圓錐曲線選填（帶詳細(xì)解析）

圓錐曲線選填試題(稍難)

x__y_

已知點(diǎn)F(-c,O)(c>0)是雙曲線=1的左焦點(diǎn)，過戶且平行于雙曲線漸近

/b2

線的直線與圓Y+>2=交于點(diǎn)尸和另一個(gè)點(diǎn)p,且點(diǎn)p在拋物線丫2=4式上，則

該雙曲線的離心率是()

A.y/5B.3+也c.I布+1D.叵

2V22

【答案】C

【分析】

設(shè)p(x,)，),(％>0),利用拋物線的性質(zhì)，雙曲線的漸近線，直線平行的性質(zhì)、圓的性

y2=4cx,①

質(zhì)、聯(lián)立方程組,/+>2=。2,②，建立a,c的關(guān)系即可得到結(jié)論.

上，，③

、x+ca

【詳解】

如圖，設(shè)拋物線丁=45的準(zhǔn)線為/,作PQ_U于。，

雙曲線的右焦點(diǎn)為F'，由題意可知為圓/+>2=c2的直徑,

.?.設(shè)P(x,y),(x>0),則WPR,且tan/P/A=',

y2=4cx，①

滿足<Y+),2=。2,②，將①代入②得x2+4cx_02=0,

上，，③

、x+c

則X=4c±2辰;_2c±?，

2

即x=（—2）c或x=卜\/^—2）c（舍去），

yby

將x=（逐一2）。代入③，得氐12c+c==gp

即），，，（"一",再將代入①得，

a

，*（，力.=硝/一2）,

即匹|U=4（逐一2）,

2（石-）

b42C2_Q22

丁七丁丁”，

解得e2=^上l,所以該雙曲線的離心率是J@±l,故選C.

2V2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查拋物線的定義、圓的性質(zhì)、雙曲線的方程與性質(zhì)以及離心率的求解，屬于

難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾

種情況：①直接求出。，c,從而求出e；②構(gòu)造a,c的齊次式，求出e；③采用離心率的定

義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解.

22

2.已知尸為橢圓二+匕=1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓（x-l）2+V=1的兩條切線,

43

切點(diǎn)分別是A，B,則的取值范圍為（）

3

A.—,+°oC.2>/^-3,~^~D.|^2-\/2—3,+ooj

【答案】C

【詳解】

分析：利用圓的切線與圓心和切點(diǎn)連線垂直得到直角三角形，設(shè)PAPB的夾角為2/

通過解直角三角形求出PA,PB的長(zhǎng)；利用向量的數(shù)量積公式表示出PA.PB，再根據(jù)

三角函數(shù)的二倍角公式化筒函數(shù)，通過換元并結(jié)合基本不等式可求出最值.

試卷第2頁，總88頁

詳解：如圖，PA,PB的夾角為2簧,

.?cn?…iincic1-cosa-1+cosZa-

??PA-PB=\PA\\PB\cos2a=———?cos2a=——--?cos2a------------cosla.

tanasin^a1-cosla

令t=cosla,

則y=------------cosla--------=-3+（1—。+--->2v2-3，當(dāng)且僅當(dāng)

1-cos2a\-t'7\-t

l-r=—,g|J

r=l一近時(shí)等號(hào)成立，

PA-PB的最小值為2拒-3-

又點(diǎn)P在橢圓的左端點(diǎn)時(shí)，的值最大，此時(shí)sina=g,

27

1?cosla=1-2sina--.

9

1+-"

,,?....Q/72）0

的最大值x為一7X-=—.

1--yy

9

；?的取值范圍為[2J5-3,^].

故選C.

點(diǎn)睛：解答解析幾何中的最值問題時(shí)，可選取適當(dāng)?shù)淖兞?，將目?biāo)函數(shù)表示為該變量的

函數(shù)，然后根據(jù)所得函數(shù)的解析式的特征選擇求最值的方法，常用的方法有單調(diào)性法和

基本不等式法.

