彈性力學第二章xs(共52張PPT)

第二章平面問題的基本理論要點—建立平面問題的基本方程包括：平衡微分方程；幾何方程；物理方程；變形協(xié)調(diào)方程；邊界條件的描述；方程的求解方法等。第1頁，共52頁。t一.平面應力問題與平面應變問題（Problemsofplanestressandplanestrain）1.平面應力問題(1)幾何特征xyyzba一個方向的尺寸比另兩個方向的尺寸小得多。——平板如：板式吊鉤，旋轉(zhuǎn)圓盤，工字形梁的腹板等(2)受力特征外力（體力、面力）和約束，僅平行于板面作用，沿z

方向不變化。第2頁，共52頁。xyyztba(3)簡化的應力特征如圖選取坐標系，以板的中面為xy平面，垂直于中面的任一直線為z軸。由于板面上不受力，有:因板很薄，且外力沿z軸方向不變。可認為整個薄板的各點都有：由剪應力互等定理，有:第3頁，共52頁。結(jié)論：(a)平面應力問題只有三個應力分量：(b)應變分量、位移分量也僅為x、y的函數(shù)，與z無關(guān)。xy(c)第4頁，共52頁。2.平面應變問題(1)幾何特征水壩滾柱厚壁圓筒

一個方向的尺寸比另兩個方向的尺寸大得多，且沿長度方向幾何形狀和尺寸不變化。

——近似認為無限長。(2)外力特征

外力（體力、面力）平行于橫截面作用，且沿長度z方向不變化。

約束——沿長度z方向不變化。(3)簡化的變形特征如圖建立坐標系：以任一橫截面為xy面，任一縱線為z軸。設(shè)z方向為無限長，則沿z方向都不變化，僅為x，y的函數(shù)。任一橫截面均可視為對稱面第5頁，共52頁。水壩因為任一橫截面均可視為對稱面，則有——平面應變問題(c)可近似為平面應變問題的例子：煤礦巷道的變形與破壞分析；擋土墻；重力壩等。結(jié)論：(a)(b)第6頁，共52頁。如圖所示三種情形，是否都屬平面問題？是平面應力問題還是平面應變問題？平面應力問題平面應變問題非平面問題第7頁，共52頁。兩類平面問題：平面應力問題平面應變問題幾何特征受力特征應力特征幾何特征;受力特征;應變特征。外力、應力、形變、位移。基本假定：（1）連續(xù)性假定；（2）線彈性假定；（3）均勻性假定；（4）各向同性假定；（5）小變形假定。（注意：剪應力正負號規(guī)定）（掌握這些假定的作用）基本概念：第8頁，共52頁。xyODXYPBACt=1.AC：BC:二.平面問題的平衡微分方程(Equilibriumequations)

第9頁，共52頁。PBACxyODXYDividedtheequationby

dxdy：Dividedtheequationby

dxdy：第10頁，共52頁。PBACxyODXYwhen第11頁，共52頁。直角坐標下的應力平衡微分方程物理意義：表示變形體內(nèi)無限相鄰兩質(zhì)點的點的應力狀態(tài)的關(guān)系。對彈性變形和塑性變形均適用。說明：（1）兩個平衡微分方程，三個未知量：——超靜定問題，需找補充方程才能求解。（2）對于平面應變問題，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程兩類平面問題均適用；（3）平衡方程中不含E、μ，方程與材料性質(zhì)無關(guān)（鋼、石料、混凝土等）；（4）平衡方程對整個彈性體內(nèi)都滿足。第12頁，共52頁。xyOPAdxBdyuvundeformeddeformedAB注：這里略去了二階以上高階無窮小量。建立：平面問題中應變與位移的關(guān)系一點的變形線段的伸長或縮短；線段間的相對轉(zhuǎn)動；考察P點鄰域內(nèi)線段的變形：PuvPuv三.幾何方程(Thegeometricalequations)第13頁，共52頁。PxyOAdxBdyuvNormalstrainofPA:NormalstrainofPB:ShearstrainofpointP：P點兩直角線段夾角的變化:第14頁，共52頁?！獛缀畏匠蘐hegeometricalequations

