精選模擬退火算法詳解講義

（優(yōu)選）模擬退火算法詳解課件目前一頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.1模擬退火算法及模型

3.1.1物理退火過程

3.1.2組合優(yōu)化與物理退火的相似性

3.1.3模擬退火算法的基本思想和步驟

3.2模擬退火算法的馬氏鏈描述

3.2.1馬爾可夫鏈

3.2.2模擬退火算法與馬爾可夫鏈

3.3模擬退火算法的關鍵參數(shù)和操作的設計

3.3.1狀態(tài)產(chǎn)生函數(shù)

3.3.2狀態(tài)接受函數(shù)

3.3.3初溫

3.3.4溫度更新函數(shù)

3.3.5內(nèi)循環(huán)終止準則

3.3.6外循環(huán)終止準則

現(xiàn)代優(yōu)化計算目前二頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.4模擬退火算法的改進

3.4.1模擬退火算法的優(yōu)缺點

3.4.2改進內(nèi)容

3.4.3一種改進的模擬退火算法3.5模擬退火算法實現(xiàn)與應用

3.5.130城市TSP問題（d*=423.741byDBFogel）

3.5.2模擬退火算法在管殼式換熱器優(yōu)化設計中的應用現(xiàn)代優(yōu)化計算目前三頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.1模擬退火算法及模型

現(xiàn)代優(yōu)化計算算法的提出

模擬退火算法最早的思想由Metropolis等（1953）提出，1983年Kirkpatrick等將其應用于組合優(yōu)化。算法的目的解決NP復雜性問題；克服優(yōu)化過程陷入局部極?。豢朔踔狄蕾囆?。

3.1.1物理退火過程目前四頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.1模擬退火算法及模型

現(xiàn)代優(yōu)化計算物理退火過程

什么是退火：退火是指將固體加熱到足夠高的溫度，使分子呈隨機排列狀態(tài)，然后逐步降溫使之冷卻，最后分子以低能狀態(tài)排列，固體達到某種穩(wěn)定狀態(tài)。

3.1.1物理退火過程目前五頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.1模擬退火算法及模型

現(xiàn)代優(yōu)化計算物理退火過程

加溫過程——增強粒子的熱運動，消除系統(tǒng)原先可能存在的非均勻態(tài)；等溫過程——對于與環(huán)境換熱而溫度不變的封閉系統(tǒng)，系統(tǒng)狀態(tài)的自發(fā)變化總是朝自由能減少的方向進行，當自由能達到最小時，系統(tǒng)達到平衡態(tài)；冷卻過程——使粒子熱運動減弱并漸趨有序，系統(tǒng)能量逐漸下降，從而得到低能的晶體結(jié)構(gòu)。

3.1.1物理退火過程目前六頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點熱力學中的退火現(xiàn)象指物體逐漸降溫時發(fā)生的物理現(xiàn)象：溫度越低，物體的能量狀態(tài)越低，到達足夠的低點時，液體開始冷凝與結(jié)晶，在結(jié)晶狀態(tài)時，系統(tǒng)的能量狀態(tài)最低。緩慢降溫（退火，annealing）時，可達到最低能量狀態(tài)；但如果快速降溫（淬火，quenching），會導致不是最低能態(tài)的非晶形。大自然知道慢工出細活：緩緩降溫，使得物體分子在每一溫度時，能夠有足夠時間找到安頓位置，則逐漸地，到最后可得到最低能態(tài)，系統(tǒng)最穩(wěn)定。3.1模擬退火算法及模型

3.1.1物理退火過程現(xiàn)代優(yōu)化計算目前七頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點模仿自然界退火現(xiàn)象而得，利用了物理中固體物質(zhì)的退火過程與一般優(yōu)化問題的相似性

從某一初始溫度開始，伴隨溫度的不斷下降，結(jié)合概率突跳特性在解空間中隨機尋找全局最優(yōu)解3.1模擬退火算法及模型

3.1.1物理退火過程現(xiàn)代優(yōu)化計算目前八頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.1模擬退火算法及模型