22

3.已知點(diǎn)耳（一c,0）,鳥（c,0）（c>0）是橢圓與+2T=1（。>。>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)

P是這個(gè)橢圓上位于x軸上方的點(diǎn)，點(diǎn)G是APEK的外心，若存在實(shí)數(shù)2,使得

G4+GE+4GP=0,則當(dāng)鳥的面積為8時(shí)，。的最小值為（）

A.4B.4也C.2娓D.4K+2

【答案】A

【解析】

由于外心在GK的垂直平分線上，故外心在y軸上，而GK+G&方向朝著y軸的負(fù)半

軸，故P點(diǎn)位于橢圓的上頂點(diǎn)，此時(shí)三角形面積為L(zhǎng)-2c/=8/c=8.所以

2

a=yjb2+c2>-j2bc-4，故選A-

【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓的基本性質(zhì)，考查與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的概念,考查三角形外

心的幾何性質(zhì)，考查向量運(yùn)算的幾何意義.本題的突破口在如何確定G點(diǎn)的位置.首先根

據(jù)G點(diǎn)是△2/=；心的外心，外心是三角形各邊垂直平分線的交點(diǎn)，再結(jié)合向量運(yùn)算的幾何

意義可以判斷出G點(diǎn)恰好就是橢圓上頂點(diǎn).

4.已知點(diǎn)P是焦點(diǎn)為尸的拋物線C:y2=2px（〃>0）上的一點(diǎn)，且回|=10,點(diǎn)。是

直線4：2X-y+3=0與4：x+2y-6=0的交點(diǎn)，若也_LQF,則拋物線的方程為（）

A.y2-4xB.9=4x或）3=36x

C.y2=\2xD.y2=12x或y2=28x

【答案】B

【分析】

依題意，/（受,0）；設(shè)P（廿,右），求出。點(diǎn)坐標(biāo)，由尸列出關(guān)于，與打的方

程可得y0的值，由|PF|=1O可得p的值，可得答案.

【詳解】

解：依題意，/（4,0）；設(shè)P（普,％），

聯(lián)立《

/.Limntun丫2

故0(0,3),QF嗎n,-3)3=(翁%-3)；

因?yàn)槭琎LQF,

UUDLRU77V2212

故QFQP=(§-3).(央,％-3)=勺-3(y°-3)=0,解得%=6,且尸(一,6)：

22p4°p

試卷第4頁，總88頁

又由|PF|=10得，帶令記6=10,解得，=2或〃=18,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及基本性質(zhì)，需靈活運(yùn)用已知條件解題，屬于中檔題.

5.設(shè)橢圓E的兩焦點(diǎn)分別為6,8，以耳為圓心，閨馬|為半徑的圓與E交于P，Q

兩點(diǎn)，若為直角三角形，則E的離心率為()

A.且二1B.V2-1C.叵D.V2+1

22

【答案】B

【分析】

由為直角三角形，得NP/譙=90°,可得歸￡|=2°,「用=2缶，利用橢圓

的定義和離心率的概念，即可求解.

【詳解】

如圖所示，因?yàn)椤鳌Ｆ橹苯侨切?，所以NP6居=90°,

所以|PG|=2c,|P用=2夜c,則2c，+2血c=2a，解得e=(=J5—1,故選B

本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中合理利用橢圓

的定義和離心率的概念求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.已知尸是拋物線。：9=2〃;\:(0>())的焦點(diǎn)，拋物線C上動(dòng)點(diǎn)A,3滿足

4/=4/孫若4,3的準(zhǔn)線上的射影分別為M,N且AMFN的面積為5,則|AB|=

91325

A.-B.—D.—

44c瑪4

【答案】D

【分析】

分別利用5皿網(wǎng)=5、DIFCDL8O對(duì)應(yīng)邊成比例、拋物線過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式聯(lián)立求

解即可得到.

【詳解】

過點(diǎn)A作x軸的垂線垂足于C,交NB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.

疆,2疆,2

設(shè)A繇-,y,B遂■，必，則MN=x-%.

SgFN=5

\(y-%)?pio①

D1FCDWD

,AFAC04_y

ABAD5%-y2

\兇=-4%②

22

AF=AM="+LFB=BN=迎"

2p22p2

聯(lián)立①②③解得X=4,%=-1,p=2

故選D

試卷第6頁，總88頁

【點(diǎn)睛】

拋物線C：y2=2Px(p>0)過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)AB可用公式AB=xt+x2+p得出.

7.已知雙曲線C:=-斗=l(a>0力>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳(-c,0),E,(c,0),4為

a，b

雙曲線C的右支上一點(diǎn)，且|A4|=2c,A6與)，軸交于點(diǎn)B,若F/是乙4居片的平

分線，則雙曲線C的離心率e=()

A.V5-1B.匕@C.竺叵D.亞

22

【答案】C

【分析】

先利用角平分線及|A制=2c得到三角形相似，進(jìn)而得到|A8],再根據(jù)角平分線定理也

可得到|A8|,列方程即可求出離心率.

