數(shù)列易考點考向知識點總結(jié)分析,數(shù)列高考真題及答案解析

考點20數(shù)列的概念與簡單表示法

（1）了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式）.

（2）了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).

知識整合,

______________/

一、數(shù)列的相關(guān)概念

1.數(shù)列的定義

按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.

數(shù)列中的每一項都和它的序號有關(guān)，排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第1項，通常也叫做首

項，排在第二位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第2項……排在第n位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第n項.所

以，數(shù)列的一般形式可以寫成4嗎，為心，a“,L,簡記為｛4｝.

2.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

數(shù)列可以看成定義域為正整數(shù)集N*（或它的有限子集）的函數(shù)q=/（/?）,當自

變量按照由小到大的順序依次取值時，所對應的一列函數(shù)值.

由于數(shù)列是特殊的函數(shù),因此可以用研究函數(shù)的思想方法來研究數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，如單調(diào)性、

最大值、最小值等，此時要注意數(shù)列的定義域為正整數(shù)集（或其有限子集｛1,2,…這

一條件.

3.數(shù)列的分類

分類標

名稱含義

準

有窮數(shù)

項數(shù)有限的數(shù)列，如數(shù)列1,2,3,4,5,7,8,9,10

按項的列

個數(shù)無窮數(shù)

項數(shù)無限的數(shù)列,如數(shù)列1,2,3,4,-

列

遞增數(shù)

從第2項起，每一項都大于它的前一項，如數(shù)列1,3,5,7,9,…

列

按項的遞減數(shù)從第2項起，每一項都小于它的前一項，如數(shù)列10,9,8,7,6,

變化趨列5,…

勢常數(shù)列各項都相等的數(shù)列,如數(shù)列2,2,2,2,…

擺動數(shù)從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項，如

列1,2,1,2

有界數(shù)

任一項的絕對值都小于某一正數(shù)，如一1,1,—1,1,—1,1,…

按項的列

有界性無界數(shù)

不存在某一正數(shù)能使任一項的絕對值小于它，如2,4,6,8,10,…

列

二、數(shù)列的表示方法

(1)列舉法：將數(shù)列中的每一項按照項的序號逐一寫出，一般用于“雜亂無章”且項數(shù)較

少的情況.

(2)解析法：主要有兩種表示方法，

①通項公式：如果數(shù)列｛4｝的第〃項與序號〃之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那

么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式，即an=/(〃).

②遞推公式：如果已知數(shù)列｛4｝的第一項(或前幾項)，且任一項仆與它的前一項。,一

(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.

(3)圖象法：數(shù)列是特殊的函數(shù)，可以用圖象直觀地表示.數(shù)列用圖象表示時，可以以序

號為橫坐標，相應的項為縱坐標描點畫圖.由此可知，數(shù)列的圖象是無限個或有限個孤

立的點.

三、數(shù)列的前〃項和與通項的關(guān)系

數(shù)列的前〃項和通常用S”表示，記作S.=q+%+…+為，則通項

若當〃之2時求出的?！耙策m合”=1時的情形，則用一個式子表示否則分段表示.

考向一已知數(shù)列的前幾項求通項公式

1.常用方法：觀察（觀察規(guī)律）、比較（比較已知數(shù)列）、歸納、轉(zhuǎn)化（轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列）、聯(lián)想（聯(lián)

想常見的數(shù)列）等方法.

具體策略：

①分式中分子、分母的特征；

②相鄰項的變化特征；

③拆項后的特征；

④各項的符號特征和絕對值特征；

⑤化異為同.對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破，或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系；

⑥對于符號交替出現(xiàn)的情況，可用（一1）左或（一1）氏+1,&6汗處理.

根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式是不完全歸納法，它蘊含著“從特殊到一般”的思

想.

2.常見的數(shù)列的通項公式：

（1）數(shù)列1,2,3,4,…的通項公式為q=〃；

（2）數(shù)列2,4,6,8,…的通項公式為%=2〃；

（3）數(shù)列1,4,9,16,…的通項公式為=〃2；

（4）數(shù)列1,2,4,8,…的通項公式為%=2"；

（5）數(shù)列1,1，…的通項公式為4=工；

234n

11111

（6）數(shù)列一，一，一，一，…的通項公式為4=—;^----.