第15頁，共52頁。建立：平面問題中應力與應變的關(guān)系物理方程也稱：本構(gòu)方程、本構(gòu)關(guān)系、物性方程。在完全彈性和各向同性的情況下，物性方程即為材料力學中的廣義虎克（Hooke）定律。其中：E為拉壓彈性模量；G為剪切彈性模量；μ為側(cè)向收縮系數(shù)，又稱泊松比。四.物理方程第16頁，共52頁。1.平面應力問題的物理方程由于平面應力問題中——平面應力問題的物理方程注：(1)(2)——物理方程的另一形式第17頁，共52頁。其中：E為拉壓彈性模量；平面應變問題的物理方程（注意：剪應力正負號規(guī)定）由幾何方程的第三式得：將右邊式代入常體力下的相容方程：式(a)的齊次方程：相同（3）按位移求解平面問題的基本方程常體力下，方程中不含E、μ將式(a)代入平衡方程，化簡有常體力下平面問題的相容方程位移分量已知的邊界——位移邊界以部分位移分量和部分應力分量為基本未知函數(shù)，將，并求出這些未知量，再求出其余未知量。2.平面應變問題的物理方程由于平面應變問題中——平面應變問題的物理方程注：由式虎克定律第三式，得平面應變問題中，但第18頁，共52頁。3.兩類平面問題物理方程的轉(zhuǎn)換

——平面應變問題的物理方程——平面應力問題的物理方程(1)平面應力問題平面應變問題材料常數(shù)的轉(zhuǎn)換為：(2)平面應變問題平面應力問題材料常數(shù)的轉(zhuǎn)換為：第19頁，共52頁。平面問題的求解問題：已知：外力（體力、面力）、邊界條件，求：——僅為xy的函數(shù)需建立三個方面的關(guān)系：（1）靜力學關(guān)系：（2）幾何學關(guān)系：（3）物理學關(guān)系：應變與應力間的關(guān)系。應力與體力、面力間的關(guān)系；應變與位移間的關(guān)系；建立邊界條件：——平衡微分方程——幾何方程——物理方程（1）應力邊界條件；（2）位移邊界條件；第20頁，共52頁。五.邊界條件（Boundaryconditions）1.彈性力學平面問題的基本方程（1）平衡方程：（2）幾何方程：（3）物理方程：未知量數(shù)：8個方程數(shù)：8個結(jié)論：在適當?shù)倪吔鐥l件下，上述8個方程可解。第21頁，共52頁。2.邊界條件及其分類邊界條件：建立邊界上的物理量與內(nèi)部物理量間的關(guān)系。xyOqP是力學計算模型建立的重要環(huán)節(jié)。邊界分類（1）位移邊界（2）應力邊界（3）混合邊界——三類邊界（1）位移邊界條件位移分量已知的邊界——位移邊界用us

、

vs表示邊界上的位移分量，表示邊界上位移分量的已知函數(shù)，則位移邊界條件可表達為：——

平面問題的位移邊界條件說明：稱為固定位移邊界。第22頁，共52頁。xyOqP（2）應力邊界條件給定面力分量邊界——應力邊界xyOdxdydsPABXNYNN由式中?。旱玫剑菏街校簂、m為邊界外法線關(guān)于x、y軸的方向余弦。如：——

平面問題的應力邊界條件垂直x軸的邊界：垂直y軸的邊界：在物體的邊界上取直角三角形的微元體PAB，其斜面AB與物體邊界面重合。N為其法線。得第23頁，共52頁。（3）混合邊界條件(1)物體上的一部分邊界為位移邊界，另一部為應力邊界。(2)物體的同一部分邊界上，其中一個為位移邊界條件，另一為應力邊界條件。如：圖(a)：——位移邊界條件——應力邊界條件圖(b)：——位移邊界條件——應力邊界條件第24頁，共52頁。例1如圖所示，試寫出其邊界條件。xyahhq(1)(2)(3)第25頁，共52頁。平面問題的基本方程1.平衡微分方程2.幾何方程3.物理方程（平面應力問題）4.邊界條件位移：應力：第26頁，共52頁。問題的提出：求解彈性力學問題時，使應力分量、形變分量、位移分量完全滿足8個基本方程相對容易，但要使邊界條件完全滿足，往往很困難。PPP如圖所示，其力的作用點處的應力邊界條件無法列寫。1).靜力等效的概念兩個力系，若它們的主矢量、對于同一點的主矩相等，則兩個力系為靜力等效力系。

