2020-2021學年北京市通州區(qū)高一（下）期末數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2020-2021學年北京市通州區(qū)高一（下）期末數(shù)學試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1．（4分）設z1＝3﹣4i，z2＝﹣2+5i，則z1+z2在復平面內(nèi)對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（4分）下列說法不正確的是（）A．平行六面體的側(cè)面和底面均為平行四邊形 B．直棱柱的側(cè)棱長與高相等 C．斜棱柱的側(cè)棱長大于斜棱柱的高 D．直四棱柱是長方體3．（4分）下列命題正確的是（）A．三點確定一個平面 B．梯形確定一個平面 C．兩條直線確定一個平面 D．四邊形確定一個平面4．（4分）已知點A∈直線l，又A∈平面α，則（）A．l∥α B．l∩α＝A C．l?α D．l∩α＝A或l?α5．（4分）先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況，此試驗的樣本空間為（）A．正面，反面 B．{正面，反面} C．{（正面，正面），（反面，正面），（反面，反面）} D．{（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）}6．（4分）給定空間中的直線l和平面α，“直線l與平面α垂直”是“直線l與平面a內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件7．（4分）已知P（A）＝0.5，P（B）＝0.3，如果P（AB）＝0，那么P（A∪B）等于（）A．0.8 B．0.5 C．0.3 D．0.28．（4分）已知α，β是平面，m、n是直線，則下列命題正確的是（）A．若m∥α，m⊥n，則n∥α B．若m⊥α，m⊥β，則α∥β C．若m⊥α，α⊥β，則m∥β D．若m∥α，n∥α，則m∥n9．（4分）在△ABC中，D為BC中點，點E為AD上靠近D點的一個三等分點，若，則λ+μ＝（）A．1 B． C．﹣ D．10．（4分）將邊長為1的正方形ABCD沿對角線AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱錐D﹣ABC中，給出下列四個命題：①AC⊥BD；②BD與平面ABC所成的角為；③△DBC是等邊三角形；④三棱錐D﹣ABC的體積是．其中正確命題的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．11．（5分）已知z（1+2i）＝4+3i，則z＝．12．（5分）袋子中有大小和質(zhì)地完全相同的4個球，其中2個紅球，2個白球，不放回地從中依次隨機摸出2球，則2球顏色相同的概率等于．13．（5分）已知半徑為R的球，其表面積為S，體積為V，若S＝V，則R＝．14．（5分）在一次文藝比賽中，12名專業(yè)人士和12名觀眾代表各組成一個評委小組，給參賽選手打分，下面是兩組評委對同一選手的打分：小組A424548465247495542514745小組B553670667549466842625847B小組的第75百分位數(shù)是；從評委打分相似性上看更像專業(yè)人士組成的小組是．15．（5分）已知點A（1，1），點B（5，3），將向量繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到向量，則點C坐標為；＝．16．（5分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點P在面對角線AC上運動，給出下列四個說法：①D1P∥平面A1BC1；②D1P⊥BD；③平面PDB1⊥平面A1BC1；④三棱錐P﹣A1BC1的體積為定值．則其中所有正確說法的序號是．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．17．（12分）某公司入職筆試中有兩道必答題，某應試者答對第一題的概率為0.9，答對第二題的概率為0.8，假設每道題目是否答對是相互獨立的．（1）求該應試者兩道題都答對的概率；（2）求該應試者只答對一題的概率．18．（13分）某校從參加高一年級期中考試的學生中抽取n名學生，統(tǒng)計了他們的某科成績（成績均為整數(shù)，且滿分為100分），繪制成頻率分布直方圖如圖所示，已知分數(shù)在[40，50）的頻數(shù)為2．（1）求a，n的值；（2）抽取n名學生中，甲同學期中該科成績?yōu)?5分，乙同學期中該科成績?yōu)?3分．若從[40，50）內(nèi)的兩名同學中選一人，從[90，100]中選出兩名同學組成學習小組，求甲、乙兩同學恰好在該小組的概率；（3）假設[40，50）內(nèi)的兩名同學在期末考試中，甲同學該科考了68分，另一名考了72分，樣本中其他學生該科期末成績不變，試比較n名學生期中成績方差s12與期末成績方差s22的大?。ńY(jié)論不要求證明）19．（14分）如圖，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA＝2DC，AC＝BC，F(xiàn)是BE中點．（1）求證：DC∥平面AEB；（2）求證：DF⊥平面AEB．20．（13分）已知向量＝（，cosθ），＝（1，﹣2sinθ），θ∈[0，π]．（1）求向量的模的取值范圍；（2）從條件①：∥，②：⊥這兩個條件中選擇一個作為條件，求向量＝（cosθ，sinθ）與夾角的余弦值．21．（13分）在△ABC中，已知AB＝2，∠BAC＝，cos∠ACB＝，D為AC中點．（1）求BC的長；（2）求BD的長及△BCD的面積．22．（15分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，點E，F(xiàn)分別是PD，BC的中點．（1）求證：平面PBC⊥平面PDC；（2）在線段PC上確定一點G，使平面EFG∥平面PAB，并給出證明；（3）求二面角P﹣AC﹣D的正弦值，并求出D到平面PAC的距離．