261220〃（〃+1）

3.根據(jù)圖形特征求數(shù)列的通項公式，首先要觀察圖形，尋找相鄰的兩個圖形之間的變化，

其次要把這些變化同圖形的序號聯(lián)系起來，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，最后歸納猜想出通項公式.

典例引領(lǐng)

典例1根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出下面數(shù)列的一個通項公式.

(1)—1,7,—13,19,,???

(2)8,98,998,9998,…;

115132961

(z3)----------------------

248163264

(4)1,6,12,20,...；

⑸0.8,0.88,0.888,???

【解析】(1)符號問題可通過(-1)”或(-1)”"表示，其各項的絕對值的排列規(guī)律為：后面

的數(shù)的絕對值總比前面數(shù)的絕對值大6,故通項公式為4=(-1)"(6〃-5).

(2)各項分別加上2,即得數(shù)列:10,100,1000,10000,…，

故數(shù)列的一個通項公式為a?=\0"-2.

(3)各項的分母依次為2,22,23,23…，

容易看出第2,3,4項的分子比相應分母小3,

再由各項的符號規(guī)律，把第1項變形為-二L既符合符號變化的規(guī)律，也滿足了分子與分

2

母之間的關(guān)系，

故數(shù)列的一個通項公式為%=(-l)”x工三

(4)容易看出第2,3,4項滿足規(guī)律:項的序號x(項的序號+1).

而第1項卻不滿足，因此考慮分段表示，

1,n=1

即數(shù)列的一個通項公式為4=<Z八

QQQ

(5)數(shù)列變形為§(1一0.1),§(1—0.01),,(1—0.001),?一，

所以

典例2如圖，圖①、圖②、圖③、圖④分別包含1、5、13和25個互不重疊的單位正方形,

按同樣的方式構(gòu)造圖形，則第〃個圖包含的單位正方形的個數(shù)是

口O

圖①圖②圖③|圖④

A.n2-2n+lB.2n2+2

C.2n2-2H+1D.2n2-n+1

【答案】C

【解析】設(shè)第〃個圖包含％個互不重疊的單位正方形，

?.?圖①、圖②、圖③、圖④分別包括1,5,13和25個互不重疊的單位正方形,

4=1,a-,=5=14-4=1+4x1,a3=13=14-4+8=1+4x(1+2),

%=25=1+4+8+12=1+4x(1+2+3),由此類推可得：

4=1+4[1+2+3+…+(〃-l)]=l+4x妁y=2"2-2〃+1.

經(jīng)檢驗滿足條件.故選C.

【名師點睛】本題解題的關(guān)鍵是研究相鄰兩項的關(guān)系得出遞推公式，再由累加法法得出第〃

項的表達式，利用等差數(shù)列的求和公式即可得出答案，屬于中檔題.根據(jù)圖①、圖②、圖③、

圖④分別包括1,5,13,和25個互不重疊的單位正方形，尋找規(guī)律，可得第"個圖包含

1+4[1+2+3+...+(//-1)]個互不重疊的單位正方形，求和即可得到答案.

變式拓展

1.數(shù)列1,2,1,2,…的通項公式不可能為

+1

-3+(-口3+(-1)"

A.4B.an

22

c.2〃+1

3+cos九兀3+sm----71

C.V一^~D.2

4,

2

考向二利用?！芭cS”的關(guān)系求通項公式

已知S“求可的一般步驟：

(1)先利用q=S|求出a,；

(2)用〃一1替換S“中的n得到一個新的關(guān)系，利用??=S“—S,i，〃N2便可求出當〃>2

時明的表達式；

(3)對〃=1時的結(jié)果進行檢驗，看是否符合“22時%的表達式，如果符合，則可以把數(shù)

列的通項公式合寫；如果不符合，則應該分〃=1與〃之2兩段來寫.

S],〃=1

利用%=《二。C求通項公式時，務(wù)必要注意〃22這一限制條件，所以在求出結(jié)

果后，要看看這兩種情況能否整合在一起.

典例引領(lǐng)

n

典例3在數(shù)列｛&J中，的=5,a2=4,數(shù)列｛即｝的前律項和%=A-2+B（A,B為常數(shù)）.

（1）求實數(shù)4B的值；

（2）求數(shù)列｛an｝的通項公式.

【解析】（1）由題意得Si=2A+B=的=5,$2=44+B=%+a2=9,

解方程組｛方二鼠得仁二]

：.A=2,B=1.

n

（2）由（1）得Sn=2+1+1.

nnn

當nN2時，an=Sn-Sn_i=2+i—2=2,

又當九=1時，%=Si=5不滿足上式，

/、/\+1）

典例4已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且滿足q=1,+）

nGN*.