【詳解】

如圖：

由題意得：|A耳|=|耳閭,所以/耳4居=/式居A,

又帆卻=|瑪卻,所以N%月=NB馬可,

又居8是NA居耳的平分線，所以NB6心=NAgB,

所以BAF2~AF2F},所以同月「=|/四―閨司，

即(2c—2a>=|AB|-2c,所以|A5|=迎辿

C

四i=g貝閘+13+1

由角平分線定理知,忸用恒用’J|A8||4閭

|AB|居|2c-2a2c(c-〃)2(c-a)2

所以由所以IAB|二2c

陽閭+M瑪|'2c-2a+2c2c-a

aR

故c2-3ac+a2=0ne2-3e+l=0ne=—--

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

\AB\\AF2\

本題關(guān)鍵是利用角平分線定理得到高=上高,考查了學(xué)生計(jì)算能力，分析能力,

|以］|

是中檔題.

8.已知橢圓工+21=1,若此橢圓上存在不同的兩點(diǎn)A,B關(guān)于直線y=4x+m對(duì)稱,

43

則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

【答案】B

【分析】

設(shè)橢圓上兩點(diǎn)A（xi,yi）、B（X2,y2）關(guān)于直線y=4x+m對(duì)稱,AB中點(diǎn)為M（xo，yo）?

利用平方差法與直線y=4x+m可求得xo=-m,yo=-3m,點(diǎn)M（xo，yo）在橢圓內(nèi)部，將

其坐標(biāo)代入橢圓方程即可求得m的取值范圍.

【詳解】

22

橢圓工+)-=1,即：3x2+4y2-12=0,

43

設(shè)橢圓上兩點(diǎn)A（xi,yi）、B（X2,y2）關(guān)于直線y=4x+m對(duì)稱，AB中點(diǎn)為M（xo,yo）,

試卷第8頁，總88頁

則3xi2+4yi2-12=0,①

3x22+4y22-12-0②

①一②得：3(xi+x2)(X1-X2)+4(yi+y2)(yi-y2)=0,

即3*2x0*(xi-X2)+4*2yo*(yi_y2)=0,

.x%=3%=1

??玉一44%4

/.yo=3xo,代入直線方程y=4x+m得xo=-m,yo=-3m；

因?yàn)?xo,yo)在橢圓內(nèi)部，

.,.3m2+4?(-3m)2<12,即3m2+36m2<12,解得一2)叵叵.

1313

故選B

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，著重考查平方差法的應(yīng)用，突出化歸思想的考查,

屬于難題.

22

9.已知橢圓C:鼻+方=1(。>〃>0),耳,F?為其左、右焦點(diǎn)，P為橢圓。上除

長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，G為心內(nèi)一點(diǎn)，滿足3PG=PFI+PK，鳥的內(nèi)心

為/,且有/G=/l6月(其中4為實(shí)數(shù))，則橢圓C的離心率e等于()

112J3

A.-B.—C.-D.—

3232

【答案】B

【解析】

設(shè)。(不,％),耳(-c,0),g(c,0)，

由3PG=PF1+P6，可得G為△耳PF2的重心，

即有G點(diǎn)坐標(biāo)為

由/G=2耳入，可得/G〃x軸，

即有/的縱坐標(biāo)為比,

3

在紳尸居中，|尸盟+歸閭=次，閨閭=2c,

則；忻用也|.

因?yàn)?為鳥的內(nèi)心，故有/的縱坐標(biāo)即為內(nèi)切圓半徑，

所以/歸=，|吶+怛閭+附-，

故小同閭=；(附|+忻用+陽吟，

即g，2cjyo|=g(2a+2c)-y,

整理得2c=a，

故橢圓C的離心率e=￡=’.選B.

a2

點(diǎn)睛：

(1)本題中的向量條件較多，解題時(shí)要根據(jù)所給的向量式得到相應(yīng)的位置和數(shù)量關(guān)系，

如在本題中得到點(diǎn)G為三角形的重心是解題的關(guān)鍵，并由此得到內(nèi)心的縱坐標(biāo)，然后利

用△耳Pg面積的兩種不同表現(xiàn)方式得到2c=a,從而得到離心率.

(2)求橢圓的離心率或其范圍時(shí)，將提供的條件中的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于橢圓的基本

量。，仇C的方程或不等式，利用〃=從+。2和e=￡轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式，通

a

過解方程或不等式可得所求.

10.已知雙曲線：三一二=l(a>0*>0)的左右焦點(diǎn)分別為耳,后，焦距為2c,直

ab'

線T=/(x+c)與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn).1/滿足乙\疔花=241氏石，則雙曲線的離心

率為()

A.72B.后C.2D.73+1

【答案】D

【解析】

試題分析：由直線)'=后(工+0與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)“可知NM&15=24叭F』

60°,則雙曲線的離心率為e=亭=8+L故選D.