2020-2021學年北京市通州區(qū)高一（下）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1．（4分）設z1＝3﹣4i，z2＝﹣2+5i，則z1+z2在復平面內(nèi)對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】利用復數(shù)代數(shù)形式的加法運算求出z1+z2，得到應的坐標，再確定所在的象限即可．【解答】解：∵z1＝3﹣4i，z2＝﹣2+5i，∴z1+z2＝（3﹣4i）+（﹣2+5i）＝1+i，則z1+z2在復平面內(nèi)對應的點的坐標為（1，1），位于第一象限．故選：A．【點評】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的加法運算，復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎題．2．（4分）下列說法不正確的是（）A．平行六面體的側(cè)面和底面均為平行四邊形 B．直棱柱的側(cè)棱長與高相等 C．斜棱柱的側(cè)棱長大于斜棱柱的高 D．直四棱柱是長方體【分析】利用平行多面體的定義判斷選項A，由直四棱柱的結(jié)構(gòu)特征判斷選項B，由斜棱柱的特征判斷選項C，由直四棱柱與長方體的定義判斷選項D．【解答】解：對于A，由平行多面體的定義可知，平行六面體的側(cè)面和底面均為平行四邊形，故選項A正確；對于B，直四棱柱上下底面平行，則直棱柱的側(cè)棱長與高相等，故選項B正確；對于C，設斜棱柱的側(cè)棱與高所成的角為α，則cosα＝h＜l（其中l(wèi)為棱長，h為高），故選項C正確；對于D，直四棱柱上下底面平行，但是上下底面可以不是矩形，故直棱柱不一定是長方體，故選項D錯誤．故選：D．【點評】本題考查了平行多面體的定義、直四棱柱的結(jié)構(gòu)特征、斜棱柱的特征、長方體的定義，考查了基本概念的理解與應用，空間想象能力與邏輯推理能力，屬于基礎題．3．（4分）下列命題正確的是（）A．三點確定一個平面 B．梯形確定一個平面 C．兩條直線確定一個平面 D．四邊形確定一個平面【分析】根據(jù)已知條件，利用平面的基本性質(zhì)，以及推論，即可求解．【解答】解：對于選項A，當三點共線時，不能確定一個平面，故選項A錯誤，對于選項B，梯形的上底和下底是一對平行線，可以確定一個平面，故選項B正確．對于選項C，當兩條直線異面時，不能確定一個平面，故選項C錯誤，對于選項D，當四邊形為空間4邊形時，不能確定一個平面，故選項D錯誤．故選：B．【點評】本題考查平面的基本性質(zhì)的應用，需要學生有一定的空間想象能力，屬于基礎題．4．（4分）已知點A∈直線l，又A∈平面α，則（）A．l∥α B．l∩α＝A C．l?α D．l∩α＝A或l?α【分析】由已知可得直線l與平面α至少有一個公共點，由此可得結(jié)論．【解答】解：∵點A∈直線l，又A∈平面α，∴l(xiāng)與α至少有一個公共點A，則l∩α＝A或l?α．故選：D．【點評】本題考查空間中點、線、面間的位置關(guān)系，考查平面的基本性質(zhì)及推理，是基礎題．5．（4分）先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況，此試驗的樣本空間為（）A．正面，反面 B．{正面，反面} C．{（正面，正面），（反面，正面），（反面，反面）} D．{（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）}【分析】利用基本事件的定義，列舉即可．【解答】解：先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，有先后順序，則此試驗的樣本空間為{（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）}．故選：D．【點評】本題考查了隨機事件的理解，樣本空間的理解以及基本事件的定義，考查了邏輯推理能力，屬于基礎題．6．（4分）給定空間中的直線l和平面α，“直線l與平面α垂直”是“直線l與平面a內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【分析】由垂直的定義，我們易得“直線l與平面α垂直”?“直線l與平面α內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”為真命題，反之，“直線l與平面α內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”?“直線l與平面α垂直”卻不一定成立，根據(jù)充要條件的定義，即可得到結(jié)論．【解答】解：直線與平面α內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直，但該直線未必與平面α垂直，即“直線l與平面α內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”?“直線l與平面α垂直”為假命題，但直線l與平面α垂直時，l與平面α內(nèi)的每一條直線都垂直，即“直線l與平面α垂直”?