，點E是線段AD上的一個動點，若，則t=（λ﹣1）2+μ2的最小值是（）A． B． C． D．7．已知雙曲線的右焦點為F，過F的直線l交雙曲線的漸近線于A，B兩點，且與其中一條漸近線垂直，若，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．8．如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，AA1=2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為（）A． B． C． D．9．設Sn是等比數(shù)列{an}的前n項的和，Sm﹣1=45，Sm=93，則Sm+1=189，則m=（）A．6 B．5 C．4 D．310．已知函數(shù)f（x）=，若存在x1，x2，當0≤x1＜4≤x2≤6時，f（x1）=f（x2），則x1?f（x2）的取值范圍是（）A．[0，1） B．[1，4] C．[1，6] D．[0，1]∪[3，8]11．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：+=1的左右焦點，點P在橢圓上，且到左焦點F1的距離為6，過F1做∠F1PF2的角平分線的垂線，垂足為M，則OM的長為（）A．1 B．2 C．3 D．412．關于曲線C：，給出下列四個命題：A．曲線C關于原點對稱B．曲線C有且只有兩條對稱軸C．曲線C的周長l滿足D．曲線C上的點到原點的距離的最小值為上述命題中，真命題的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．某單位共有老、中、青職工430人，其中青職工160人，中職工人數(shù)是老職工人數(shù)的2倍．為了解職工身體狀況，現(xiàn)采用分層抽樣方法進行調查，在抽取的樣本中有青職工32人，則該樣本中的老職工人數(shù)為．14．已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的準線l，過M（1，0）且斜率為的直線與l相交于A，與C的一個交點為B，若，則p=．15．已知直線x+y+1=0與曲線C：y=x3﹣3px2相交于點A，B，且曲線C在A，B處的切線平行，則實數(shù)p的值為．16．半徑為1的球的內部有4個大小相同的半徑為r的小球，則小球半徑r可能的最大值為．三、解答題（本大題共5小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）17．等比數(shù)列{an}的前n項和為S?，已知S1，S3，S2，成等差數(shù)列．（1）求{an}的公比q；（2）等差數(shù)列{bn}中，b5=9，公差d=4q，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn的最大值．18．山東省第二十三運動會將于9月16日在濟寧市開幕，為辦好省運會，濟寧市計劃招募各類志愿者1.2萬人．為做好宣傳工作，招募小組對濟寧市15﹣40歲的人群隨機抽取了100人，回答“省運會”的有關知識，根據(jù)統(tǒng)計結果制作了如下的統(tǒng)計圖及表：組號按齡分組回答完全正確人數(shù)回答完全正確人數(shù)占本組頻率1[15，20）50.52[20，25）a0.93[25，30）27x4[30，35）90.365[35，40）30.2（Ⅰ）分別求出表2中的a、x的值；（Ⅱ）若在第2、3、4組回答完全正確的人中，用分層抽樣的方法抽取6人，則各組應分別抽取多少人？（Ⅲ）在（II）的前提下，招募小組決定在所抽取的6人中，隨機抽取2人頒發(fā)幸運獎，求獲獎的2人均來自第3組的概率．19．如圖，四邊形ABCD為矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于點F，且點F在CE上．（Ⅰ）求證：AE⊥BE；（Ⅱ）求三棱錐D﹣AEC的體積．20．已知直線2x﹣2y﹣1=0與拋物線C：x2=2py（p＞0）相切．（1）求p的值；（2）過點M（0，1）作直線l與拋物線C交于A，B兩點，拋物線C在A，B兩點處的切線分別為l1，l2，直線l1，l2交于點P，求點P的軌跡方程．21．已知函數(shù)f（x）=（x2﹣2x）?lnx+ax2+2（Ⅰ）當a=﹣1時，求f（x）在（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）設函數(shù)g（x）=f（x）﹣x﹣2；（i）若函數(shù)g（x）有且僅有一個零點時，求a的值；（ii）在（i）的條件下，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值范圍．請考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，那么按所做的第一題記分.