考點(diǎn)：雙曲線及其離心率.

11.若隨機(jī)變量J~(3,20192),且尸片Wl)=AJ2a).已知F為拋物線y2=4x的

試卷第10頁，總88頁

焦點(diǎn)，。為原點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)A在拋物線上，且IA尸1="，則

|P4|+|P0|的最小值為()

A.75B.V13C.2亞D.2萬

【答案】D

【分析】

根據(jù)已知條件先得到a的值即得到了|AF|的值，再利用拋物線的定義由|A目的值可得

到A點(diǎn)的坐標(biāo)為A(4,4)，要求IPA|+1尸。|的最小值即要在準(zhǔn)線上找一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)

的距離之和最小，最后利用平面幾何的方法即可求出距離之和的最小值.

【詳解】

隨機(jī)變量J~N(3,20192),且P(JW1)=尸42a),

「?1和a關(guān)于x=3對(duì)稱，

.?.、二5即IA尸|=5,

設(shè)A為第一象限中的點(diǎn)，A(x,y)，

拋物線方程為：y2=4x,F(l,o),

同尸|=x+l=5解得x=4即A(4,4),

.-■4(4,4)關(guān)于準(zhǔn)線》=一1的對(duì)稱點(diǎn)為4(-6,4),

根據(jù)對(duì)稱性可得：|B4|=|PA|

；?|PA|+1PO\=|PA'|+1PO\>|=1(-6)2+42=后=2713

當(dāng)且僅當(dāng)A,P,O三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.如圖

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用拋物線的定義求解距離，定直線上的動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和的最小

值，關(guān)鍵是利用對(duì)稱性把距離之和最小值轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線問題，屬于較難題.

22

12.過雙曲線。：二―4=1(。>00>0)的一個(gè)焦點(diǎn)尸作雙曲線。的一條漸近線的

ab，

垂線，若垂足恰好在線段。月的垂直平分線上，則雙曲線C的離心率是()

A.----B.V3C.2D.V2

3

【答案】D

【解析】

22?

c：0-與=13>0]>0)y=-x

試題分析：因?yàn)殡p曲線a"一的一條漸近線為.a,且過其

ba,

_?y=—xy-—(x—c)

焦點(diǎn)b(c，°)的直線,與.。垂直，所以直線’的方程為：.b,所以由

a

>=T(x—c)

b

_ba2c"2c/

y——xx--------==—

la可得垂足的橫坐標(biāo)為標(biāo)+^C?c.因?yàn)榇棺闱『迷诰€段

ca2cc2

x——————-=2

。尸的垂直平分線2上，所以c2,即a-，所以雙曲線C的離心率為

e=6,故應(yīng)選O.

考點(diǎn)：1、雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；2、直線與雙曲線的綜合問題.

【思路點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和直線與雙曲線的綜合問題，屬中檔

題.其解題的一般思路為：首先求出雙曲線的一條漸近線與過焦點(diǎn)的與之垂直的直線的

交點(diǎn)，然后由該交點(diǎn)在線段°尸的垂直平分線上，即可得出關(guān)于a，4。之間的等式關(guān)系，

最后由雙曲線的離心率的計(jì)算公式即可得出所求的結(jié)果.

13.已知兩定點(diǎn)A(—1,0)和8(1,0),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在直線/:y=x+2上移動(dòng)，橢圓C以

A8為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)p,記橢圓C的離心率為e(x),則函數(shù)y=e(x)的大致圖像是

()

試卷第12頁，總88頁

c.D.

【答案】D

【解析】

在直線/：y=x+2上移動(dòng)，二

2a=\PA\+\PB\.

當(dāng)xf+co時(shí)，2a—>+oo,>0,排除A，B；當(dāng)無一>，》時(shí)，2a—>+oo,

ef0,排除C,過A作直線y=x+2的對(duì)稱點(diǎn)C,則此時(shí)

為=|%+|。8區(qū)|8|+|。3=忸4,此時(shí)。有最小值，對(duì)應(yīng)的離心率e有最大值，

綜上選D.

點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，利用橢圓的定義和橢圓的離心率是解決本

題的關(guān)鍵，利用極限思想是解決本題的突破點(diǎn)，具有一定難度；作出直線y=x+2,

根據(jù)點(diǎn)尸的位置變化，得到。的取值范圍，然后判斷離心率e的取值范圍是即可得到結(jié)

論.

