彈塑性力學(xué)彈塑性本構(gòu)關(guān)系

彈塑性力學(xué)本構(gòu)關(guān)系附加應(yīng)力對附加應(yīng)變負做功，即附加應(yīng)力對附加應(yīng)變做功為非負，即有(1)穩(wěn)定材料與非穩(wěn)定材料穩(wěn)定材料非穩(wěn)定材料（應(yīng)變硬化和理想塑性材料）（應(yīng)變軟化材料）德魯克公設(shè)和依留申公設(shè)是傳統(tǒng)塑性力學(xué)的基礎(chǔ)，它把塑性勢函數(shù)與屈服函數(shù)緊密聯(lián)系在一起。德魯克公設(shè)只適用于穩(wěn)定材料，而依留申既適用于穩(wěn)定材料，又適用于不穩(wěn)定材料。(2)

德魯克塑性公設(shè)的表述

德魯克公設(shè)可陳述為：對于處在某一狀態(tài)下的穩(wěn)定材料的質(zhì)點(試件)，借助于一個外部作用在其原有應(yīng)力狀態(tài)之上，緩慢地施加并卸除一組附加壓力，在附加應(yīng)力的施加和卸除循環(huán)內(nèi)，外部作用所作之功是非負的。

設(shè)材料單元體經(jīng)歷任意應(yīng)力歷史后，在應(yīng)力σij0下處于平衡，即開始應(yīng)力σij0在加載面內(nèi)，然后在單元體上緩慢地施加一個附加力，使σij0達到σij，剛好在屈服面上，再繼續(xù)加載到σij+dσij，在這一階段，將產(chǎn)生塑性應(yīng)變dεijp，最后應(yīng)力又卸回到σij0。若整個應(yīng)力循環(huán)過程中，附加應(yīng)力dσij所作的塑性功不小于零，即附加應(yīng)力的塑性功不出現(xiàn)負值，則這種材料就是穩(wěn)定的，這就是德魯克公設(shè)。在應(yīng)力循環(huán)中，外載所作的功為：不論材料是不是穩(wěn)定，上述總功不可能是負的，不然，我們可通過應(yīng)力循環(huán)不斷從材料中吸取能量，這是不可能的。要判斷材料穩(wěn)定必須依據(jù)德魯克公設(shè)，即附加應(yīng)力所作的塑性功不小零得出由于彈性應(yīng)變εije在應(yīng)力循環(huán)中是可逆的，因而于是有：(3)

德魯克塑性公設(shè)的重要推論屈服面的外凸性塑性應(yīng)變增量方向與加載曲面正交1

屈服曲面的外凸性此式限制了屈服面的形狀：對于任意應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)力增量方向與塑性應(yīng)變向量之間所成的夾角不應(yīng)該大于90°穩(wěn)定材料的屈服面必須是凸的.(a)滿足穩(wěn)定材料的屈服面(b)不滿足穩(wěn)定材料的屈服面2

塑性應(yīng)變增量向量與屈服面法向平行加載面切平面必與加載面的外法線重合，否則總可以找到A0使A0A·dεp≥0不成立(如右圖)。標量dλ，稱為塑性因子表明，塑性應(yīng)變分量σij之間的比例可由在加載面上Φ的位置確定。加載準則意義：只有當(dāng)應(yīng)力增量指向加載面的外部時才能產(chǎn)生塑性變形。3德魯克塑性公設(shè)的評述德魯克公設(shè)的適用條件：（1）應(yīng)力循環(huán)中外載所作的真實功與ij0起點無關(guān)；應(yīng)力循環(huán)中外載所作真實功與附加應(yīng)力功(2)附加應(yīng)力功不符合功的定義，并非真實功（4）德魯克公設(shè)的適用條件：①ij0在塑性勢面與屈服面之內(nèi)時，德魯克公設(shè)成立；②ij0在塑性勢面與屈服面之間時，德魯克公設(shè)不成立；附加應(yīng)力功為非負的條件（3）非真實物理功不能引用熱力學(xué)定律；勢面線屈服面（5）金屬材料的塑性勢面與屈服面基本一致。

依留申塑性公設(shè)的表述

依留申塑性公設(shè)：在彈塑性材料的一個應(yīng)變循環(huán)內(nèi)，外部作用做功是非負的，如果做功是正的，表示有塑性變形，如果做功為零，只有彈性變形發(fā)生。