這種等效只是從平衡的觀點而言的，對剛體來而言完全正確，但對變形體而言一般是不等效的。3.圣維南原理(Saint-VenantPrinciple)第27頁，共52頁。2).圣維南原理(Saint-VenantPrinciple)原理：若把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力，則近處的應力分布將有顯著改變，而遠處所受的影響可忽略不計。PPP/2P/2P次要邊界只能在次要邊界上用圣維南原理，在主要邊界上不能使用。注意事項：必須滿足靜力等效條件(1)(2)第28頁，共52頁。

圖a是一端固支、一端受集中力作用的桿件，其厚度為1mm，容易計算出桿內(nèi)的應力為100MPa。

圖b是該桿件的應力分布圖，不同的顏色代表不同的應力值。由于上部固定端和下部加力端的影響，明顯看出從上部固定端向下大約20mm區(qū)域內(nèi)應力并不是均勻分布，在桿的下端，從集中力作用處向上大約25mm的區(qū)域內(nèi)應力也不是均勻分布的。圖b中，只有桿中間部分橫截面上的應力才是均勻分布的，且其大小為100MPa。圣維南原理說，力作用于桿端的分布方式，只影響桿端局部范圍的應力分布，影響區(qū)的軸向范圍約離桿端1-3個桿的最大橫向尺寸。

第29頁，共52頁。六.按位移求解平面問題1.彈性力學平面問題的基本方程（1）平衡方程：（2）幾何方程：（3）物理方程：（4）邊界條件：（1）（2）第30頁，共52頁。2.彈性力學問題的求解方法（1）按位移求解（位移法、剛度法）以u、v