（1）求生的值；

（2）求數(shù)列｛為｝的通項公式.

【解析】（1）=1,nSn+l+1）S?=J.,52,2S,=-^=1.

S2=1+2S[=1+2q—3,I.%=S2—q=2.

⑵由〃s,用一〃+1S,=—4」，得3r口?=；.

2n+1n2

數(shù)列4是首項為'=1,公差為』的等差數(shù)列.

i?j12

S1z\1/\

n2V72V7"2

當〃22時，a“=S“_S,i=-^^一汽人

而。］=1適合上式,

an-n.

變式拓展

2.已知數(shù)列｛4｝的各項都是正數(shù)，其前〃項和S,滿足2S,=?！?J,〃GN*，則數(shù)列｛4｝

的通項公式為.

考向三由遞推關(guān)系式求通項公式

遞推公式和通項公式是數(shù)列的兩種表示方法，它們都可以確定數(shù)列中的任意一項.高考對遞

推公式的考查難度適中，一般是通過變換轉(zhuǎn)化成特殊的數(shù)列求解.

已知數(shù)列的遞推公式求通項公式的常見類型及解法如下：

(1)用=4+/(〃)：常用累力口法，即利用恒等式

a”=%+(。2-。1)+(。3-々)"1---Ha”一《I)求通項公式.

(2)a?+1=/(?)-??：常用累乘法，即利用恒等式%=%?歪求通項公式.

“2an-\

(3)冊+i=P4+q(其中，夕為常數(shù)，〃工0,1)：先用待定系數(shù)法把原遞推公式轉(zhuǎn)化為

a”+「k=pa_k),其中k=J一,進而轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列進行求解.

1-P

(4)%=pa“+q"：兩邊同時除以/㈤，然后可轉(zhuǎn)化為類型3,利用待定系數(shù)法進行求

解；兩邊同時除以“用，然后可轉(zhuǎn)化為類型1,利用累加法進行求解.

(5)an+l=pan+qn+t-把原遞推公式轉(zhuǎn)化為。,用一刈-y=p(a“-x〃-y),解法同類

型3.

(6)%=pa：：把原遞推公式兩邊同時取對數(shù)，然后可轉(zhuǎn)化為類型3,利用待定系數(shù)法

進行求解.

（7）用=一叫一：把原遞推公式兩邊同時取倒數(shù)，然后可轉(zhuǎn)化為類型3,利用待定系數(shù)

qa,+r

法進行求解.

（8）a,川+%=/（〃）：易得4+2-4=/（/+1）一/（〃），然后分〃為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況

分類討論即可.

（9）4出?可=/5）：易得」,然后分〃為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況分類討論即

可.

典例引領(lǐng)

典例5已知數(shù)列｛〃〃｝中，4/1=1,〃〃=〃（如+1-%）（〃￡N）.求數(shù)列｛〃〃｝的通項公式.

【解析】方法一（累乘法）

%n+1

:〃〃=〃（?！?］一斯）,即=

n

%_2%_3%_4

（論2）.

q1'%2'/3

an234n

以上各式兩邊分別相乘，得…XQ

又。1=1,an=n（n>2）.

V?i=l也適合上式，，〃，尸兒

方法二（迭代法）

anna2_2%_3￡4.=4

由一=—7知,

4T工一3a33

a377即12—3-4n-1-n

則a=a\^—x-x—x…x-----x------=1x-x-x-x…x—x——n.

n。2。321123n—271—1

典例6在數(shù)列｛a,,｝中，4=1,a.=[1+：>“+（〃+1>2".

（1）設(shè)么=?,求數(shù)列｛〃｝的通項公式；

（2）求數(shù)列｛%｝的前〃項和S”.

【解析】(1)由已知有4叱="+2",...a+i=2+2",

H+1n

??修一%=21〃22),

1'*乩=(2-2.1)+("-I—2-2)+…+(4一力2)+02—4)+4

,,|,,22

=2-+2-+---+2+2+1

I一■?”

=^-=2"-l(n>2],

1-2、'

又當〃=1時，4=4=1,滿足上式.

bn=2"-1(〃eN").

