工程流體力學放映第4章

理想流體動力學和平面勢流第四章理解速度勢函數、流函數，會建立簡單的勢函數和流函數方程；了解流網的概念；透徹理解流體元流伯努利方程，會用畢托管測流速。學習重點（1）流體動力學——研究流體運動且涉及力的規(guī)律及在工程中的應用。（2）遵循的規(guī)律牛頓第二定律（3）對于理想流體，因沒有粘性，故作用于流體的表面力只有壓應力，即動水壓強。p=p(x，y，z，t)§4—1理想流體運動微分方程

——歐拉運動微分方程一、理想流體歐拉運動微分方程適用于可壓縮、不可壓縮；恒定、非恒定；有旋、無旋流。dtduzpyzz=-ρ1dtduypfyy=-ρ1dtduxpfxx=-ρ1為區(qū)別恒定流與非恒定流，可將右項展開。1、分析：利用牛頓第二定律：F=mayxz

MpApBp2、方程討論：式中有8個未知量：ux

、uy、uz

、p、ρ、fx、fy、fz

。通常fx、fy

、fz、ρ可據已知條件分析得知，但仍有4個未知量，故一般需再聯立連續(xù)性微分方程。（1）若為不可壓縮流體，則ρ為常數，有p、ux、uy、uz

四個變量，可用方程組歐拉運動方程（3個）連續(xù)性微分方程（1個）求得解。（2）若為可壓縮流體，則有ρ、p、ux、uy、uz

五個變量，可在上述方程組上，再聯立能量方程

或氣體狀態(tài)方程。見5—1式（3）若為粘性流體，還應考慮切應力，可利用

N—S

方程。二、蘭姆（葛羅米柯）運動微分方程在歐拉運動微分方程中，為了區(qū)分有旋流與無旋流，可將原方程變換成包含角轉速的形式。即上式所示蘭姆微分方程。三、伯努利方程（理想流體運動微分方程的伯努利積分）1、積分條件：（1）流動為恒定流故：有：（2）流體不可壓縮、均質ρ=c（常數）從而有：（3）作用于流體上的質量力是有勢的力，有勢函數為：

W(x,y,z)，對于恒定、有勢質量力，有：（5）行列式dx

dy

dz

ωxωyωzux

uy

uz=0（4）沿流線積分：ux=dxdtuy=dydtuz=dzdt2、伯努利方程：將蘭姆微分方程分別乘以dx，dy，dz

再相加，然后利用上述五個條件整理即可得方程：3、只受重力作用的伯諾利方程：不可壓縮、均質、理想流體恒定流運動方程（固體邊界相對地球無運動）?！?—2理想流體元流伯努利方程一、方程1、推導依據動能定理2、元流伯諾利方程外力做功=機械能的增加B’B’A’A’AABBZ1Z2213、分析列式：B’B’A’A’AABBZ1Z221假設：A—A斷面:速度：u1

壓強：

p1面積：A1B—B斷面:速度：

u2

壓強：

p2面積：A2整理即得二、方程中各項的意義1、物理意義——單位重量流體所具有的位能Z——單位重量流體所具有的壓能——單位重量流體所具有的動能單位重量流體所具有的勢能.單位重量流體所具有的機械能.注：對于理想流體，元流各過流斷面上的總機械能不變，不同過流斷面上，流體的位能、壓能、動能可相互轉換。2、幾何意義單位重量流體所具有的測壓管水頭單位重量流體所具有的總水頭

Z——單位重量流體所具有的位置水頭——單位重量流體所具有的壓強水頭——單位重量流體所具有的速度水頭注：對于理想流體，元流各過流斷面上的總水頭保持不變；測壓管水頭可升、可降、可不變。三、畢托管AhuA圖：AhuA原理：利用理想元流伯努利方程。測量點流速的儀器gAsppgcu-=2ggsAApgup=+22公式：

§4—3恒定平面勢流1>緊靠固體邊壁的粘性起主要作用的區(qū)間；2>不受固體邊壁阻力影響、粘性不起作用的區(qū)間。解決實際流體運動（特別是繞流運動）的方法之一就是將流場劃分為兩個區(qū)間，即：——粘性流體邊界層理論——勢流理論本節(jié)著重討論恒定平面勢流。一、速度勢1、速度勢的定義：如果流體的運動為無旋流，則有：此關系式是使：（ux

dx+uy

dy+uz

dz）成為某一函數φ（x，y，z)的全微分的充分且必要條件，故必有一函數φ（x，y，z），此函數即稱為速度勢或速度勢函數。所以無旋流也稱為有勢流。由此可知，必有：uxx=φuyy=φuzz=φ有勢流，只要確定了速度勢φ，即可確定出ux、uy、uz