14.已知梯形A8CO滿足A8〃CZ),NBAO=45。，以A,。為焦點(diǎn)的雙曲線「經(jīng)過

B,C兩點(diǎn).若C〃=7A3,則雙曲線「的離心率為()

.3723Gr36口3+亞

A.----O1.1---V.L>.------

4444

【答案】A

【分析】

先畫出大致圖象，結(jié)合雙曲線的定義以及余弦定理求得a,c之間的關(guān)系即可得到結(jié)論.

【詳解】

如圖：連接4C,BD,設(shè)雙曲線的焦距A￡)=2c,實(shí)軸長(zhǎng)為2a,

則BD-AB=AC-CD=2cb

設(shè)AB=加，貝lJCD=7"z,BD=2a+m,AC=2a+7m,ZBAD=45°,ZADC=135°,

在△AB。中，由余弦定理及題設(shè)可得：（2〃+機(jī)）?=nfi+48-2cmc，

在△ACO中，由余弦定理及題設(shè)可得：（2a+7〃?）2=49A??2+4C2+14y/2mc，

整理得：y/2（*-。2）=m（J^ci+c）,y/2（c2-a2）=7tn（

兩式相結(jié)合得：叵a+c=7（0a-c）,故6&a=8c,

雙曲線〃的離心率為e=g=￡Z.

a4

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了雙曲線的離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力，畫出圖像是解

題的關(guān)鍵.

15.過拋物線丁2=2'彳(〃>0)的焦點(diǎn)/作直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)4,與準(zhǔn)線

AF\

在第三象限交于點(diǎn)B,過點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為”.若tan/4/H=2,則焉=

Dr

()

,543

A.-B.-C.-D.2

432

【答案】C

【分析】

需結(jié)合拋物線第一定義和圖形，得AFH為等腰三角形，設(shè)準(zhǔn)線與X軸的交點(diǎn)為M，

過點(diǎn)/作FCLA”,再由三角函數(shù)定義和幾何關(guān)系分別表示轉(zhuǎn)化出

\BP\^P

'cos（萬一2a）,

試卷第14頁，總88頁

I.?iplana

四匕/_20，結(jié)合比值與正切二倍角公式化簡(jiǎn)即可

【詳解】

如圖，設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為M，過點(diǎn)F作“'LA”.由拋物線定義知|A目=,”,

所以/=/4尸〃=a,ZFAH=7r—2a=NOFB,

igFi_H_,

1cos（萬一2a）cos（乃一2a）

“1=|CF|_|CW|tan6Z_ptana

sin（zr-2a）sin（乃一2a）sin（〃-2a）

Af|tanatana_tan2a-1_3

所以

BF\tan-2a）-tanla22

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，三角函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于

中檔題

V2V2

已知雙曲線。：=一與的左、右焦點(diǎn)分別為環(huán)，以耳弱為直徑的圓與雙

16.=1F2,

ab

曲線的四個(gè)交點(diǎn)依次連線恰好構(gòu)成一個(gè)正方形，則雙曲線的離心率為（）.

A.V2B.2+V2C,2D.也+及

【答案】D

【分析】

設(shè)以耳心為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為＞0,〃＞0,代入雙曲線

和圓的方程，根據(jù)正方形關(guān)系，求解離心率.

【詳解】

設(shè)以《鳥為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為6（根，〃），相＞0,〃〉0,

m2n2

2?=c2

薩一瓦m+相

以片鳥為直徑的圓與雙曲線的四個(gè)交點(diǎn)依次連線恰好構(gòu)成一個(gè)正方形，則m=n

代入可得：J—J=l,-1--―~~4=1

2a22b22a-2(廠一礦)

(c2-a2)c2-a2c2-2a°(c2-a2)

c4-4a2c2+2a4=0,兩邊同時(shí)除以/得:

e4-4e2+2=0>e2=4±y^=2±y/2，雙曲線離心率e>l,e?>1

2

e?=2+及

所以e=j2+JE

故選：D

【點(diǎn)睛】

此題考查通過雙曲線上的點(diǎn)的關(guān)系求解離心率，關(guān)鍵在于將題目所給條件轉(zhuǎn)化成代數(shù)關(guān)

系求解，構(gòu)造齊次式解方程.

2-)

17.雙曲線二=l(a>0,z?>o)的左右焦點(diǎn)分別為為，尸2,過肌的直線交曲線

CT

左支于48兩點(diǎn)，△/2AB是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且NAg8=30°.若該

雙曲線的離心率為e,則e2=()

A.11+4百B.13+5百C.16-673D.19-10百

【答案】D

【分析】

設(shè)忸用=2〃?，根據(jù)△?AB是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且44外3=3(),以及

雙曲線的性質(zhì)可得|AR|=2a(3—J§),|M|=2a(2—6)，再根據(jù)勾股定理求得凡。的

關(guān)系式，即可求解.