(2)由(1)知"?2"一〃，

S?=(l-2+2-22+3-23+---+/?-2rt)-(l+2+3+---+/2),

而1+2+3++〃=+,

令7；=1?2+2?22+3"+…+小2”①,

234,,+1

A2Tn=l-2+2-2+3-2+---+n-2②,

①-②得

-7；,=2+22+23+---+2,,-/1-2"+|

2(1-2")

----------AZ-

1-2

=-2+(l-n)-2n+,.

.\7；,=2+(/i-l)-2,,+l.

.?.S“=2+(〃—

變式拓展

O174-1

3.在數(shù)列｛a“｝中，4=1,。2=§，%+i1+—1%+—,4為常數(shù)，〃eN.

n2"

(1)求；I的值:

(2)設(shè)2=?，求數(shù)列｛4｝的通項公式.

考向四數(shù)列的性質(zhì)

數(shù)列可以看作是一類特殊的函數(shù)，所以數(shù)列具備函數(shù)應有的性質(zhì)，在高考中?？疾閿?shù)列

的單調(diào)性、周期性等.

1.數(shù)列的周期性

先根據(jù)己知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.

2.數(shù)列的單調(diào)性

(1)數(shù)列單調(diào)性的判斷方法：

①作差法：區(qū)用一4>00數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列；

用一4,<0。數(shù)列｛%｝是遞減數(shù)列；

一4=°=數(shù)列｛??)是常數(shù)列?

dI

②作商法：當4>0時,,>1<=>數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列；

雪<1o數(shù)列｛a?｝是遞減數(shù)列；

乎=1=數(shù)列｛6,｝是常數(shù)列.

當可<0時，乎>1<=>數(shù)列｛4｝是遞減數(shù)列；

乎<1o數(shù)歹ij｛4｝是遞增數(shù)列；

」包=1=數(shù)列｛6,｝是常數(shù)列.

(2)數(shù)列單調(diào)性的應用：

①構(gòu)造函數(shù)，確定出函數(shù)的單調(diào)性，進而可求得數(shù)列中的最大項或最小項.

a>a,,[a,.<a.

②根據(jù)《k可求數(shù)列中的最大項；根據(jù)〈k可求數(shù)列中的最小項.當解不唯一

.a*2ak+]1%<ak+i

時.，比較各解對應的項的大小即可.

(3)己知數(shù)列的單調(diào)性求解某個參數(shù)的取值范圍，一般有兩種方法：

①利用數(shù)列的單調(diào)性構(gòu)建不等式，然后將其轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題進行解決，也可通過

分離參數(shù)將其轉(zhuǎn)化為最值問題處理；

②利用數(shù)列與函數(shù)之間的特殊關(guān)系，將數(shù)列的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為相應函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的

性質(zhì)求解參數(shù)的取值范圍，但要注意數(shù)列通項中n的取值范圍.

典例引領(lǐng)

典例7已知數(shù)列｛《,｝,其通項公式為勺=3/一〃(〃wN*),判斷數(shù)列｛4｝的單調(diào)性.

2

【解析】方法一：=3〃2-〃(〃eN"),an+l=3(/i+l)-(?+1)(/1eN*),

2

則a“+i—a”=3(鹿+1)2-(n+l)-(3n-n)=6n+2>0,即art+l>an(neN*),

故數(shù)列｛《,｝是遞增數(shù)列.

22

方法二：an=3??-n(neN),?n+l=3(n+1)-(n+l)(nGN"),

則也=3(〃+l)[(〃+l)=￡±1,即土2>i.即數(shù)列[an]是遞增數(shù)列.

an3〃一〃n3〃一1

(注：這里要確定為的符號，否則無法判斷q川與4的大小)

方法三：令y=3xo2-x,則函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，其對稱軸為x=±1<l,

6

則函數(shù)y=3f—%在d,+oo)上單調(diào)遞增，故數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列.

6

典例8已知正項數(shù)列｛冊｝的前幾項和為Sn,且a；+源+弱+…+碎=S/對任意九6N*恒成

立.

(1)證明：2s九=若+品；

(2)求數(shù)列｛an｝的通項公式；

(3)若以=2Sn+mQn,數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列，求m的取值范圍.

【解析】(1)由肅+成+弱+???+磋=S/,

得a：+4+磅+…+W-i=Sn-i(nN2),

兩式相減得碎=Sn-Sn-1=aniSn+-S1n-l)-

又an>0,

所以嫌=S九+Sn_]=2Sn-an,即2szi=+an(n>2),

當n=l時,af=Sif得的=1,也滿足2sl=后+@1，

所以2sli=an+an.