的值，而不必求出ux

、uy、uz

的三個函數表達式，從而簡化有勢流分析過程。2、速度勢的性質：umxy即：（1）速度勢對任意方向的偏導數等于速度在該方向上的分量。m

代表任意方向等勢面微分方程：（2）等勢面——速度勢值相等的點連成的面稱等勢面。等勢面與流線正交與過流斷面重合。

dL

為等勢面上任意方向的微量矢徑，因為兩個矢量的標量積為零，所以等勢面與流線正交。等勢線u

等勢面（過流斷面）流線

等勢線圖示——對于平面勢流，等勢面與平行平面的交線就是等勢線，與流線正交。（3）速度勢值的大小沿流線方向增加。φ1φ2uφ1<φ2ds——沿流線方向的位移。dφ=uds若知道流動方向，即可確定速度勢的增值方向。（4）速度勢滿足拉普拉斯方程，是調和函數。▽2——拉普拉斯算子拉普拉斯方程（即連續(xù)性方程：將φ與u的關系式代入連續(xù)性微分方程得到）：滿足上式的函數在數學上稱作調和函數。平面勢流問題最終歸結為求解拉普拉斯方程的解。3、求解拉普拉斯方程的方法：（1）解析法（如勢流疊加、復變函數、保角變換）；（2）圖解法（如流網法）；（3）實驗法（如水電比擬法）；（4）數值計算法。二、流函數——是研究流體平面運動的一個很重要的概念，是為了用流網求解平面勢流所引入的一個概念。1、流函數（不可壓縮、均質、平面運動的流體）（1）流體平面運動的流線方程（不一定有勢）：定義：12（2）不可壓縮均質平面運動流體連續(xù)性方程：注：（2）式是使（1）式{uxdy-uydx

}成為某一個函數ψ

全微分的充分且必要條件。即只要流動滿足方程（2），則必存在流函數。流函數ψ（x，y）的全微分：積分上式，即：ψ（x，y）=∫（u

xdy-u

ydx）不管是有旋、無旋；理想、實際流體，對不可壓縮、連續(xù)流體的平面勢流必存在流函數ψ（x，y），在研究平面流動時，若已知ψ，即可求得ux，uy

。從而簡化分析過程。所以有：ψ（x，y）流函數。流函數定義即：（1）流函數ψ對任意方向m的偏導數，等于速度

u

在該方向順時針旋轉900后的

mˊ方向的速度分量yxmmˊ2、流函數的性質：（2）等流函數線dψ=0=u

xdy-u

ydx=02>等流函數線就是流線。1>同一流線上各點的流函數值相等。令：dψ=0←一個常數對應一條流線?！闪骱瘮迪嗟鹊狞c連成的曲線。性質：（3）流函數值沿流線

s

方向逆時針旋轉900后的n

方向增加。S1S2

unxψ2ψ1y即：ψ2>ψ1（4）任意兩條流線的流函數值之差(ψ2-ψ1)，等于該兩條流線間所通過的單寬流量q。即：q=ψ2－ψ1證明：dnuuxuy因是平面流動，可取Z方向為1，在流線間任取一微小面積1×dn，流速為u，則有：dq=u×（1×dn）=u×dn∴dq=u×dn

=ux×dn×cos(n,y)+uy×dn×sin(n,y)=ux

dy－uy

dx=dψ

∴q=ψ2－ψ1

或：dq=u×dn=dψ（5）ψ是調和函數，滿足拉普拉斯方程。即：即存在流函數。（流體連續(xù)）1>只要即存在速度勢函數。（無旋流）

2>只要3、注：三、流函數與速度勢的關系1、流函數與速度勢為共軛函數。2、等流函數線與等勢線互相垂直。四、流網ψ2-ψ1φ1φ2dnds——由等勢線和等流函數線構成的正交的網格，即流網。性質：（1）等勢線與等流函數線正交，即流線與等勢線正交；即：dndφdψ=ds（2）流網中每一網格的邊長之比，等于dsdnφ與ψ的增值之比：dφdψ若：dφ=dψ，

則為正方形網格*恒定平面