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第3章曲線、曲面及曲面立體3.1曲線3.2曲面的形成和分類3.3回轉(zhuǎn)體及其表面上的點3.4曲面立體的截交線3.5平面立體與曲面立體相交3.6曲面立體與曲面立體相交由各種曲線、曲面和曲面體組成的建筑物
3.1.1曲線的形成與分類1.曲線的形成曲線可以看成是點的運動軌跡(圖3.1a),也可以是兩曲面或平面與曲面相交而形成(圖3.1b)。
2.曲線的分類:(1)平面曲線:凡曲線上所有點都屬于同一平面的曲線,稱為平面曲線。如圓、橢圓、拋物線、雙曲線等。(2)空間曲線:凡曲線上有四個點不在同一平面上的曲線,稱為空間曲線。如圓柱螺旋線。3.1曲線3.1.2曲線的投影特性
空間曲線的投影仍然是曲線,不反映實形。
平面曲線的投影取決于曲線所在平面的位置:當(dāng)曲線所在平面平行于投影面時,它在該投影面上的投影反映實形;當(dāng)曲線所在平面傾斜于投影面時,它在該投影面上的投影仍然是曲線,但不反映實形;當(dāng)曲線所在的平面垂直于投影面時,它在該投影面上的投影就是一條直線。
3.1.3圓的投影圓是一種特殊的平面曲線。圓的投影有下列三種特征:(1)在與圓平面相平行的投影面上的投影為圓,反映實形。(2)在與圓平面相垂直的投影面上的投影為直線,長度等于圓的直徑。(3)在與圓平面相傾斜的投影面上的投影為橢圓,長軸是平行于這個投影面的直徑的投影,且反映實長;短軸是對這個投影面的最大斜度線的直徑的投影。(a)水平圓的投影(b)正垂圓投影的空間示意圖(c)正垂圓的投影
3.1.4圓柱螺旋線
1.圓柱螺旋線的形成
一動點M沿著圓柱面的直母線作等速直線運動,同時該母線繞圓柱面的軸線作等角速度旋轉(zhuǎn)運動,則屬于圓柱面的該點的軌跡曲線,稱為圓柱螺旋線。
只要給出圓柱的直徑和螺旋線的螺距,以及動點移動的方向,就能確定該圓柱螺旋線的形狀。返回2.圓柱螺旋線的投影畫法設(shè)圓柱軸線垂直于H面,圓柱的直徑為φ,圓柱的高度等于螺距P。
3.2曲面的形成與分類
3.2.1.曲面的形成
曲面按形成是否有規(guī)律而分成有規(guī)則的曲面(如柱面、球面)和不規(guī)則的曲面(如地形表面)。本書介紹有規(guī)則的曲面(簡稱曲面)。
曲面是由直線或曲線在一定約束條件下運動而形成的。這條運動的直線或曲線稱為曲面的母線。約束母線運動的點、線、面稱為導(dǎo)點、導(dǎo)線、導(dǎo)面。
回轉(zhuǎn)曲面的形成1.根據(jù)母線運動有無旋轉(zhuǎn)軸,可把曲面分為:(1)回轉(zhuǎn)面—這類曲面由母線繞一軸線旋轉(zhuǎn)而形成;由回轉(zhuǎn)面形成的曲面體,稱為回轉(zhuǎn)體。(2)非回轉(zhuǎn)面—這類曲面由母線根據(jù)其他約束條件運動而形成。2.根據(jù)母線的形狀可把曲面分為:(1)直紋曲面—由直母線運動而形成的曲面。(2)曲紋曲面—由曲母線運動而形成的曲面。3.根據(jù)曲面能否展開成平面,可把曲面分為可展曲面和不可展曲面。直紋曲面中的柱面、錐面是可展曲面,其他曲面是不可展曲面。3.2.2曲面的分類3.1.4非回轉(zhuǎn)直紋曲面
1.可展直紋曲面
曲面上兩相鄰素線是相交或平行的共面直線。這種曲面可以展開。常見的如錐面和柱面,它們分別由直母線沿著一條曲導(dǎo)線移動,并始終通過一定點或平行與一直導(dǎo)線而形成。(a)錐面的形成(b)柱面的形成2.不可展直紋曲面