現(xiàn)代優(yōu)化計算數(shù)學表述

在溫度T，分子停留在狀態(tài)r滿足Boltzmann概率分布

3.1.1物理退火過程目前九頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.1模擬退火算法及模型

現(xiàn)代優(yōu)化計算數(shù)學表述在同一個溫度T，選定兩個能量E1<E2，有

3.1.1物理退火過程<1>0模擬退火算法基本思想：在一定溫度下，搜索從一個狀態(tài)隨機地變化到另一個狀態(tài)；隨著溫度的不斷下降直到最低溫度，搜索過程以概率1停留在最優(yōu)解目前十頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.1模擬退火算法及模型

3.1.1物理退火過程現(xiàn)代優(yōu)化計算Boltzman概率分布告訴我們：

（1）在同一個溫度，分子停留在能量小狀態(tài)的概率大于停留在能量大狀態(tài)的概率（2）溫度越高，不同能量狀態(tài)對應的概率相差越??；溫度足夠高時，各狀態(tài)對應概率基本相同。（3）隨著溫度的下降，能量最低狀態(tài)對應概率越來越大；溫度趨于0時，其狀態(tài)趨于1目前十一頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.1模擬退火算法及模型

現(xiàn)代優(yōu)化計算數(shù)學表述

若|D|為狀態(tài)空間D中狀態(tài)的個數(shù)，D0是具有最低能量的狀態(tài)集合：當溫度很高時，每個狀態(tài)概率基本相同，接近平均值1/|D|；狀態(tài)空間存在超過兩個不同能量時，具有最低能量狀態(tài)的概率超出平均值1/|D|；當溫度趨于0時，分子停留在最低能量狀態(tài)的概率趨于1。

3.1.1物理退火過程能量最低狀態(tài)非能量最低狀態(tài)目前十二頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.1模擬退火算法及模型

現(xiàn)代優(yōu)化計算Metropolis準則（1953）——以概率接受新狀態(tài)固體在恒定溫度下達到熱平衡的過程可以用MonteCarlo方法（計算機隨機模擬方法）加以模擬，雖然該方法簡單，但必須大量采樣才能得到比較精確的結(jié)果，計算量很大。

3.1.1物理退火過程目前十三頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.1模擬退火算法及模型

現(xiàn)代優(yōu)化計算Metropolis準則（1953）——以概率接受新狀態(tài)若在溫度T，當前狀態(tài)i→新狀態(tài)j

若Ej<Ei，則接受j為當前狀態(tài)；否則，若概率p=exp[-(Ej-Ei)/kBT]

大于[0,1)區(qū)間的隨機數(shù)，則仍接受狀態(tài)j

為當前狀態(tài)；若不成立則保留狀態(tài)i

為當前狀態(tài)。

3.1.1物理退火過程目前十四頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.1模擬退火算法及模型

現(xiàn)代優(yōu)化計算Metropolis準則（1953）——以概率接受新狀態(tài)

p=exp[-(Ej-Ei)/kBT]

在高溫下，可接受與當前狀態(tài)能量差較大的新狀態(tài)；在低溫下，只接受與當前狀態(tài)能量差較小的新狀態(tài)。

3.1.1物理退火過程目前十五頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.1模擬退火算法及模型

現(xiàn)代優(yōu)化計算相似性比較

3.1.2組合優(yōu)化與物理退火的相似性組合優(yōu)化問題金屬物體解粒子狀態(tài)最優(yōu)解能量最低的狀態(tài)設定初溫熔解過程Metropolis抽樣過程等溫過程控制參數(shù)的下降冷卻目標函數(shù)能量目前十六頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.1模擬退火算法及模型

現(xiàn)代優(yōu)化計算基本步驟

給定初溫t=t0，隨機產(chǎn)生初始狀態(tài)s=s0，令k=0；

RepeatRepeat

產(chǎn)生新狀態(tài)sj=Genete(s)；

ifmin{1,exp[-(C(sj)-C(s))/tk]}>=randrom[0,1]s=sj;Until抽樣穩(wěn)定準則滿足；退溫tk+1=update(tk)并令k=k+1；

Until算法終止準則滿足；輸出算法搜索結(jié)果。

3.1.3模擬退火算法的基本思想和步驟目前十七頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.1模擬退火算法及模型

現(xiàn)代優(yōu)化計算影響優(yōu)化結(jié)果的主要因素

給定初溫t=t0，隨機產(chǎn)生初始狀態(tài)s=s0，令k=0；

RepeatRepeat

產(chǎn)生新狀態(tài)sj=Genete(s)；

ifmin{1,exp[-(C(sj)-C(s))/tk]}>=randrom[0,1]s=sj;Until抽樣穩(wěn)定準則滿足；退溫tk+1=update(tk)并令k=k+1；