(片+乙)一(--1+41)

（2）當nN2時，a=S-S.

n2

得W-忌-1=田+每-1，

乂。九>0，所以a九一。九—1=1,

所以數(shù)列｛Q九｝是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，

故=1+(n—1)=n.

(3)因為an=n,Sn="(丁),所以勾=標+(7n+])兀

12342

所以%+1—Z?n=(n+I)+(m+l)(n+1)—n—(m4-l)n=2n4-m+2>0對任意九6

N*恒成立，

所以?n>—2n—2,得m>—4.

故m的取值范圍是(-4,+oo).

變式拓展

3

4.已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，S?

(1)求數(shù)列｛S“｝的通項公式；

(2)判斷數(shù)列彳要1的單調(diào)性，并證明.

聲點沖關(guān)聲

1.數(shù)列—1，—1—，5—,―7」，…的一個通項公式是

332781

2〃-12〃-1

A.a.=(T)"+i-----B.a“=(-l)"-----

3〃3n

,2n-l2n-]

c.%=(一1嚴|三一D.?,(=(-

2.在數(shù)列｛%｝中，q=,a“=l一——(?>1),則/o”的值為

a

4n-\

14

A.——B.—

45

C.5D.以上都不對

3.若數(shù)列｛4｝的前〃項和S“=/+〃，則它的通項公式是

A.an=2n+1B.an-2n

C.an=3?D.a“=2〃+2

4.如圖，給出的3個三角形圖案中圓的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前3項，則這個數(shù)列的一

個通項公式是

A.2"+1

C?2+2n

'2

5.已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，q=2,S,,+|=2S“—1(〃eN*)，則［=

A.32B.64

C.128D.256

6.已知數(shù)列｛aj滿足/：；超=2,4=20,則?的最小值為

A.475B.46-1

C.8D.9

7.意大利數(shù)學家列昂那多?斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…，即尸(1)=F(2)=1*(〃)=網(wǎng)〃-1)+F(“一2)

(n>3,neNs),此數(shù)列在現(xiàn)代物理“準晶體結(jié)構(gòu)”、化學等都有著廣泛的應用.若此數(shù)列

被2整除后的余數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列｛%｝,則數(shù)列｛q｝的前2019項的和為

A.672B.673

C.1346D.2019

8.若數(shù)列｛4｝滿足%+|=匚7，。8=2,則q=.

2

9.數(shù)列｛4｝的前〃項和S?=n+n,若bn=(〃一5)%,則bn的最小值為____.

10.已知數(shù)列｛%｝滿足3卬+32%+330,+3+3"%=2"+1,則｛4｝的通項公式為

11.已知｛“"｝是遞增數(shù)列，且對任意的自然數(shù)〃(論1),都有4=1+4〃恒成立，則實數(shù)4

的取值范圍為.

12.如圖所示的數(shù)陣中，第64行第2個數(shù)字是.

1

11

22

11.1

343

L111

4774

11111

5n14H5

13.己知數(shù)列｛3｝的通項公式a?=n2-7n-8.

(1)數(shù)列中有多少項為負數(shù)？

(2)數(shù)列｛斯｝是否有最小項?若有，求出其最小項.

14.已知數(shù)列｛?！埃那啊椇蜑镾“，6=1且5“=54("+1).

(1)求的，%；

(2)求數(shù)列｛4｝的通項公式.

15.已知數(shù)列｛4｝的前n項和S“滿足Sn=2??-l(neN

(1)求q,a2,%的值；

(2)已知數(shù)列也｝滿足偽=2,bll+l=an+bn,求數(shù)列也｝的通項公式.

16.已知正數(shù)數(shù)列｛〃“｝的前〃項和為S”，滿足％2=S“+S“T(〃N2),q=l.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

(2)設(shè)包=(1一”“)2-”(1一/)，若｛4｝是遞增數(shù)列，求實數(shù)4的取值范圍.

17.已知數(shù)列｛%｝滿足%=6,—

an+\-an

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)設(shè)S“為數(shù)列｛4｝的前〃項和，求數(shù)列的前項和刀,.

直通高考.

1.(2015江蘇)數(shù)列｛an｝滿足%=1且與+1-an=n+l(neN*),則數(shù)列的前10項

和為.