這類曲面又稱扭面,只能近似地展開,其特點是曲面上相鄰兩素線是交叉的異面直線。常見的有雙曲拋物線面,錐狀面和柱狀面。它們分別由直母線沿著兩條直或曲的導(dǎo)線移動,并始終平行于一個導(dǎo)平面而形成。
(a)錐狀面的形成和投影圖
(b)柱狀面的形成和投影圖3.3回轉(zhuǎn)體及其表面上的點
常見的曲面立體是由回轉(zhuǎn)面或回轉(zhuǎn)面與平面所圍成的回轉(zhuǎn)體。如圓柱、圓錐、球和環(huán)等。回轉(zhuǎn)面是由直線或曲線繞軸線旋轉(zhuǎn)形成的曲面。3.3.1圓柱
圓柱由圓柱面、兩個圓平面所圍成。圓柱面可看作是一直母線繞與它平行的軸線旋轉(zhuǎn)形成。軸母線素線緯圓圓柱面1.圓柱的投影
圓柱的三面投影圖畫法及投影分析最前素線的投影最左素線的投影最右素線的投影最后素線的投影圓柱面的積聚投影頂圓平面的積聚投影底圓平面的積聚投影側(cè)垂圓柱輪廓素線的投影2.圓柱面上點的投影利用圓柱面的積聚投影來求作圓柱面上點的投影
3.3.2圓錐
圓錐由圓錐面與底圓平面所圍成。圓錐面可看作是一直母線繞與它相交的軸線旋轉(zhuǎn)形成。1.圓錐的投影圓錐的投影畫法
圓錐素線的投影分析2.摩圓丹錐面事上點悔的投稍影圓錐面續(xù)的三面鉤投影都篩沒有積喘聚性,(1)素線法由于外圓錐悉面上悄的點悶必在噸圓錐覽面上俯的一鮮條素和線(頃過錐耳頂?shù)呐e直線崇)上斑,因謀此只狂要作麗出過靈該點送的素宋線的浮投影僻,即忙可求騰出該訊點的購?fù)队板?。?)緯圓法圓錐駁面上絲式任一袍點繞悅軸線傾旋轉(zhuǎn)蕩都形改成垂倦直于喘該軸么線的錦圓(新緯圓赴),笑由此渠可知惠,圓悟錐面理上的柏點必紐奉在圓展錐面姑的一巾個圓灘周上逐。當(dāng)戲圓錐居軸線給垂直形于H面時,筑圓錐面多的圓均騾為水平俗圓。只北要作出鹿過該點毀的圓的醒投影,勒即可求懶出該點幫的投影肺。3.夕3.3球球由宏球面仁所圍赤成。您球面罪可看譯作是販圓繞奮其直逐徑旋憐轉(zhuǎn)而圖成。母線軸線緯圓1.澇球的孟投影球的三納面投影愉圖2.球面上可點的投舅影已知致條件利用量球面出上的底水平姜圓求掘作球蘋面上化點的們投影利用球灣面是的屑正平圓熔求作球西面上點只的投影利用遮球面巨上的球側(cè)平殿圓求滾作球劇面上歐點的蘭投影3.沫4淡曲面邪立體偉的截葛交線當(dāng)平咽面切割曲面體研時,包證括開口從、挖槽虧、穿孔怕,就會錢在體表判面上產(chǎn)討生截交裙線,相交銜的兩截座平面也洲要產(chǎn)生恒交線。禿曲面體緞的截交受線通常桑是平面付曲線,褲在特殊半情況下搏是直線眼。曲面體齒的截交煩線是截匠平面與瀉曲面體慨表面的憲共有線份,截交桿線上的換點是截費平面與煩曲面體饒表面的屬共有點謙,截交屢線圍棒成的困平面陳圖形被就是末截斷緊面。筆當(dāng)截腰平面德垂直垃于投廢影面皮時,篩截交觸線的勺在該摔投影廁面上遍的投錘影積栗聚成鋒直線糊。根當(dāng)據(jù)這肺個已光知投證影,緩可以框求作壓截交扮線的池其他劃投影估。截交線站上有一悠些能夠字確定截紫交線的禿大致形練狀和范停圍的特殊閱點,如回法轉(zhuǎn)面牌轉(zhuǎn)向責(zé)輪廓購線上農(nóng)的點相,截?fù)芙痪€果在對嚷稱線松上的管頂點北,以照及最肺左、丹最右絡(luò)、最版前、亮最后顫、最糠高和即最低于點等國。其畝他點麥?zhǔn)且荒桶泓c卵。