選修4-1：幾何證明選講22．已知AB為半圓O的直徑，AB=4，C為半圓上一點，過點C作半圓的切線CD，過點A作AD⊥CD于D，交半圓于點E，DE=1．（Ⅰ）求證：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的長．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程23．在平面直角坐標系xOy中，已知C1：（θ為參數(shù)），將C1上的所有點的橫坐標、縱坐標分別伸長為原來的和2倍后得到曲線C2以平面直角坐標系xOy的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，已知直線l：ρ（cosθ+sinθ）=4（1）試寫出曲線C1的極坐標方程與曲線C2的參數(shù)方程；（2）在曲線C2上求一點P，使點P到直線l的距離最小，并求此最小值．選修4-5：不等式選講24．已知函數(shù)f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（Ⅰ）若關于x的不等式g（x）≥0的解集為{x|﹣5≤x≤﹣1}，求實數(shù)m的值；（Ⅱ）若f（x）＞g（x）對于任意的x∈R恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

-學河北省衡水中學高三（上）六調數(shù)學試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題3分，滿分36分）1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B={x|2＜x＜4}，那么集合CUA∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤4} B．{x|2＜x≤3} C．{x|2≤x＜3} D．{x|﹣1＜x＜4}【考點】交、并、補集的混合運算．【分析】分析可得，A、B都是不等式的解集，由不等式的解法，容易解得A、B，進而可得CUA，對其求交集可得答案．【解答】解：由不等式的解法，容易解得A={x|x＞3或x＜﹣1}，B={x|2＜x＜4}．則CUA={x|﹣1≤x≤3}，于是（CUA）∩B={x|2＜x≤3}，故選B．2．若復數(shù)z=1﹣i，i為虛數(shù)單位，則=（）A．﹣i B．i C．﹣1 D．1【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】利用復數(shù)的運算法則、共軛復數(shù)的定義即可得出．【解答】解：=====i，故選：B．3．函數(shù)y=2cos2（x﹣）﹣1是（）A．最小正周期為π的奇函數(shù) B．最小正周期為π的偶函數(shù)C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)【考點】三角函數(shù)的周期性及其求法；函數(shù)奇偶性的判斷．【分析】利用二倍角公式化簡為一個角的一個三角函數(shù)的形式，求出周期，判定奇偶性．【解答】解：由y=2cos2（x﹣）﹣1=cos（2x﹣）=sin2x，∴T=π，且y=sin2x奇函數(shù)，即函數(shù)y=2cos2（x﹣）﹣1是奇函數(shù)．故選A．4．下列四個命題中真命題的個數(shù)是（）①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要條件②命題“?x∈R，sinx≤1”的否定是“?x∈R，sinx＞1”③命題p：?x∈[1，+∞），lgx≥0，命題q：?x∈R，x2+x+1＜0，則p∨q為真命題．A．0 B．1 C．2 D．3【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】①利用充分、必要條件的概念驗證即可．②利用全稱命題的否定是特稱命題，寫出結果即可．③對命題p，q的真假分別進行判斷即可．【解答】解：對于①：當x=1成立時有12﹣3×1+2=0即x2﹣3x+2=0成立，當x2﹣3x+2=0成立時有x=1或x=2不一定有x=1成立．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要條件．故①正確．對于②：命題“?x∈R，sinx≤1”的否定是“?x∈R，sinx＞1”故②正確．對于③命題p：?x∈[1，+∞），lgx≥0，正確，命題q：?x∈R，x2+x+1＜0錯誤，因為x2+x+1=（x+）2+＞0恒成立，p∨q為真，故③正確．故選D．5．已知z=2x+y，其中實數(shù)x，y滿足，且z的最大值是最小值的4倍，則a的值是（）A． B． C．4 D．【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，結合目標函數(shù)z=2x+y的最大值是最小值的4倍，建立方程關系，即可得到結論．