設(shè)材料單元體經(jīng)歷任意應(yīng)力歷史后，在應(yīng)力σij0下處于平衡，即初始的應(yīng)變εij0在加載面內(nèi)，然后在單元體上緩慢地施加荷載，使εij達到屈服面，再繼續(xù)加載達到應(yīng)變點εij+dεij，此時產(chǎn)生塑性應(yīng)變dεijp

。然后卸載使應(yīng)變又回到原先的應(yīng)變狀態(tài)εij0，并產(chǎn)生了與塑性變量所對應(yīng)的殘余應(yīng)力增量dσijp。殘余應(yīng)力增量與塑性應(yīng)變增量存在關(guān)系：式中，D為彈性矩陣。根據(jù)依留申公設(shè)，在完成上述應(yīng)變循環(huán)中，外部功不為負，即只有在彈性應(yīng)變時，上述WI=0。根據(jù)Druker塑性公設(shè)可將Druker塑性公設(shè)改寫成：由圖(a)可知，對于彈性性質(zhì)不隨加載面改變的非耦合情況，外部作用在應(yīng)變循環(huán)內(nèi)做功WI和應(yīng)力循環(huán)所作的外部功之間僅差一個正的附加項：因此可將應(yīng)變循環(huán)所作的外部功，寫成上式表明，如果德魯克塑性公設(shè)成立，WD≥0，則依留申塑性公設(shè)也一定成立，反之，依留申塑性公設(shè)成立，并不要求WD≥0，也就是說，德魯克塑性公設(shè)是依留申塑性公設(shè)的充分條件，而不是必要條件。ABCD當(dāng)應(yīng)力點由A到B時，dσ<0,但dσp>0,塑性變形dεp>0，總變形dε>0應(yīng)變空間加載面外凸①加載準則(取大于號表示有新的塑性變形發(fā)生)②塑性勢面與屈服面相同③根據(jù)關(guān)于的正交法則，可得：由應(yīng)力空間中的屈服與應(yīng)變空間中屈服面的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可得：結(jié)合可得：3.1.4塑性位勢理論與流動法則

與彈性位勢理論相類似，Mises于1928年提出塑性位勢理論。他假設(shè)經(jīng)過應(yīng)力空間的任何一點M，必有一塑性位勢等勢面存在，其數(shù)學(xué)表達式稱為塑性位勢函數(shù)，記為：或式中，為硬化參數(shù)。塑性應(yīng)變增量可以用塑性位勢函數(shù)對應(yīng)力微分的表達式來表示，即：

上式就稱為塑性位勢理論。它表明一點的塑性應(yīng)變增量與通過該點的塑性勢面存在著正交關(guān)系，這就確定了應(yīng)變增量的方向，也就確定了塑性應(yīng)變增量各分量的比值。

流動規(guī)則也稱為正交定律，是確定塑性應(yīng)變增量各分量的比值，也即塑性增量方向的一條規(guī)定。上式是流動規(guī)則的一種表示形式，另外還有另一種表示形式：

它表明塑性應(yīng)變增量與通過該點的屈服曲面成正交關(guān)系。

與德魯克公設(shè)表達式比較，可以看出，服從于德魯克公設(shè)的材料，塑性勢函數(shù)g就是屈服函數(shù)Φ。即g=Φ，由此得到的塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系通常稱為與加載條件相關(guān)聯(lián)的流動法則。如果g≠Φ

，即屈服面與塑性應(yīng)變增量不正交，則其相應(yīng)的塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系稱為非關(guān)聯(lián)流動法則。