求作充曲面抹體截捧交線臉的投敏影時呀,通門常應(yīng)擔(dān)先求媽出截勝交線浸上特殊點的投猶影,扛然后寄在特競殊點架較稀搶疏處玩按需貧要求戰(zhàn)出一園些一般點,最群后將厭特殊姥點和的一般冶點依引次連營接并親判別可見糖性,即得中截交線喊的投影伐。3.4石.1圓柱的副截交線[例3.憶1]如蜜圖所狡示,端已知久圓柱驗被正加垂面單所切介斷,享求作椅圓柱可及其扔截交軍線的W投影。作圖過箏程與結(jié)貝果形體分任析以o點為圓心的圓弧例3.2已知條澇件如圖谷所示,兇補全這困個圓柱蛇被切割攀后的H投影輝和W投影。35例題完成圓蘭柱體被斥截割后域的水平父投影和做側(cè)面投府影解題步病驟1分析煎圓賤柱被巖兩個叉?zhèn)绕轿昝婧捅埔粋€霉水平胸面截川割出竟一個砌左右吊對稱層的槽咸口,歇水平菜面的量截交撈線為壩圓弧雁,側(cè)品平面怖的截寄交線蟻為矩燥形;2求出截登交線上番的特殊告點Ⅰ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅷ;3依連接掙各點,戒作出截歇交線的林投影,離并判別銀可見性啄;4加深、腰整理輪純廓線。3.4孕.2如圓錐的偏截交線例3.繭3已知蓬條件豎如圖撤所示求,要房誠求補兵全截竭斷圓困錐的H投影和W投影綁。求特貝殊點求一眨般點依次連雀接各點剛,并補全截斷療圓錐的蛾輪廓線例3.希4誕已知條懲件如圖鋤所示,寨要求補早全圓錐欺穿孔后海的H、博W投影絨??椎膫?cè)兩個正撲垂面擴扁大后通他過錐頂悠。通孔39例題求圓錐括體的截蕉交線解題磚步驟1分析義截交咳線的半水平任投影扛和側(cè)碗面投街影已賽知,言正面客投影妖為雙證曲線鴨并反覆映實須形;2求出浸截交也線上跌的特悔殊點A、C;3求出搭一般魂點B;4光滑罰且順睛次地兼連接規(guī)各點菌,作怒出截亡交線育,并諒且判信別可軍見性站;5整理加糾深輪廓云線。3.蘿4.當(dāng)3雕球售的截罩交線平面叢切割撓球時,偽不論癥截平省面的舒位置講如何癢,截交顧線總答是圓。當(dāng)截平動面平行投宋影面時,截趙交線圓膠在該投錄影面上隆的投影反映實抖形;當(dāng)截平輪面垂直于蠶投影面時,截提交線圓拐在該投咐影面上橋的投影積聚成壞為一條潔長度等期于截交幟線圓直列徑的直問線;當(dāng)截?fù)羝矫鎯A斜魄于投爪影面時,豬截交寫線圓督在該孔投影巧面上毛的投種影為供橢圓珠。例3.理5如圖幟所示劃,要投求作所出截孟斷球破體的H投影和W投影該。例題求圓球精體的截鬼交線解題醫(yī)步驟1分析:挖半球被悶兩個對快稱的側(cè)亞平面和話一個水滅平面截報割成槽字,截交韻線為側(cè)火平圓弧倒和水平溜圓弧。屋槽底的代交線為膏直線。徹截交線遷的H投影和W投影均屯為圓弧望和直線弓的組合僻。2作出各話截交線歷圓弧的H投影漲。3作出各饅截交線陷圓弧和膛直線的W投影屈。3判別懂可見美性,斷整理崖加深照輪廓泊線。3.裹5蜓平面地立體佛與曲傘面立竿體相蹄交平面病立體售與曲錦面立野體相脹交,挑也稱相貫線只有位于兩立體投影都可見的表面上時,相貫線的投影才可見,否則就不可見。兩相貫體是一個整體,在作圖分析時可將其視為兩個立體,在求出相貫線后,整理作圖結(jié)果時應(yīng)注意,立體上凡參與相貫的輪廓線都只畫到貫穿點為止。穿入立體內(nèi)的部分與立體融為一體,視為不存在,因此不畫出。3.5輔.1廉平面立傘體與圓住柱相交例3.忍6如圖所有示,已莖知矩形皺梁(四尸棱柱)癢與圓柱典相貫及羨板的H和W兩面投共影,求慕作V投影界。平面寒立體賤與圓求柱相顛交的綢情形離,在域建筑麗中多辮表現(xiàn)未為矩評形梁裂與圓逢柱相傲貫。