單自由度線性阻尼系統(tǒng)自由振動

鄺賢鋒

線性阻尼系統(tǒng)的自由振動①線性阻尼系統(tǒng)自由振動的微分方程

包裝系統(tǒng)內的阻尼c不能忽略，則得到有阻尼自由振動微分方程：其中

稱為粘性阻尼因子（或阻尼比）

C為阻尼系數(shù)，其單位為N·s/m

（2-1）PS:阻尼是什么？進行機械振動的教學一般都是從討論彈簧振子入手，引出最簡單的振動特例——簡諧振動，實際上，振子除了受到系統(tǒng)本身的彈力外，還會同時受到摩擦和空氣的阻力的影響，這樣振子的機械能逐漸減小，振幅也逐漸減小，我們把振幅隨時間逐漸減小的運動叫阻尼振動。那么阻尼和阻力是一回事嗎？其實，系統(tǒng)的能量的減小——阻尼振動不都是因“阻力”引起的，就機械振動而言，一種是因摩擦阻力生熱，使系統(tǒng)的機械能減小，轉化為內能，這種阻尼叫摩擦阻尼；另一種是系統(tǒng)引起周圍質點的震動，使系統(tǒng)的能量逐漸向四周輻射出去，變?yōu)椴ǖ哪芰浚@種阻尼叫輻射阻尼?？梢娮枘岷妥枇τ袇^(qū)別，前者的外延要比后者大。阻尼是指任何振動系統(tǒng)在振動中，由于外界作用或系統(tǒng)本身固有的原因引起的振動幅度逐漸下降的特性，以及此一特性的量化表征。

將（2-2）代入方程（2-1），得到代數(shù)方程：特征方程的根：

(2-3)

該系統(tǒng)的特征方程二階常系數(shù)線性齊次微分方程設它的解為：x=Aest

（2-2）？0、正數(shù)or負數(shù)時，其結果與無阻尼系統(tǒng)的解一致。

當根號里為0時，ζ=１這種情況下得到重根：s1=s2=-ζωn

因為產生重根的情況具有特殊意義，把相應的阻尼系數(shù)的值稱為臨界阻尼系數(shù)。Cc=2mωn

ζ＞１，稱為大阻尼；

ζ=１，稱為臨界阻尼；

ζ＜１，稱為小阻尼。

②大阻尼系統(tǒng)自由振動的運動規(guī)律特征方程有兩個不等的實根。

A和B取決于初始條件。在ζ＞1的條件下，物塊受初干擾離開平衡位置后又緩慢回到平衡位置，不可能振動。位移方程（運動規(guī)律）為：

ζ=1時,特征方程有兩個重根：原方程的解為：

表示一個按指數(shù)規(guī)律衰減的響應，A1和A2取決于初始條件。臨界阻尼系統(tǒng)的位移方程（臨界阻尼系統(tǒng)的運動規(guī)律）③臨界阻尼系統(tǒng)自由振動的運動規(guī)律

④小阻尼系統(tǒng)自由振動的運動規(guī)律

時,s1和s2是共軛復根。則小阻尼情況下系統(tǒng)的響應：ωd為有阻尼自由振動的頻率則響應簡化為：令

利用數(shù)學關系式并令A1+A2=Asinφ,i(A1-A2)=Acosφ則響應簡化為：

小阻尼單自由度系統(tǒng)自由振動的解（位移方程/運動規(guī)律）

？確定積分常數(shù)A，α

∵2、物塊的振動隨著時間的增加而逐漸衰減，不再是等幅振動，而是衰減振動∴振動特點：A.小阻尼系統(tǒng)的運動規(guī)律分析初始條件：

t=0時，1、物塊的位移限制在兩條曲線：之間的圖/運動規(guī)律3、振幅Aｅ-ζωnt按指數(shù)規(guī)律衰減

衰減振動雖然不是真正的周期性運動，但它仍具有等時性，因此物塊來回往復一次所經歷的時間仍然稱為周期，用T1表示，即上式表明，由于阻尼的作用，衰減振動的周期增大了。在小阻尼情況下，T1

略大于無阻尼自由振動周期T，但是，在ζ不是很大的情況下，周期的增加不太明顯，可以忽略不計。例如ζ=0.05時，周期僅增加0.125%；即使ζ=0.25，周期也只增加了3.28%。B.小阻尼系統(tǒng)的周期分析

阻尼對自由運動的影響主要表現(xiàn)在振幅。設相鄰兩次振動的振幅分別為Ai和Ai+1，則前后兩次的振幅比為

式中，d——減幅系數(shù)。由上式可得

因為，所以小阻尼自由振動的振幅按幾何級數(shù)的規(guī)律迅速衰減。振幅對數(shù)衰減率δ——用振幅比的自然對數(shù)表示，即

對數(shù)衰減率的主要用途是用實驗的方法確定系統(tǒng)的阻尼。由上式得到：黏性阻尼因子