2.(2017新課標全國111文科節(jié)選)設(shè)數(shù)列｛。,,｝滿足4+342+~+(2〃-1)4=2〃，求｛。,』

的通項公式.

3.(2018新課標全國I文科)已知數(shù)列｛4｝滿足4=1,加褊=2(〃+1"?,設(shè)"=，.

n

(1)求么，b2,by；

(2)判斷數(shù)列｛〃｝是否為等比數(shù)列，并說明理由；

(3)求｛%｝的通項公式.

能參考答案.

變式拓展

7^一

1.【答案】B

【解析】對于A,當〃為奇數(shù)，%=拶=1,當〃為偶數(shù)，%=當=2,正確;

對于B,當〃為奇數(shù)，an=^-=2,當〃為偶數(shù)，4==2=1，不正確；

對于C,當〃為奇數(shù)，a“=U=l，當〃為偶數(shù)，。“=答=2,正確：

對于D,當“為奇數(shù)，%=?=1,當〃為偶數(shù)，%=?=2,正確.

故選B.

【名師點睛】本題考查數(shù)列的通項公式，考查分類討論與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.對〃分

為奇數(shù)、偶數(shù)討論即可判斷.

2.【答案】an=4n-4n-\.

【解析】因為數(shù)列｛為｝的各項都是正數(shù)，其前w項和S“滿足2s“=4+'■,〃eN*,

所以

當〃=1時，2s?=q+—=2q,4=1；

4

1

當“22時，2S?=??+—=Sn-S?_,+,即S“+S,i=!,即

an，f-1，一

S；-S；T=1,所以數(shù)列同｝是等差數(shù)列,又S;=l,因此S；=〃，Sn=C，因此

=S〃—S〃_]—（">2）,又q=1也滿足a“-1,所以

an=s/n—y/n—\,neN".

故答案為%=冊一JU

【名師點睛】本題主要考查由遞推公式求數(shù)列的通項公式，靈活處理遞推公式即可，屬

于?？碱}型.求解時，先由遞推公式求出％=1,再由〃22時，

2s“=%+1-=S"—S“T+W~,整理，求出S“，進而可求出結(jié)果.

an一>1

n+1.2

3.【解析】（1）將〃=1代入q川1+-an+"T7"'倚zn%=2q+1，

nA/t

由q=l,4=,，得丸=3.

（2）由。,向得4±L

〃+1n-3"

即么+1-2=:.

當〃22時，b?-b^(bn-bn_x)+(/??_1-b?_2)+???+(^2-^,)

小一邛］

⑶」i__1_

7^~2~2x3'-'，

1-----

3

因為白=色=1,所以2=3——二.

11"22X3"T

因為a=1也適合上式，

31

所以

"22X3"T

【名師點睛】本題考查了由遞推關(guān)系求通項，常用方法有：累加法，累乘法，構(gòu)造等比

數(shù)列法，取倒數(shù)法，取對數(shù)法等等，本題考查的是累加法，注意新數(shù)列的首項與原數(shù)列

首項的關(guān)系.

3

4.【解析】(1)〃>1時，S,,.1=-??-1-1.

an=Sn-Sn-\=一一?

勺=3。

a】=2w0,

二數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，

an=2x3'"',

S“=3"-1,即數(shù)列｛S,,｝的通項公式為5?=3"-1.

S

（2）數(shù)列｛年卜是遞減數(shù)列.

.Sn.

5

證明如下：設(shè)仇=年，

3”

?.?n>l,?..3n+,>3〃>1,.?.3w+,-3〃>0,3H+1-1>0,3"-1>0,

222（3"-3"+）

??bi-b=—：---------=-------r-3-------r<0.

用〃3角一13〃一1（3,/+,-1）（3,,-1）

S

??.也｝是遞減數(shù)列，即數(shù)列《三是遞減數(shù)列.

、Sn,

【名師點睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及的知識點有：根據(jù)數(shù)列的遞推公式判

斷其為等比數(shù)列，等比數(shù)列的求和公式，判斷并證明數(shù)列的單調(diào)性，屬于中檔題目.

3

⑴根據(jù)題中所給的條件，寫出〃>1時，=”,「1.之后兩式相減，得到勺=3%,

從而得到數(shù)列｛4,｝是等比數(shù)列，利用求和公式求得S“=3"-1；

（2）將勿進行化簡，之后應用單調(diào)性的定義證明數(shù)列是遞減數(shù)列.