Until算法終止準則滿足；輸出算法搜索結(jié)果。

3.1.3模擬退火算法的基本思想和步驟三函數(shù)兩準則初始溫度目前十八頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.1模擬退火算法及模型

現(xiàn)代優(yōu)化計算

3.1.3模擬退火算法的基本思想和步驟Step1設定初始溫度t=tmax,任選初始解r=r0Step2內(nèi)循環(huán)

Step2.1從r的鄰域中隨機選一個解rt,計算r和rt對應目標函數(shù)值,如rt對應目標函數(shù)值較小，則令r=rt;否則若

exp(-(E(rt)-E(r))/t)>random(0,1),則令r=rt.Step2.2不滿足內(nèi)循環(huán)停止條件時，重復Step2.1Step3外循環(huán)

Step3.1降溫t=decrease(t)Step3.2如不滿足外循環(huán)停止條件，則轉(zhuǎn)Step2；否則算法結(jié)束1.達到終止溫度2.達到迭代次數(shù)3.最優(yōu)值連續(xù)若干步保持不變1.目標函數(shù)均值穩(wěn)定2.連續(xù)若干步的目標值變化較小3.固定的抽樣步數(shù)模擬退火算法的步驟目前十九頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.2模擬退火算法的馬氏鏈描述

現(xiàn)代優(yōu)化計算定義

3.2.1馬爾科夫鏈目前二十頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.2模擬退火算法的馬氏鏈描述

現(xiàn)代優(yōu)化計算定義

一步轉(zhuǎn)移概率：

n步轉(zhuǎn)移概率：若解空間有限，稱馬爾可夫鏈為有限狀態(tài)；若，稱馬爾可夫鏈為時齊的。

3.2.1馬爾科夫鏈目前二十一頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.2模擬退火算法的馬氏鏈描述

現(xiàn)代優(yōu)化計算模擬退火算法對應了一個馬爾可夫鏈

模擬退火算法：新狀態(tài)接受概率僅依賴于新狀態(tài)和當前狀態(tài)，并由溫度加以控制。若固定每一溫度，算法均計算馬氏鏈的變化直至平穩(wěn)分布，然后下降溫度，則稱為時齊算法；若無需各溫度下算法均達到平穩(wěn)分布，但溫度需按一定速率下降，則稱為非時齊算法。分析收斂性

3.2.2模擬退火算法與馬爾科夫鏈目前二十二頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.3模擬退火算法關鍵參數(shù)和操作的設計現(xiàn)代優(yōu)化計算原則

產(chǎn)生的候選解應遍布全部解空間方法

在當前狀態(tài)的鄰域結(jié)構(gòu)內(nèi)以一定概率方式（均勻分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布等）產(chǎn)生

3.3.1狀態(tài)產(chǎn)生函數(shù)目前二十三頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.3模擬退火算法關鍵參數(shù)和操作的設計現(xiàn)代優(yōu)化計算原則

(1)在固定溫度下，接受使目標函數(shù)下降的候選解的概率要大于使目標函數(shù)上升的候選解概率；

(2)隨溫度的下降，接受使目標函數(shù)上升的解的概率要逐漸減??；

(3)當溫度趨于零時，只能接受目標函數(shù)下降的解。方法

具體形式對算法影響不大一般采用min[1,exp(-?C/t)]

3.3.2狀態(tài)接受函數(shù)目前二十四頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.3模擬退火算法關鍵參數(shù)和操作的設計現(xiàn)代優(yōu)化計算收斂性分析

通過理論分析可以得到初溫的解析式，但解決實際問題時難以得到精確的參數(shù)；初溫應充分大；實驗表明

初溫越大，獲得高質(zhì)量解的機率越大，但花費較多的計算時間；

3.3.3初溫目前二十五頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.3模擬退火算法關鍵參數(shù)和操作的設計現(xiàn)代優(yōu)化計算方法

（1）均勻抽樣一組狀態(tài)，以各狀態(tài)目標值得方差為初溫；（2）隨機產(chǎn)生一組狀態(tài)，確定兩兩狀態(tài)間的最大目標值差，根據(jù)差值，利用一定的函數(shù)確定初溫；（3）利用經(jīng)驗公式。