【解答】解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直線y=﹣2x+z，由圖象可知當直線y=﹣2x+z經(jīng)過點A時，直線的截距最大，此時z最大，由，解得：，即A（1，1），此時z=2×1+1=3，當直線y=﹣2x+z經(jīng)過點B時，直線的截距最小，此時z最小，由，解得：，即B（a，a），此時z=2×a+a=3a，∵目標函數(shù)z=2x+y的最大值是最小值的4倍，∴3=4×3a，即a=，故選：B．6．在△ABC中，點D滿足，點E是線段AD上的一個動點，若，則t=（λ﹣1）2+μ2的最小值是（）A． B． C． D．【考點】平面向量的基本定理及其意義．【分析】根據(jù)共線向量基本定理可得到存在實數(shù)k，，0≤k≤1，然后根據(jù)已知條件及向量的加法、減法的幾何意義即可得到，從而得到．代入t，進行配方即可求出t的最小值．【解答】解：如圖，E在線段AD上，所以存在實數(shù)k使得；；∴==；∴；∴=；∴時，t取最小值．故選：C．7．已知雙曲線的右焦點為F，過F的直線l交雙曲線的漸近線于A，B兩點，且與其中一條漸近線垂直，若，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】由題意得右焦點F（c，0），設一漸近線OA的方程為y=x，則另一漸近線OB的方程為y=﹣x，設A（m，），B（n，﹣），由可得方程，解之可得m=，n=，可得B（，），由FB⊥OB可得，斜率之積等于﹣1，進而可得ab的關系式，結合雙曲線abc的關系，可得離心率．【解答】解：由題意得右焦點F（c，0），設一漸近線OA的方程為y=x，則另一漸近線OB的方程為y=﹣x，設A（m，），B（n，﹣），∵，∴（c﹣m，﹣）=4（n﹣c，﹣），∴c﹣m=4（n﹣c），﹣=﹣4，解之可得m=，n=，∴B（，），由FB⊥OB可得，斜率之積等于﹣1，即?=﹣1，化簡可得5b2=3a2，即5（c2﹣a2）=3a2，解之可得5c2=8a2，即e==故選D8．如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，AA1=2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【考點】異面直線及其所成的角．【分析】根據(jù)長方體相對的平面上的兩條對角線平行，得到兩條異面直線所成的角，這個角在一個可以求出三邊的三角形中，利用余弦定理得到結果．【解答】解：連接BC1，A1C1，則BC1∥AD1，∴∠A1BC1是兩條異面直線所成的角，在直角△A1AB中，由AA1=2AB得到：A1B=AB．在直角△BCC1中，CC1=AA1，BC=AB，則C1B=AB．在直角△A1B1C1中A1C1=AB，則cos∠A1BC1==．故選：D．9．設Sn是等比數(shù)列{an}的前n項的和，Sm﹣1=45，Sm=93，則Sm+1=189，則m=（）A．6 B．5 C．4 D．3【考點】等比數(shù)列的前n項和．【分析】由題意得===2，再由Sm==93解得a1=3，從而求m．【解答】解：∵===2，∴Sm===93，故a1=3，故am=3?2m﹣1=48，解得，m=5，故選B．10．已知函數(shù)f（x）=，若存在x1，x2，當0≤x1＜4≤x2≤6時，f（x1）=f（x2），則x1?f（x2）的取值范圍是（）A．[0，1） B．[1，4] C．[1，6] D．[0，1]∪[3，8]【考點】分段函數(shù)的應用．【分析】根據(jù)已知將x1?f（x2）轉化為x1f（x1），再根據(jù)函數(shù)y=xf（x）的性質求解．【解答】解：當0≤x1＜4≤x2≤6時，因為f（x1）=f（x2），由f（x1）=f（x2）=1或f（x1）=f（x2）=2，得到x1的取值范圍是[1，3]，所以x1?f（x2）=x1?f（x1）=x1（1﹣|x1|﹣2）=，即x1f（x2）的范圍是[1，4]．故選B．11．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：+=1的左右焦點，點P在橢圓上，且到左焦點F1的距離為6，過F1做∠F1PF2的角平分線的垂線，垂足為M，則OM的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點】橢圓的簡單性質．【分析】延長F1M和PF2交于N，求得橢圓的a=5，運用橢圓的定義和等腰三角形的三線合一，以及三角形的中位線定理，即可得到所求|OM|的值．【解答】解：延長F1M和PF2交于N，橢圓C：+=1的a=5，由橢圓的定義可得|PF1|+|PF2|=2a=10，由|PF1|=6，可得|PF2|=4，由等腰三角形的三線合一，可得|PF1|=|PN|=6，可得|NF2|=6﹣4=2，由OM為△F1F2N的中位線，可得|OM|=|F2N|=×2=1．