【詳解】

由題意,設(shè)忸圖=2根，如圖所示,

因?yàn)锳KAB是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且乙465=30,

試卷第16頁，總88頁

=2a,所以=G加-2a,

由忸閭一忸耳|=2a,所以忸耳|=2加一2a,

所以+忸制=|AB|,即yfjrn-2a+2m-2a=m>

所以m=2。(百一1),

所以|A段=G?2a(g—1)=2a(3—6)，|筋|=2"(3—百)-2a=2a(2-G),

在直角△片A6中，|A￡『+|A居『=402,即4a2給一+4/Q一百y=402,

l2r-

整理得(19—1()6)〃=°2,所以/=—r=19-1073,

a'

本題主要考查了雙曲線的定義，以及雙曲線的幾何性質(zhì)一一離心率的求解，其中求雙曲

線的離心率（或范圍），常見有兩種方法：①求出a，c,代入公式e=￡；②只需要根據(jù)

a

一個(gè)條件得到關(guān)于a/,c的齊次式，轉(zhuǎn)化為“，c的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程，

即可得e的值（范圍）..

18.已知拋物線G：y2=2px（p>0）與圓。2：v+y一12彳+11=0交于A，B,C,

。四點(diǎn).若軸，且線段BC恰為圓G的一條直徑，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為（）

11

A.—B.3

6

11

C.—D.6

3

【答案】A

【分析】

求出圓心和半徑，根據(jù)BCA,無軸和線段8c恰為圓C2的一條直徑得到5,C的坐標(biāo)，

代入拋物線方程求得P的值，設(shè)出A點(diǎn)的坐標(biāo)，利用8c是圓的直徑，所對(duì)圓周角為直

角，即AC-A6=0，由此求得A點(diǎn)的橫坐標(biāo).

【詳解】

圓。2：/+;/—12X+1I=0可化為（尤—6p+y2=52,故圓心為（6,0）,半徑為5,

由于8CJ_x軸和線段BC恰為圓C2的一條直徑，故3（6,-5）,。（6,5）.將8點(diǎn)坐標(biāo)代

入拋物線方程得25=12〃，故〃=上，拋物線方程為丁2=上工設(shè)A—,a,由

126125J

于8C是圓的直徑，所對(duì)圓周角為直角，即ACLA5,也即AC.A8=0,所以

Z66r6a21八八七/曰36/47/一_力刀,曰

6———,5—6/-6——-,—5—6/=0,化簡(jiǎn)得-------------F11=0,解得

I25八25）62525

?2=—,故A點(diǎn)橫坐標(biāo)為％=色乂變=口.故選A.

362525366

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查圓和拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的對(duì)稱性，考查拋物線方程的求法,

試卷第18頁，總88頁

考查圓的幾何性質(zhì)，考查圓一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，考查圓的直徑所對(duì)的圓周為直角,

考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，運(yùn)算量較大，屬于中檔題.

19.過拋物線C：V=4x焦點(diǎn)的直線交該拋物線。于點(diǎn)A，B,與拋物線C的準(zhǔn)線

交于點(diǎn)P,如圖所示，則P/LP8的最小值是（）

【答案】C

【分析】

設(shè)直線AB的方程為y=Mx-1）與拋物線方程聯(lián)立,根據(jù)韋達(dá)定理以及向量的數(shù)量積坐

標(biāo)表示求得PA-PB，再根據(jù)基本不等式可求得最小值.

【詳解】

因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)尸（1,0）,

M

所以設(shè)直線A3的方程為y=%*-1）,A（,y）,B{X2,%），則尸（T,一2Q,

將y=-x-1）代入至ij丁=而，整理得k2x2一（2公+4）x+二=0,

2

ri?2P+4.4k,

則玉+x2=———=2+出，玉％2=正=1

4

所以y+丁2=%（玉-1）+攵（工2-1）=%（玉+%2）_22=%，

X%=-J4X]?4%2=一，16中2=-V16=-4,

所以小?PB=（%+1,y+2%）?（9+1,必+2幻=（%,+1）（々+1）+（%+2Z）（%+2Q

=XtX2+X1+犬2+1+%丫2+2左（凹+丁2）+4左2

44,

=l+2+-+\-4+2kx-+4k2

k2k

=5+4公+822后二^+8=8+8=16,當(dāng)且僅當(dāng)3=4攵2,即左=±1時(shí)取得等

號(hào).