為基本未知函數(shù)，將平衡方程和邊界條件都用u、v

表示，并求出u、v，再由幾何方程、物理方程求出應力與應變分量。（2）按應力求解（力法，柔度法）以應力分量

為基本未知函數(shù)，將所有方程都用應力分量表示，并求出應力分量，再由幾何方程、物理方程求出應變分量與位移。（3）混合求解以部分位移分量

和部分應力分量

為基本未知函數(shù)，將，并求出這些未知量，再求出其余未知量。第31頁，共52頁。3.按位移求解平面問題的基本方程（1）將平衡方程用位移表示由應變表示的物理方程將幾何方程代入，有（a）將式(a)代入平衡方程，化簡有第32頁，共52頁。（2）將邊界條件用位移表示位移邊界條件：應力邊界條件：（a）將式（a）代入，得說明：（1）對平面應變問題，只需將式中的E、μ作相替換即可。（2）一般不用于解析求解，作為數(shù)值求解的基本方程。第33頁，共52頁。（3）按位移求解平面問題的基本方程（1）平衡方程：（2）邊界條件：位移邊界條件：應力邊界條件：第34頁，共52頁。七.按應力求解平面問題相容方程1.變形協(xié)調(diào)方程（相容方程）按應力求解平面問題的未知函數(shù)：平衡微分方程：2個方程方程，3個未知量，為超靜定問題。需尋求補充方程，從應變、應變與應力的關(guān)系建立補充方程。將幾何方程：作如下運算：第35頁，共52頁。顯然有：——形變協(xié)調(diào)方程（或相容方程）即：必須滿足上式才能保證位移分量u、v的存在與協(xié)調(diào)，才能求得這些位移分量。例：其中：C為常數(shù)。由幾何方程得：積分得：由幾何方程的第三式得：顯然，此方程是不可能的，因而不可能求出滿足幾何方程的解。第36頁，共52頁。2.變形協(xié)調(diào)方程的應力表示（1）平面應力情形將物理方程代入相容方程，得：利用平衡方程將上述化簡：（a）將上述兩邊相加：（b）第37頁，共52頁。將(b)代入(a)，得：將上式整理得：應力表示的相容方程（2）平面應變情形將上式中的泊松比μ代為：，得（平面應力情形）應力表示的相容方程（平面應變情形）注意：當體力X、Y為常數(shù)時，兩種平面問題的相容方程相同，即第38頁，共52頁。3.按應力求解平面問題的基本方程（1）平衡方程（2）相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）（3）邊界條件：（平面應力情形）說明：（1）對位移邊界問題，不易按應力求解。（2）對應力邊界問題，且為單連通問題，滿足上述方程的解是唯一正確解。（3）對多連通問題，滿足上述方程外，還需滿足位移單值條件，才是唯一正確解。第39頁，共52頁。八.常體力情況下的簡化應力函數(shù)1.常體力下平面問題的相容方程令：——拉普拉斯（Laplace）算子則相容方程可表示為：——平面應力情形——平面應變情形當體力X、Y為常數(shù)時，兩種平面問題的相容方程相同，即或第40頁，共52頁。2.常體力下平面問題的基本方程（1）平衡方程（2）相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）（3）邊界條件（4）位移單值條件——對多連通問題而言。討論：（1）——Laplace方程，或稱調(diào)和方程。（2）常體力下，方程中不含E、μ（a）兩種平面問題，計算結(jié)果相同）不同。（但（b）不同材料，具有相同外力和邊界條件時，其計算結(jié)果相同。——光彈性實驗原理。（3）用平面應力試驗模型，代替平面應變試驗模型，為實驗應力分析提供理論基礎(chǔ)。滿足：的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)（解析函數(shù)）。第41頁，共52頁。常體力下問題的基本方程：邊界條件、位移單值條件。(a)(b)式(a)為非齊次方程，其解：全解=齊次方程通解3.平衡微分方程解的形式(1)特解常體力下特解形式：+非齊次方程的特解。(1)(2)(3)(2)通解式(a)的齊次方程：(c)(d)的通解。第42頁，共52頁。將式(d)第一式改寫為由微分方程理論，必存在一函數(shù)A(x,y)，使得(e)(f)同理，將式(d)第二式改寫為(g)(h)比較式(f)與(h)，有也必存在一函數(shù)B(x,y)，使得(2)通解式(a)的齊次方程：(d)的通解。由微分方程理論，必存在一函數(shù)φ(x,y)，使得第43頁，共52頁。(i)(j)將式(i)、(j)代入(e)、(f)、(g)、(h)，得通解：(k)第44頁，共52頁。試寫出水壩的應力邊界條件。這種等效只是從平衡的觀點而言的，對剛體來而言完全正確，但對變形體而言一般是不等效的。平面問題的平衡微分方程(Equilibriumequations)——超靜定問題，需找補充方程才能求解。由式虎克定律第三式，得——平面應變問題的物理方程常體力下平面問題的相容方程用平面應力試驗模型，代替平面應變試驗模型，為實驗應力分析提供理論基礎(chǔ)。僅為x，y的函數(shù)。（1）按位移求解（位移法、剛度法）其中：E為拉壓彈性模量；外力（體力、面力）平行于橫截面作用，且沿長度z方向不變化。在完全彈性和各向同性的情況下，物性方程即為材料力學中的廣義虎克（Hooke）定律?！矫鎽栴}的物理方程（1）按位移求解（位移法、剛度法）(2)通解式(a)的齊次方程：(d)的通解：(k)——對應于平衡微分方程的齊次方程通解。(3)全解取特解為：則其全解為：——常體力下平衡方程（a）的全解。由上式看：不管φ(x,y)是什么函數(shù)，都能滿足平衡方程。φ(x,y)——平面問題的應力函數(shù)——Airy應力函數(shù)第45頁，共52頁。4.相容方程的應力