考點沖關(guān)

―---------

1.【答案】c

【解析】對于選項A,當片2時、政=-！，不滿足題意，所以A不正確；

2

對于選項B,當"=1時，〃尸-；，不滿足題意，所以B不正確；

對于選項D,當"=2時，O2=g,不滿足題意，所以D不正確；

2〃一1

當"=1,2,3,4時，斯=（T）"+i——均滿足題意，C正確.

2.【答案】B

1,1,…］451

［解析］由題得4=一:，。2=1-----=1+4=5,4=4=1—=一一，

445544

所以數(shù)列｛q｝的周期為3,又2019=3x673,所以々oig=4=1.

故選B.

【名師點睛】本題主要考查數(shù)列的遞推公式和數(shù)列的周期性，意在考查學生對這些知識

的理解掌握水平和分析推理能力.先通過列舉找到數(shù)列的周期，再根據(jù)周期求解.

3.【答案】B

2

【解析】當“22時，an-Sn-Sn_｝-n+/?—(/?-1)"-(n-l)=2/?,當〃=1時，

q=E=2,滿足上式，所以數(shù)列｛q｝的通項公式為a,=2〃.故選B.

4.【答案】D

【解析】由題意知an-an_^n+\,根據(jù)累加法得

=q+(a2-〃[)+■,?+(a〃-。〃一|)=3+3+4+5

1〃~+3〃+2,,

H---F〃+l=---------,故選D.

2

5.【答案】B

S_1

【解析】由％=2,得￡=2,又S,+|=2S?-1,S?+l-l=2(S?-1),即-^―=2,

J”—1

且5-1=1,即數(shù)列｛S.-l｝是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，

則S“一l=lx2>i,即S“=2"T+1.

766

/.a8=S8-S7=(2+l)-(2+l)=2=64.

故選B.

【名師點睛】本題考查了數(shù)列遞推式,考查利用構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式,屬于中檔題.求

解時，由已知數(shù)列遞推式構(gòu)造等比數(shù)列｛S.-1｝,求其通項公式得到S“，再由G=§8-S7

求解.

6.【答案】C

【解析】由4+1-4=2〃知：生一4=2x1,a3-a2=2x2...an-an_｝=2(n-l),

相加得：(-i,,—Uy=n~—n,=n-\-----1,又“eN*>所以“W4時，單調(diào)遞減，

nnn

“25時，組單調(diào)遞增，因為包=%，所以％的最小值為包=%=8,故選C.

n45n45

【名師點睛】本題考查數(shù)列通項公式以及數(shù)列單調(diào)性，考查基本分析求解能力，屬中檔

題.先根據(jù)疊加法求4,,再利用數(shù)列單調(diào)性求最小值.

7.【答案】C

【解析】由數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…各項除以2的余數(shù),

可得｛風｝為1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,O....,

所以｛凡｝是周期為3的周期數(shù)列，一個周期中的三項和為1+1+0=2,

因為2019=673x3,

所以數(shù)列｛4｝的前2019項的和為673x2=1346,

故選C.

【名師點睛】本題主要考查了由遞推關(guān)系求數(shù)列各項的和，屬于中檔題.利用遞推關(guān)系求

數(shù)列中的項或求數(shù)列的和：（1）項的序號較小時，逐步遞推求出即可；（2）項的序數(shù)較

大時，考慮證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列，或者是周期數(shù)列.

8.【答案】-

2

,1,11,1

【解析】由已知得4=1-----,6=2，所以“7=1----=7，4=1----=一1，

4+1?82%

9.【答案】-12

【解析】當〃22,4=S“-S,i=2〃，當“=1,4=2滿足上式，故?！?2〃，

2=（〃一5）。,,=2〃（〃-5）,對稱軸為〃=■!，故〃=2或3時，。.最小值為T2.

故答案為T2.

【名師點睛】本題考查由S“求數(shù)列通項，考查數(shù)列最值，考查計算能力，是基礎(chǔ)題，注

意”為正整數(shù)，是易錯題.求解時，先由S“=/+〃求得4,再利用二次函數(shù)求優(yōu)的最

小值.

l,n=1

10.【答案】17

【解析】當〃=1時，由羽=2+1=3,得4=1；

當〃之2時，由3%+3~%+3%3+…+3"?！?2"+1,可得

3%+32%+33%+…+3"T%=+1,

l,n=1

兩式相減得3%,=2"T,故4i7

丁軍，在2

1,〃二1

故答案為：冊泊尸32

【名師點睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應用，數(shù)列通項公式的求法，意在考查學生

對這些知識的理解能力掌握水平和分析推理能力.