故選:c

【點(diǎn)睛】

本題考查了直線與拋物線相交，韋達(dá)定理，向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，基本不等式等知識(shí),

屬于中檔題.

22

20.已知雙曲線￡—"=1的左、右焦點(diǎn)分別為片、F2,過用且與x軸垂直的直線/

與雙曲線的兩條漸近線分別交于A、8兩點(diǎn)，|43|=3后,加(4,1),若雙曲線上存在一

點(diǎn)「使得|PM|+|P閭,"，貝h的最小值為()

A.5A/2B.V2C.572+4D.572-4

【答案】D

【分析】

先由|AB|=3出求出然后求f的最小值要轉(zhuǎn)化為求|加|+歸6|的最小值，在求

|PM|+|P周的最小值時(shí)要用雙曲線的定義將|尸周轉(zhuǎn)化為歸國(guó)-4,最后可得當(dāng)點(diǎn)

P、耳、M共線時(shí),1PMl+|尸制最小

【詳解】

試卷第20頁，總88頁

22

由土一與=1可知。=2,

4b2

所以45|=竺=歷=3后

所以〃,2=45又因?yàn)椤?=4+〃

所以〃(4+/)=45,可解得〃=5

因?yàn)殡p曲線上存在一點(diǎn)P使得IPM|+戶周,,t

所以求t的最小值即為求|PM|+歸國(guó)的最小值

易得要使|9%|+|產(chǎn)區(qū)|最小，點(diǎn)「應(yīng)在雙曲線的右支上

由雙曲線的定義可得：|產(chǎn)照一|叫|=2°=4

所以|P閭=|P4|-4

所以|PM|+|PgR+歸周-4

由圖可知，當(dāng)點(diǎn)P、6、M共線時(shí)，|PM|+|P周最小

最小值為用=5板

所以|PM|+歸國(guó)的最小值為5a-4

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題只要考查雙曲線的定義、方程、幾何性質(zhì)和雙曲線中的最值問題，屬于較難題，雙

曲線中的最值問題一般要利用定義將雙曲線上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離相互轉(zhuǎn)化.

21.過拋物線V=2px(p＞0)的焦點(diǎn)尸且傾斜角為?的直線交拋物線于A、B兩

點(diǎn)，若.網(wǎng).＞,陽,,則|A岸F|=()

A.72B.73C.2D.3

【答案】D

【解析】

拋物線儼=2"0＞。)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為名,0),

7[

??,直線/傾斜角為一，

3

直線/的方程為：y-0=V3（x-^）.

設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為A（xz,g。、83/2），

?4?|A曰=Xi+yJ|BF|=X2+y?

聯(lián)立方程組，消去g并整理，得工2產(chǎn)-2平+邛2=。,

解得X4普必=2

20

.?.|AF|：|BF|=3:i,

故選：P.

點(diǎn)睛：本題重點(diǎn)考查了拋物線的幾何性質(zhì)，方程，直線與拋物線的位置關(guān)系

等知識(shí)，屬于中檔題.

22.直線/與拋物線y2=4x相交與A8兩點(diǎn)，若Q4，03（。是坐標(biāo)原點(diǎn)），則MOB

面積的最小值為（）

A.32B.24C.16D.8

【答案】C

【解析】

設(shè)直線74C的方程為：后的+

點(diǎn)A（x,,y）,3（馬,必），直線/行與*軸的交點(diǎn)為M>iQ），

片44■放I代入=^^可得夕-彳0-彳加二。，

根據(jù)韋達(dá)定理有》1■為=-4"，X+%=今

,：OALOB，

0406=0，

.?.玉?々+x?%=°,從而（；%+y,%=o，

?點(diǎn)4夕位于*軸的兩側(cè)，

故"=4?

不妨令點(diǎn)/4在，軸上方，則yi>O,

AA0B面積SMOB=gx4x|y一%|=2j（y+%產(chǎn)-4y.%=2716r+64>16.

試卷第22頁，總88頁

當(dāng)且僅當(dāng)，=0時(shí)，AAQ3面積的最小值為16.

故選C.

23.已知拋物線「：y2=2px（〃>0）,從點(diǎn)例（4,a）（a>0）發(fā)出，平行于x軸

的光線與「交于點(diǎn)A，經(jīng)「反射后過「的焦點(diǎn)N,交拋物線于點(diǎn)3,若反射光線的傾

斜角為千，IAN|=2,則的重心坐標(biāo)為（）

【答案】C

【分析】

如圖所示，過點(diǎn)N作NCLAW,垂足為點(diǎn)C,計(jì)算A僅一1,⑸，M[4,5,得

到P=3,A3的方程為、=一&1無一1），聯(lián)立方程得到％+方=-2百，玉+尤2=5,

根據(jù)重心公式計(jì)算得到答案.