3.5雙.2丸平面晉立體與譽圓錐相衰交由于傍平面裙立體矩與圓腥錐的吳相貫合線是白兩體廣表面飼的共有線,相粘貫線思上的描點是腸兩體準(zhǔn)表面浩的共有殲點,因撲此要把利用幕平面給立體撤表面眨的積糞聚投妙影和沉圓錐撐面上短的緯圓營或素蓄線來求作輝相貫線笛上的點捏。例3.7如圖屈所示分,已奴知四戴棱柱鎮(zhèn)與正樹圓錐臘相貫累,完滔成相抱貫體鹽的V投影皺。例3.綱7如圖所罩示,已旺知四棱庫柱與正拾圓錐相董貫,完餡成相貫創(chuàng)體的V投影巾。補齊棱六線,棱線稅和素乒線畫籠到貫渠穿點源為止3.5幅.3難平面體筍與球相棍交平面顧體與米球相銷交的陶情況姐常見蓋于建痕筑工旋程中裹的一斤些節(jié)士點或述裝飾熄構(gòu)造懸。如冰四棱提柱與渣球的犯相貫柳,球冷心位民于四褲棱柱鎖的對炭稱軸擾線上格,相遲貫線毅是球何被柱倍表面分切割第后所扮產(chǎn)生宰的截粥交線嗽圓的庭一部青分,弱如圖舞所示街。例3.受8如圖所買示,已承知相貫路的四棱距柱與半余球的投貫影輪廓探,完成斬它們相救貫后的V、W投影布。四棱談柱貫寺穿半員球后茫,如瘋果將恰四棱汁柱抽魚出,閣則在狂球體里上形普成四者棱柱旬孔,瓶如左圖圖所疑示。聰孔口果相貫列線的繼投影燙作圖著與例業(yè)3.暑8相戰(zhàn)同。拳孔內(nèi)壤棱線宜的V齡、W價投影不不可捏見,脖畫成留虛線縮慧。半球射與四墾棱柱校相貫克和穿孤孔的程比較3.6誤兩曲侵面立體矩相交兩曲鞋面體唯的交互線(諷相貫賽線)毀一般洽是封閉的禮空間曲莖線,在特?fù)]殊情況止下是平面之曲線。相貫與線上的胡點是兩宗體表面政的共有點。求賠相貫喊線上錫的點軍的方翠法通煩??扇庥梅e聚投惑影法和輔助平據(jù)面法。3.周6.校1從用積踢聚投證影法粥作相汗貫線相交兩轟曲面體修中,如版果有一惰個曲面違體表面腥(如圓扯柱面)弄的投影梁具有積單聚性,餓則相貫?zāi)€的同咱面投影犧也必重輪合在積悉聚投影鴨上,此段時可根透據(jù)相貫漂線的這妻個已知碰投影,博求出兩敏曲面體累表面上選一系列嗎共有點剛的投影矮,從而圓作出相夠貫線的秘其余投陶影。例3行.9已知如兩圓筋柱相城貫,趨如圖火所示拳,求土它們唇的相梨貫線活的投希影。利用榆積聚乓投影求兩圓改柱的相昆貫線三通腦管(兩空貿(mào)心圓頁柱)的相貫浩線3.哥6.精2屠用輔番助平返面法曲作相走貫線假想用吹一輔助旅平面截誼斷相貫第的兩曲犯面體,奸則可同臣時得到釋兩曲面喊體的截屈交線,顯這兩曲鼠面體的壩截交線便的交點挨,就是戚輔助平獄面和兩肢曲面體峰表面三個面帆的共有柏點,即負(fù)相貫油線上棍的點促。若饑用若腿干輔慚助平騰面截椒斷兩歇曲面茄體,恨就可不得到咱相貫噴線上舟的若蠅干點駛,把潛這些棉點連臉接起每來,無就能役求得處相貫庸線。為使作楊圖簡便旦,輔助吃平面通豬常用投爛影面的肯平行面幅,且應(yīng)皆選擇適潛當(dāng)?shù)那心馗钗恢媒Y(jié),使其斗與兩曲哭面體切撥割后產(chǎn)殖生的截江交線的眉投影簡驚單易畫丙。相貫置線上弊的點輔助監(jiān)平面相貫線上的點輔助平面3.1顏0求圓柱流與圓錐薦的相貫東線的投損影yyPW1PV14"yy4'
PV2PW23"PV3PW35"11'1"2'
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用水平碗面作為遮輔助平菜面求共扮有點解題鉗步驟1分析怪相貫痰線的側(cè)糞面投影臨已知,盞可利用輔
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