故選A．12．關于曲線C：，給出下列四個命題：A．曲線C關于原點對稱B．曲線C有且只有兩條對稱軸C．曲線C的周長l滿足D．曲線C上的點到原點的距離的最小值為上述命題中，真命題的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點】曲線與方程．【分析】利用曲線方程的特點結合曲線的圖象分別進行判斷即可．【解答】解：把曲線C中的（x，y）同時換成（﹣x，﹣y），方程不變，∴曲線C關于原點對稱，即A正確；曲線方程為，交換x，y的位置后曲線方程不變，∴曲線C關于直線y=x對稱，同理，y=﹣x，x，y軸是曲線的對稱軸，即B不正確；在第一象限內，因為點（，）在曲線上，由圖象可知曲線在直線y=﹣x+1的下方，且為凹函數(shù)如圖：由以上分析可知曲線C的周長l滿足，正確．曲線C上的點到原點的距離的最小值為（，）到原點的距離，為，即D正確．真命題有3個，故選：C．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．某單位共有老、中、青職工430人，其中青職工160人，中職工人數(shù)是老職工人數(shù)的2倍．為了解職工身體狀況，現(xiàn)采用分層抽樣方法進行調查，在抽取的樣本中有青職工32人，則該樣本中的老職工人數(shù)為18．【考點】分層抽樣方法．【分析】由題意確定老職工的人數(shù)，再由青職工確定抽樣比，因為分層抽樣，各層抽取比例一樣，故可計算出樣本中的老職工人數(shù)．【解答】解：青職工160人，在抽取的樣本中有青職工32人，故抽取比例為，老、中職工共430﹣160=270人，又中職工人數(shù)是老職工人數(shù)的2倍，故老職工有90人，所以該樣本中的老職工人數(shù)為90×=18故答案為：1814．已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的準線l，過M（1，0）且斜率為的直線與l相交于A，與C的一個交點為B，若，則p=2．【考點】拋物線的簡單性質．【分析】設直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立消去y得3x2+（﹣6﹣2p）x+3=0，進而根據(jù)，可知M為A、B的中點，可得p的關系式，解方程即可求得p．【解答】解：設直線AB：，代入y2=2px得3x2+（﹣6﹣2p）x+3=0，又∵，即M為A、B的中點，∴xB+（﹣）=2，即xB=2+，得p2+4P﹣12=0，解得p=2，p=﹣6（舍去）故答案為：215．已知直線x+y+1=0與曲線C：y=x3﹣3px2相交于點A，B，且曲線C在A，B處的切線平行，則實數(shù)p的值為1．【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】求出原函數(shù)的導函數(shù)，設出A，B點的坐標，得到函數(shù)在A，B點處的導數(shù)值，由A，B點處的導數(shù)值相等得到==m，把x1，x2看作方程3x2﹣6px﹣m=0的兩個根，利用根與系數(shù)關系得到x1+x2=2p，進一步得到AB的中點坐標，然后再證明AB的中點在曲線C上，最后由AB中點的縱坐標相等求得實數(shù)p的值．【解答】解：由y=x3﹣3px2，得y′=3x2﹣6px，設A（x1，y1），B（x2，y2），則曲線C在A，B處的切線的斜率分別為，∵曲線C在A，B處的切線平行，∴=，令==m，∴x1，x2是方程3x2﹣6px﹣m=0的兩個根，則x1+x2=2p，下面證線段AB的中點在曲線C上，∵==，而=﹣2p3，∴線段AB的中點在曲線C上，由x1+x2=2p，知線段的中點為（p，﹣p﹣1），∴﹣p﹣1=p3﹣3p?p2=﹣2p3，解得p=1．故答案為：1．16．半徑為1的球的內部有4個大小相同的半徑為r的小球，則小球半徑r可能的最大值為﹣2．【考點】球的體積和表面積．【分析】由題意，四個小球兩兩相切并且四個小球都與大球相切時，這些小球的半徑最大，以四個小球球心為頂點的正四面體棱長為2r，該正四面體的中心（外接球球心）就是大球的球心，求出正四面體的外接球半徑，即可求得結論．【解答】解：由題意，四個小球兩兩相切并且四個小球都與大球相切時，這些小球的半徑最大．以四個小球球心為頂點的正四面體棱長為2r，該正四面體的中心（外接球球心）就是大球的球心，該正四面體的高為=r，設正四面體的外接球半徑為x，則x2=（r﹣x）2+（r）2，∴x=r，∴1=r+r，∴r==﹣2．故答案為：﹣2．三、解答題（本大題共5小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）17．等比數(shù)列{an}的前n項和為S?，已知S1，S3，S2，成等差數(shù)列．（1）求{an}的公比q；（2）等差數(shù)列{bn}中，b5=9，公差d=4q，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn的最大值．