【詳解】

如圖所示，過點(diǎn)N作NC_LAM,垂足為點(diǎn)C,

因?yàn)閨AN|=2,反射光線的傾斜角為?，所以|AC|=1,|NC|=JL

可得與=勺1，乃=6即點(diǎn)-1,百），M（4,?

將點(diǎn)A1曰一1,百]代入丁=2〃%（p>0）中，得3=2p（5-l）,

解得p=3或。=一1（舍去）,

所以拋物線的方程為丁6x,直線AB的方程為'=

y

設(shè)點(diǎn)A（XQJ,3（w，%）,聯(lián)立<

)3=6x,

顯然/>0,故y+必=-7^=一2百.

又因?yàn)閄+%=—1(玉+9—3),所以％]+々=5.

設(shè)MBM的重心坐標(biāo)為(x,y),

所以戶內(nèi)+/+4=3,X+h+G/4,

333

所以AABM的重心坐標(biāo)為13,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線的性質(zhì)及直線與拋物線的位置關(guān)系、三角形的重心坐標(biāo)公式，意在考

查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.

x2y2

24.已知點(diǎn)P為雙曲線1r—F=l（a>0,b>0）右支上一點(diǎn)，F(xiàn)”Fz分別為雙曲線的左

b2

右焦點(diǎn)，且IFIFZUa,G為三角形PF1F2的內(nèi)心，若SACPF1=SACTF2+入SAGF1F2成立，則

入的值為（）

1+2艱

A.-2—B.2逐一1C.V2+1D.0

-1

【答案】D

【解析】

試題分析：三角形內(nèi)心到三邊的距離相等，所以由‘立次=s心路+5年瓦可知

產(chǎn)冗=尸2+片片，在雙曲線中，由雙曲線定義有尸々-%=2。，且焦點(diǎn)距離為

2

|耳瑪|=2必壽b

T,由上述三式可求得義的值為應(yīng)-1,故本題的正確選項(xiàng)為D.

考點(diǎn)：內(nèi)心的性質(zhì)，雙曲線的定義.

【方法點(diǎn)睛】題中三個(gè)小三角形是內(nèi)心與三角形其中兩點(diǎn)所構(gòu)成的三角形，所以首先得

試卷第24頁，總88頁

熟悉內(nèi)心的性質(zhì)，由內(nèi)心的性質(zhì)，可知這三個(gè)三角形的高相等，由此可將面積相等轉(zhuǎn)換

為三邊的關(guān)系，再利用雙曲線的定義，便可將兩邊之差轉(zhuǎn)換為一條邊，從而利用己知的

焦距，輕松求得；I的值.

2

25.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：土+丁=1,直線/與橢圓交于A,6兩點(diǎn)，

4

當(dāng)。到直線A8的距離為1時(shí)，則。鉆面積的最大值為（）

A.20B.—C.1D.

25

【答案】C

【分析】

當(dāng)A81.X軸時(shí)，易求三角形面積，當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線方程為丫=履+，〃，

由坐標(biāo)原點(diǎn)。到直線的距離為Z可得加2=公+1，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)

于x的一元二次方程，由弦長(zhǎng)公式求得同同，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求其最大值，則

AQB面積的最大值可求.

【詳解】

當(dāng)AB'x軸時(shí)，|AB|=g,SOAB=；，51=^；

當(dāng)A8與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線A3的方程為丫=辰+利，A（X1,yJ,網(wǎng)修,分），

\m\入

則有/,=1?得加2=%?+1，

y=kx-\-m

聯(lián)立＜,得（1+4/?）》2+8Amr+4/?2—4=0,

-+/=1

I4-

._8km4（m2-1）

16（M-1）

64k2m之

A\ABf=（1+左2）（玉_9）2=（1+左2）

”+1）24A2+1

16（1+公）（4公+1一叫‘J2妹2―3J」3（8公+2—3）

（4—+1）2+（1+軟2『+（1+4/）2

3+3-------入-----------------

[1+4/(1+以2『

則|時(shí)=3+3（-3〃2+2〃）=3+3

當(dāng)且僅當(dāng)〃=—1^=1,即比=±變時(shí)，「最大，此時(shí)|陰=2,

1+4/3211?Imax

此時(shí)AQ夕面積的最大值為：-x2xl=l,

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考