3.3.3初溫目前二十六頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.3模擬退火算法關鍵參數(shù)和操作的設計現(xiàn)代優(yōu)化計算時齊算法的溫度下降函數(shù)

（1），α越接近1溫度下降越慢，且其大小可以不斷變化；（2），其中t0為起始溫度，K為算法溫度下降的總次數(shù)。

3.3.4溫度更新函數(shù)目前二十七頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.3模擬退火算法關鍵參數(shù)和操作的設計現(xiàn)代優(yōu)化計算非時齊模擬退火算法

每個溫度下只產(chǎn)生一個或少量候選解時齊算法——常用的Metropolis抽樣穩(wěn)定準則

（1）檢驗目標函數(shù)的均值是否穩(wěn)定；（2）連續(xù)若干步的目標值變化較??；（3）按一定的步數(shù)抽樣。

3.3.5內(nèi)循環(huán)終止準則目前二十八頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.3模擬退火算法關鍵參數(shù)和操作的設計現(xiàn)代優(yōu)化計算常用方法

（1）設置終止溫度的閾值；（2）設置外循環(huán)迭代次數(shù)；（3）算法搜索到的最優(yōu)值連續(xù)若干步保持不變；（4）概率分析方法。

3.3.6外循環(huán)終止準則目前二十九頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.4模擬退火算法的改進現(xiàn)代優(yōu)化計算模擬退火算法的優(yōu)點

質(zhì)量高；初值魯棒性強；簡單、通用、易實現(xiàn)。模擬退火算法的缺點

由于要求較高的初始溫度、較慢的降溫速率、較低的終止溫度，以及各溫度下足夠多次的抽樣，因此優(yōu)化過程較長。

3.4.1模擬退火算法的優(yōu)缺點目前三十頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.4模擬退火算法的改進現(xiàn)代優(yōu)化計算改進的可行方案

（1）設計合適的狀態(tài)產(chǎn)生函數(shù)；（2）設計高效的退火歷程；（3）避免狀態(tài)的迂回搜索；（4）采用并行搜索結(jié)構(gòu)；（5）避免陷入局部極小，改進對溫度的控制方式；（6）選擇合適的初始狀態(tài)；（7）設計合適的算法終止準則。

3.4.2改進內(nèi)容目前三十一頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.4模擬退火算法的改進現(xiàn)代優(yōu)化計算改進的方式

（1）增加升溫或重升溫過程，避免陷入局部極小；（2）增加記憶功能（記憶“Bestsofar”狀態(tài)）；（3）增加補充搜索過程（以最優(yōu)結(jié)果為初始解）；（4）對每一當前狀態(tài)，采用多次搜索策略，以概率接受區(qū)域內(nèi)的最優(yōu)狀態(tài)；（5）結(jié)合其它搜索機制的算法；（6）上述各方法的綜合。

3.4.2改進內(nèi)容目前三十二頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.4模擬退火算法的改進現(xiàn)代優(yōu)化計算改進的思路

（1）記錄“Bestsofar”狀態(tài)，并即時更新；（2）設置雙閾值，使得在盡量保持最優(yōu)性的前提下減少計算量，即在各溫度下當前狀態(tài)連續(xù)m1步保持不變則認為Metropolis抽樣穩(wěn)定，若連續(xù)m2次退溫過程中所得最優(yōu)解不變則認為算法收斂。

3.4.3一種改進的模擬退火算法目前三十三頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.4模擬退火算法的改進現(xiàn)代優(yōu)化計算改進的退火過程

（1）給定初溫t0，隨機產(chǎn)生初始狀態(tài)s，令初始最優(yōu)解s*=s，當前狀態(tài)為s(0)=s，i=p=0；（2）令t=ti，以t，s*和s(i)調(diào)用改進的抽樣過程，返回其所得最優(yōu)解s*’和當前狀態(tài)s’(k)，令當前狀態(tài)s(i)=s’(k)；（3）判斷C(s*)<C(s*’)?若是，則令p=p+1；否則，令s*=s*’，p=0；（4）退溫ti+1=update(ti)，令i=i+1；（5）判斷p>m2?若是，則轉(zhuǎn)第(6)步；否則，返回第(2)步；（6）以最優(yōu)解s*作為最終解輸出，停止算法。