【考點】數(shù)列的求和；等比數(shù)列的通項公式．【分析】（1）由S1，S3，S2，成等差數(shù)列，可得S1+S2=2S3，化為：2a3=﹣a2，可得q=．（2）d=4q=﹣2，b5=9，解得b1．利用等差數(shù)列的求和公式可得Tn，再利用二次函數(shù)的性質即可得出．【解答】解：（1）∵S1，S3，S2，成等差數(shù)列，∴S1+S2=2S3，∴2a1+a2=2（a1+a2+a3），化為：2a3=﹣a2，∴q==．（2）d=4q=﹣2，∴b1﹣2×4=9，解得b1=17．∴Tn=17n+=﹣n2+18n=﹣（n﹣9）2+81，當n=9時，Tn取得最大值81．18．山東省第二十三運動會將于9月16日在濟寧市開幕，為辦好省運會，濟寧市計劃招募各類志愿者1.2萬人．為做好宣傳工作，招募小組對濟寧市15﹣40歲的人群隨機抽取了100人，回答“省運會”的有關知識，根據(jù)統(tǒng)計結果制作了如下的統(tǒng)計圖及表：組號按齡分組回答完全正確人數(shù)回答完全正確人數(shù)占本組頻率1[15，20）50.52[20，25）a0.93[25，30）27x4[30，35）90.365[35，40）30.2（Ⅰ）分別求出表2中的a、x的值；（Ⅱ）若在第2、3、4組回答完全正確的人中，用分層抽樣的方法抽取6人，則各組應分別抽取多少人？（Ⅲ）在（II）的前提下，招募小組決定在所抽取的6人中，隨機抽取2人頒發(fā)幸運獎，求獲獎的2人均來自第3組的概率．【考點】古典概型及其概率計算公式；頻率分布直方圖．【分析】（Ⅰ）通過頻率分布直方圖可求出第2，3組人數(shù)頻率，從而確定其人數(shù)，然后即可求出表2中的a、x的值；（Ⅱ）根據(jù)分層抽樣的性質直接計算即可；（Ⅲ）列舉抽取2人所有基本事件，找出的基本事件，利用古典概型計算即可．【解答】解：（Ⅰ）由頻率直方圖可知，第2，3組總人數(shù)分別為：20人，30人．∴a=0.9×20=18（人）．x==0.9．（Ⅱ）在第2，3，4組回答完全正確的人共有54人，用分層抽樣的方法抽取6人，則各組分別抽?。旱?組：=2人；第3組：=3人；第4組：=1人．∴應在第2，3，4組分別抽取2人，3人，1人．（Ⅲ）分別記第2組的2人為A1，A2，第3組的3人為B1，B2，B3，第4組的1人為C．則從6人中隨機抽取2人的所有可能的結果為：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C），（B2，B3），（B2，C），（B3，C）共15種情況．獲獎2人均來自第3組的有：（B1，B2），（B1，B3）（B2，B3）共3種情況．故獲獎2人均來自第3組的概率為=．19．如圖，四邊形ABCD為矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于點F，且點F在CE上．（Ⅰ）求證：AE⊥BE；（Ⅱ）求三棱錐D﹣AEC的體積．【考點】空間中直線與直線之間的位置關系；棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的性質．【分析】（Ⅰ）由題意證明BC⊥平面ABE，得AE⊥BC，再結合條件證明AE⊥平面BCE，再證出AE⊥BE；（Ⅱ）利用題意得到平面ACD⊥平面ABE，作出交線的垂線，利用換低求三棱錐體積．【解答】（Ⅰ）證明：由題意知，AD⊥平面ABE，且AD∥BC∴BC⊥平面ABE，∵AE?平面ABE∴AE⊥BC，∵BF⊥平面ACE，且AE?平面ABE∴BF⊥AE，又BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，又∵BE?平面BCE，∴AE⊥BE．（Ⅱ）在△ABE中，過點E作EH⊥AB于點H，∵AD⊥平面ABE，且AD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABE，∴EH⊥平面ACD．由已知及（Ⅰ）得EH=AB=，S△ADC=2．故VD﹣ABC=VE﹣ADC=×2×=．20．已知直線2x﹣2y﹣1=0與拋物線C：x2=2py（p＞0）相切．（1）求p的值；（2）過點M（0，1）作直線l與拋物線C交于A，B兩點，拋物線C在A，B兩點處的切線分別為l1，l2，直線l1，l2交于點P，求點P的軌跡方程．【考點】拋物線的簡單性質．【分析】（1）拋物線C：x2=2py的方程可可化為：y=x2，則y′=，根據(jù)切線斜率為1，求出切點坐標為（p，p﹣），代入拋物線方程可得p的值；（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），直線l的方程為y=kx+1，聯(lián)立拋物線方程可得x1+x2=2k，x1?x2=﹣2，求出兩條切線的方程，進而求出交點P的坐標，進而可得點P的軌跡方程．