在應(yīng)變空間，流動規(guī)則可用下式表示：和都為非負的比例系數(shù)。3.2硬化規(guī)律塑性模型三要素屈服條件流動法則硬化規(guī)律判斷何時達到屈服屈服后塑性應(yīng)變增量的方向，也即各分量的比值決定給定的應(yīng)力增量引起的塑性應(yīng)變增量大小硬化規(guī)律：加載面在應(yīng)力空間中的位置、大小和形狀的變化規(guī)律。（確定加載面依據(jù)哪些具體的硬化參量而產(chǎn)生硬化的規(guī)律稱為硬化定律）硬化模型：實際土體硬化規(guī)律+簡化假設(shè)（如采用等值面硬化理論，主應(yīng)力方向不旋轉(zhuǎn)，加載面形狀不變等）金屬材料：采用等向強化和隨動強化；巖土材料：靜力問題采用等向強化；循環(huán)荷載和動力問題采用隨動強化或混合強化常用模型3.2聯(lián).1等向強界化模型這種宴模型葬無論頃在哪迫個方卻向加師載拉巧伸和勿壓縮評強化奸總是僵相等察地產(chǎn)輛生和埋開展吼；在輩復(fù)雜宴加載床條件煮下，霞即表蛾示應(yīng)叫力空在間中藍作形刊狀相算似的屑擴大鬧，如斑圖中OAB垃DD'E'代表等挽向強化敵，圖中B與D'點所侍對應(yīng)糊的應(yīng)借力值沿均為σ's(指絕設(shè)對值)，在晃這種古情況綢下，暮壓縮敲屈服書應(yīng)力節(jié)和彈均性區(qū)慣間都畫隨著貓材料擔(dān)強化掘而增軟大。在應(yīng)冒力空幸間中很，這螞種后震繼屈惹服面縫的大裁小哨只與鵲最大泳的應(yīng)護力狀徒態(tài)有腰關(guān)，來而與毫中間賄的加靈載路毀徑無靈關(guān)。捕在右篇圖中胡，路者徑1與路徑2的最終她應(yīng)力遞狀態(tài)都露剛好對純應(yīng)于加們載過程刊中最大優(yōu)應(yīng)力狀靠態(tài)，因趣此兩者傻的最終嫁后繼屈真服是一插樣的；釘而路徑3的最終威后繼屈設(shè)服面由夠加載路銀徑中最辭大應(yīng)力醋狀態(tài)來參定。3.魯2.孩2隨動強謠化模型圖中OAB墨CDE代表脊隨動增強化格模型野，彈解性卸包載區(qū)黎間是喘襯始鴿屈服郵應(yīng)力σs的兩倍遣。根據(jù)湯這種模導(dǎo)型，材繪料的彈忠性區(qū)間尺保持不豪變，但傍是由于怨拉伸時請的強化嗚而使壓務(wù)縮屈服錢應(yīng)力幅暈值減小腰。與等重向強掏化模瘡型不偏同，別隨動?xùn)|強化速模型蔑是考每慮包穩(wěn)辛格擠效應(yīng)越的。孝在單墾向拉踩壓情圖況下務(wù)，隨真動強謊化模氏型可紹以用珠下式瘦表示搭：包辛格狠逆效應(yīng)敏（Bau嗓sch留ing促er）分直擦接包辛活格效應(yīng)民及包辛膽格逆效雜應(yīng)。直灘接包辛無格效應(yīng)教指拉伸煮后鋼材腫縱向壓偉縮屈服脈強度小籌于縱向元拉伸屈面服強度滔，如圖1所示郊；包暴辛格搖逆效企應(yīng)在桌相反酸的方叮向產(chǎn)刺生相圖反的篩結(jié)果換，如輸圖2所示懼。普拉格禮將隨動蛋強化模中型推廣章到復(fù)雜料應(yīng)力狀忘態(tài)中，嚴他假定鍵在塑性娘變形過至程中，厲屈服面詳形狀和雜大小都紡不改變存，只是師在應(yīng)力腔空間內(nèi)珍作剛體槍平移。3.漆2.微3混合夢強化柄模型運動負硬化情和等協(xié)向硬低化的忍組合臣，可牲以構(gòu)命成更斯一般蕩的硬刃化模訪型，坑稱為連混合腳強化恢模型這時，被后繼屈慘服面既頃有位置繼的改變類，也產(chǎn)鉆生均勻悅的膨脹育。等向明強化混合強搞化隨動強仰化(運動召強化)初始登屈服漂面3.革2.卡4加工硬粉化規(guī)律加工織硬化村規(guī)律尖是決嫂定一歸個給猜定的底應(yīng)力翠增量炸引起平的塑棍性應(yīng)源變增史量的塊一條莊規(guī)則犁，在鉛流動頃規(guī)律晃中，dλ這個閘因素著可以溪假定信為：式中，A為硬俯化參些數(shù)Hα的函躺數(shù)。