3.4.3一種改進的模擬退火算法目前三十四頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.4模擬退火算法的改進現(xiàn)代優(yōu)化計算改進的抽樣過程

（1）令k=0時的初始當前狀態(tài)為s’(0)=s(i)，q=0；（2）由狀態(tài)s通過狀態(tài)產(chǎn)生函數(shù)產(chǎn)生新狀態(tài)s’，計算增量?C’=C(s’)-C(s)；（3）若?C’<0，則接受s’作為當前解，并判斷C(s*’)>C(s’)?若是，則令s*’=s’，q=0；否則，令q=q+1。若?C’>0，則以概率exp(-?C’/t)接受s’作為下一當前狀態(tài)；（4）令k=k+1，判斷q>m1?若是，則轉(zhuǎn)第(5)步；否則，返回第(2)步；（5）將當前最優(yōu)解s*’和當前狀態(tài)s’(k)返回改進退火過程。

3.4.3一種改進的模擬退火算法目前三十五頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.5模擬退火算法的實現(xiàn)與應用現(xiàn)代優(yōu)化計算

3.5.130城市TSP問題（d*=423.741byDBFogel）

TSPBenchmark問題

4194;3784;5467;2562;764;299;6858;7144;5462;8369;6460;1854;2260;8346;9138;2538;2442;5869;7171;7478;8776;1840;1340;827;6232;5835;4521;4126;4435;450目前三十六頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.5模擬退火算法的實現(xiàn)與應用現(xiàn)代優(yōu)化計算算法流程

3.5.130城市TSP問題（d*=423.741byDBFogel）

目前三十七頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.5模擬退火算法的實現(xiàn)與應用現(xiàn)代優(yōu)化計算初始溫度的計算

fori=1:100route=randperm(CityNum);fval0(i)=CalDist(dislist,route);endt0=-(max(fval0)-min(fval0))/log(0.9);

3.5.130城市TSP問題（d*=423.741byDBFogel）

目前三十八頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.5模擬退火算法的實現(xiàn)與應用現(xiàn)代優(yōu)化計算狀態(tài)產(chǎn)生函數(shù)的設計（1）互換操作，隨機交換兩個城市的順序；（2）逆序操作，兩個隨機位置間的城市逆序；（3）插入操作，隨機選擇某點插入某隨機位置。

3.5.130城市TSP問題（d*=423.741byDBFogel）

283591467283591467283591467281593467283419567235981467目前三十九頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.5模擬退火算法的實現(xiàn)與應用現(xiàn)代優(yōu)化計算參數(shù)設定

截止溫度tf=0.01;

退溫系數(shù)alpha=0.90;

內(nèi)循環(huán)次數(shù)L=200*CityNum;

3.5.130城市TSP問題（d*=423.741byDBFogel）

目前四十頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.5模擬退火算法的實現(xiàn)與應用現(xiàn)代優(yōu)化計算運行過程

3.5.130城市TSP問題（d*=423.741byDBFogel）

目前四十一頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.5模擬退火算法的實現(xiàn)與應用現(xiàn)代優(yōu)化計算運行過程

3.5.130城市TSP問題（d*=423.741byDBFogel）

目前四十二頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.5模擬退火算法的實現(xiàn)與應用現(xiàn)代優(yōu)化計算運行過程

3.5.130城市TSP問題（d*=423.741byDBFogel）

目前四十三頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.5模擬退火算法的實現(xiàn)與應用現(xiàn)代優(yōu)化計算運行過程

3.5.130城市TSP問題（d*=423.741byDBFogel）

目前四十四頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.5模擬退火算法的實現(xiàn)與應用現(xiàn)代優(yōu)化計算運行過程

3.5.130城市TSP問題（d*=423.741byDBFogel）

目前四十五頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.5模擬退火算法的實現(xiàn)與應用現(xiàn)代優(yōu)化計算運行結(jié)果

3.5.130城市TSP問題（d*=423.741byDBFogel）

目前四十六頁\總數(shù)五十一頁\編于十八點3.5模擬退火算法的實現(xiàn)與應用現(xiàn)代優(yōu)化計算換熱器模型兩級管殼式換熱器組成的換熱器系統(tǒng)，數(shù)學模型高度非線性，其目標函數(shù)通常