【解答】解：（1）拋物線C：x2=2py的方程可可化為：y=x2，則y′=，∵直線2x﹣2y﹣1=0與拋物線C：x2=2py（p＞0）相切，直線2x﹣2y﹣1=0的斜率為1，故切點坐標為（p，p﹣），代入拋物線C：x2=2py得：p2=2p2﹣p，解得：p=1；（2）顯然直線l的斜率存在，故可設直線l的方程為y=kx+1，由，得x2﹣2kx﹣2=0，設A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2=2k，x1?x2=﹣2．∵拋物線C的方程為y=x2，求導得y′=x，∴過拋物線C上A、B兩點的切線方程分別是y﹣x12=x1（x﹣x1），y﹣x22=x2（x﹣x2），即y=x1x﹣x12，y=x2x﹣x22，解得兩條切線l1、l2的交點P的坐標為（，x1x2），即P（k，﹣1），故點P的軌跡方程為直線p=﹣1．21．已知函數(shù)f（x）=（x2﹣2x）?lnx+ax2+2（Ⅰ）當a=﹣1時，求f（x）在（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）設函數(shù)g（x）=f（x）﹣x﹣2；（i）若函數(shù)g（x）有且僅有一個零點時，求a的值；（ii）在（i）的條件下，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值范圍．【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（Ⅰ）當a=﹣1時，求導數(shù)，可得切線斜率，求出切點坐標，即可求f（x）在（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）（i）令g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，可得a=，令h（x）=，證明h（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，可得h（x）max=h（1）=1，即可求a的值；（ii）若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，只需證明g（x）max≤m，即可求m的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）當a=﹣1時，f（x）=（x2﹣2x）?lnx﹣x2+2，定義域（0，+∞）∴f′（x）=（2x﹣2）?lnx+（x﹣2）﹣2x．∴f′（1）=﹣3，又f（1）=1，∴f（x）在（1，f（1））處的切線方程3x+y﹣4=0．（Ⅱ）（?。┝頶（x）=f（x）﹣x﹣2=0則（x2﹣2x）?lnx+ax2+2=x+2，即a=令h（x）=，則h′（x）=令t（x）=1﹣x﹣2lnx，則t′（x）=∵x＞0，∴t′（x）＜0，∴t（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，又∵t（1）=h′（1）=0，∴當0＜x＜1時，h′（x）＞0，當x＞1時，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，∴h（x）max=h（1）=1，∴當函數(shù)g（x）有且僅有一個零點時a=1，（ⅱ）當a=1時，g（x）=（x2﹣2x）?lnx+x2﹣x，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，只需證明g（x）max≤m，∴g′（x）=（x﹣1）（3+2lnx），令g′（x）=0得x=1或x=又∵e﹣2＜x＜e，∴函數(shù)g（x）在（e﹣2，）上單調遞增，在（，1）上單調遞減，在（1，e）上單調遞增又g（）=﹣e﹣3+2，g（e）=2e2﹣3e∵g（）=﹣e﹣3+2＜2＜2e＜2e（e﹣）=g（e），∴g（）＜g（e），∴m≥2e2﹣3e請考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，那么按所做的第一題記分.選修4-1：幾何證明選講22．已知AB為半圓O的直徑，AB=4，C為半圓上一點，過點C作半圓的切線CD，過點A作AD⊥CD于D，交半圓于點E，DE=1．（Ⅰ）求證：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的長．【考點】圓的切線的性質定理的證明；圓內接多邊形的性質與判定．【分析】（Ⅰ）連接OC，因為OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，再證明OC∥AD，即可證得AC平分∠BAD．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，從而BC=CE，利用ABCE四點共圓，可得∠B=∠CED，從而有，故可求BC的長．【解答】（Ⅰ）證明：連接OC，因