不同兼的學(xué)鼓者曾哭建議剩不同雨的硬艇化規(guī)賤律來去計算A的數(shù)換值，透常用砍的硬德化規(guī)及律有速下列吉幾種這：塑性莊功Wp硬化蹲定律蘇：矩陣咸形式封：由得：塑性應(yīng)蠶變εijp硬化腸定律納：進一步護有：由得：塑性體救應(yīng)變εvp硬化定主律設(shè)廣義裳塑性盈力學(xué)煤中，貝如果叉取于是：矩陣煤形式攔：由則有：3.3彈塑口性本侵構(gòu)關(guān)愛系屈服條蹄件流動靠法則硬化規(guī)永律判斷臭何時給達到擇屈服屈服后底塑性應(yīng)例變增量宅的方向稀，也即混各分量鄙的比值決定給邪定的應(yīng)努力增量諸引起的套塑性應(yīng)冷變增量膊大小本節(jié)鄉(xiāng)豐內(nèi)容塑性本青構(gòu)關(guān)系彈性楚本構(gòu)駕關(guān)系彈塑壁性本柜構(gòu)關(guān)爪系塑性忠增量蕩理論購又稱霉為塑忘性流至動理廳論，效它把刷塑性廢變形脅看成婦非線苗性流傾動?；樗苄愿粼隽烤枥碚撚嫲褢?yīng)之變增運量分舟為彈贈性應(yīng)禿變增核量和亞塑性悼應(yīng)變缸增量統(tǒng)兩部掀分，寸即蜜式屋中，件彈性哈應(yīng)變封增量織應(yīng)用遍廣義紗虎克爐定律循計溝算，曬塑性略應(yīng)變?nèi)乖隽克愀鶕?jù)埋塑性催增量常理論足計算喂。塑尤性增之量理咬論主蜻包括握三個杏部分輛：關(guān)照于屈忽服面監(jiān)理論死，關(guān)央于流仙動規(guī)身則理聚論，蔬關(guān)于越加工鑰硬化(或軟燒化)理論澡。應(yīng)百用彈浮塑性丟增量觸理論烏計算姓塑性住應(yīng)變忌：首俱先，去要確飲定材洗料的涼屈服鎖條件閃，對絲式加工票硬化段材料有，需期要確信定材甜料是嫂否服刊從昌相關(guān)貫聯(lián)流付動規(guī)丸則。司若材稻料服必從不押相聯(lián)師流動候規(guī)則嚴，沿哄需確強定材堂料的卷塑性起勢函死數(shù)。仰然后臺，還被需要癢確定浙材料撕的硬兇化或怨軟化擋規(guī)律敢。最陷后可描運用浮流動遭規(guī)則聯(lián)理論坊確定擊塑性罩應(yīng)變慢增量皆的方舌向，避根據(jù)蟻硬化挪規(guī)律乏計算允塑性掌應(yīng)變頭增量襲的大誘小。3.3迷.1塑性增耍量理論3.鉗3.桑2一個妨普遍釀的彈軋塑性喘模量貫張量葬表達隊式加工硬疫化規(guī)律衛(wèi)是決定低一個給讓定的應(yīng)嶺力增量云引起的津塑性應(yīng)優(yōu)變增量巨的一條皺規(guī)則，鏟在流動打規(guī)律中教，dλ這個翠因素還可以射假定皆為：廣義虎爪克定律媽用增量裁形式表講示：根據(jù)窮塑性停勢函乖數(shù)：以及進一育步有惕：(b鬧)(a照)將(b橡)代入(a英)得：再代嬸入(b曾)得：彈塑被性模麥量張務(wù)量彈性宜狀態(tài)應(yīng)力套狀態(tài)彈性應(yīng)嬸變塑性狀恨態(tài)當(dāng)前應(yīng)帳力狀態(tài)暈、加卸迎載狀態(tài)站、加載折歷史蠅、加窄載路冠徑、范微觀廚結(jié)構(gòu)塑性應(yīng)香變<增量關(guān)秧系>沿加差載路紋徑積挨分應(yīng)力傾應(yīng)變退全量羅關(guān)系應(yīng)力應(yīng)盡變增量吧關(guān)系彈塑性發(fā)本構(gòu)關(guān)林系的建宮立3.敞3.憂3廣義虎討克定律基本方翁程增量表牧達式于是待：于是代入引入側(cè)奇限變形影模量M彈性常責(zé)數(shù)關(guān)系闖表3.3下.4無靜水榴壓力影據(jù)響的理攏想彈塑逆性材料侍本構(gòu)關(guān)殊系理想塑工性材料常，適用難于金屬襯材料。采用相懷關(guān)聯(lián)流穩(wěn)動法則由于某俘屈服單灣元周圍筋