11.【答案】(—3,+oo)

【解析】由｛〃〃｝為遞增數(shù)列，得〃〃+1-〃,尸(〃+1)2+“〃+1)-層-2止=2〃+1+2>0恒成立，即

2>-2?-1在n>l時恒成立，令4〃)=一2〃-1,建GN*，則/(〃)max=-3.

只需2次〃)max=-3即可.故實數(shù)X的取值范圍為(-3,+00),

12.【答案】—

2017

【解析】由題意，從第2行開始，每一行的第2個數(shù)字的分母組成一個數(shù)列｛%｝,其

中2,4,7,11,…滿足an-=n(n>2,neN*),

則

/、/、/\CC1C(?-1)(?+2)n2+n+2

a”=q+(出-q)+(%-%)+"-+(4-a?^)-2+2+3+---+n-2+---------=-------

當〃=63時，則43=63-+；3+2=20]7,

所以第64行的第2個數(shù)字為3-.

【名師點睛】本題主要考查了數(shù)列的應用問題，其中解答中根據(jù)題意把從第2行開始，

每一行的第2個數(shù)字的分母組成一個數(shù)列｛a?｝,求得數(shù)列的通項公式是解答的關(guān)鍵，

著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.

13.【解析】(1)令斯<0,即〃2_7〃一8<0,得一1V”<8.

又〃￡、\所以2,3,7,

故數(shù)列從第1項至第7項均為負數(shù)，共7項.

7

(2)函數(shù))=/-7廠8圖象的對稱軸為x=]=3.5,所以當1—3時，函數(shù)單調(diào)遞減;

當后4時，函數(shù)單調(diào)遞增，

所以當n-3或4時，數(shù)列｛斯｝有最小項，且最小項的=。4=-20.

14.【解析】(1)；q=1且S“=ga“(〃+l),

〃=2時，1+4=，34，4=2,

〃=3時，1+2+q=gx4xq,解得%=3.

(2)“22時，4=S“-“=；。“(〃+1)-

化為：?=也.

nn-\

.4=4T==4=%=i

nn-\32

「?an-n.

〃=1時上式也成立.

/.=n.

【名師點睛】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)，屬于中檔題.已知

數(shù)列前〃項和，求數(shù)列通項公式，常用公式。將所給條件化為關(guān)

于前w項和的遞推關(guān)系或是關(guān)于第〃項的遞推關(guān)系，若滿足等比數(shù)列或等差數(shù)列定義,

用等比數(shù)列或等差數(shù)列通項公式求出數(shù)列的通項公式，否則適當變形構(gòu)造等比或等差數(shù)

列求通項公式.在利用S”與通項?！暗年P(guān)系求?！钡倪^程中，一定要注意〃=1的情況.

15.【解析】(1)=1,%=2,%=4.

(2)因為S“=2a“—l("eN*),所以，當〃22時，有S,T=2a,“—1,

則a?=2an-2a?_](H>2),即=2a…(n>2).

所以｛4｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，

所以。"=2"，

因為%=%+"，所以%一或=2"，

則-2-偽=2°,

4-=2,，

勿-%=2"-2，

以上〃一1個式子相加得：h-b=lx°_2_),

"'1-2

又因為a=2,所以d=2"T+l(“eN*).

16.【解析】(1)qj=s“+s,i(〃22),6%2=5“一1+5"-2(e3).

相減可得：a；—=an+an_x,

Vi7?>0,““-I>0,

".an-an-\=\(ri>3).

2

〃=2時，a2=a\+ai+a\,HPa2=2+ai>ai>0>解得42=2.

因此"=2時，a,-a,I-I=1成立.

數(shù)列｛?。堑炔顢?shù)列，公差為1.

'.an=\+n~\=n.

22

(2)bn=(1—an)—a(l—an)=(n-1)+a(n-1),

：｛d｝是遞增數(shù)列，

22

bn+1-bn-n+an-(n-1)-a(n-1)=2〃+a-l>0,即“>1-2”恒成立，

：.a>-\,即實數(shù)a的取值范圍是(