“直線l與平面α內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”為真命題，故“直線l與平面α垂直”是“直線l與平面α內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”充分不必要條件．故選：A．【點評】本題考查了空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，充要條件的定義，屬于基礎題．7．（4分）已知P（A）＝0.5，P（B）＝0.3，如果P（AB）＝0，那么P（A∪B）等于（）A．0.8 B．0.5 C．0.3 D．0.2【分析】利用概率的計算公式求解即可．【解答】解：因為P（A）＝0.5，P（B）＝0.3，且P（AB）＝0，所以P（A∪B）＝0.5+0.3＝0.8．故選：A．【點評】本題考查了互斥事件的概率加法公式，屬于基礎題．8．（4分）已知α，β是平面，m、n是直線，則下列命題正確的是（）A．若m∥α，m⊥n，則n∥α B．若m⊥α，m⊥β，則α∥β C．若m⊥α，α⊥β，則m∥β D．若m∥α，n∥α，則m∥n【分析】由直線與直線平行、直線與平面平行的關(guān)系判斷A與D；由直線與平面垂直的性質(zhì)判斷判斷B；由直線與平面垂直、平面與平面垂直的關(guān)系判斷C．【解答】解：若m∥α，m⊥n，則n∥α或n?α或n與α相交，故A錯誤；若m⊥α，m⊥β，由直線與平面垂直的性質(zhì)可得α∥β，故B正確；若m⊥α，α⊥β，則m∥β或m?β，故C錯誤；若m∥α，n∥α，則m∥n或m與n相交或m與n異面，故D錯誤．故選：B．【點評】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定，考查空間想象能力與思維能力，是基礎題．9．（4分）在△ABC中，D為BC中點，點E為AD上靠近D點的一個三等分點，若，則λ+μ＝（）A．1 B． C．﹣ D．【分析】利用平面向量基本定理化簡向量BE，進而可以求解．【解答】解：因為＝＝＝﹣，又因為，所以，則，故選：C．【點評】本題考查了平面向量基本定理的應用，考查了學生的運算轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎題．10．（4分）將邊長為1的正方形ABCD沿對角線AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱錐D﹣ABC中，給出下列四個命題：①AC⊥BD；②BD與平面ABC所成的角為；③△DBC是等邊三角形；④三棱錐D﹣ABC的體積是．其中正確命題的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】結(jié)合折起后形成的三棱錐D﹣ABC進行分析，取AC中點O，連接OB、OD．通過證明AC⊥平面OBD，可判斷①；可證得BD與平面ABC所成的角為∠DBO可判斷②；在Rt△BOD中可求得BD長，可判斷③；三棱錐D﹣ABC的底面為Rt△ABC、高為OD，計算其體積可判斷④．【解答】解：如圖所示：折起后形成的三棱錐D﹣ABC中，取AC中點O，連接OB、OD．∵DA＝DC＝BA＝BC，O為AC中點，∴AC⊥OD，AC⊥OB，可得AC⊥平面OBD，又∵BD?平面OBD，∴AC⊥BD，∴①對；∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，OD?平面ADC，AC⊥OD，∴OD⊥平面ABC，∴∠DBO為BD與平面ABC所成的角，可知△DOB為等腰直角三角形，∴∠DBO＝，∴②對；由上面分析可知△DOB為等腰直角三角形，OD＝OB＝，∴BD＝＝1，又∵DC＝BC＝1，∴△DBC是等邊三角形，∴③對；V三棱錐D﹣ABC＝?SRt△ABC?DO＝××1×1×＝，∴④錯．故選：C．【點評】本題考查棱錐結(jié)構(gòu)特征、線面及面面垂直，考查數(shù)學運算能力及直觀想象能力，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．11．（5分）已知z（1+2i）＝4+3i，則z＝2﹣i．【分析】由z（1+2i）＝4+3i，得z＝可解決此題．【解答】解：由z（1+2i）＝4+3i，得z＝＝＝＝2﹣i．故答案為：2﹣i．【點評】本題考查復數(shù)的除法運算，考查數(shù)學運算能力，屬于基礎題．12．（5分）袋子中有大小和質(zhì)地完全相同的4個球，其中2個紅球，2個白球，不放回地從中依次隨機摸出2球，則2球顏色相同的概率等于．【分析】可記2個紅球為a、b，兩個白球為D、E，列舉出不放回地從中依次隨機摸出2球的基本事件，以及其中2球顏色相同的基本事件的個數(shù)即可利用古典概型的概率計算公式求出所求．【解答】解：記2個紅球為a、b，兩個白球為D、E，則不放回地從中依次隨機摸出2球的基本事件為：（a、b），（a、D），（a，E），（b，a），（b，D），（b，E），（D，a），（D，b），（D，E），（E，a），（E，b），（E，D）共12種，其中2球顏色相同的基本事件有：（a、b）（b，a），（D，E），（E，D）共4種，所以2球顏色相同的概率為＝．故答案為：．【點評】本題主要考查古典概型的概率計算公式，考查推理論證和運算求解的能力，屬于基礎題．13．（5分）已知半徑為R的球，其表面積為S，體積為V，若S＝V，則R＝3．【分析】利用球的體積公式和表面積公式列方程．【解答】解：因為，所以，解得R＝3．故答案為：3．【點評】本題考查球的表面積和體積公式，屬于基礎題．14．（5分）在一次文藝比賽中，12名專業(yè)人士和12名觀眾代表各組成一個評委小組，給參賽選手打分，下面是兩組評委對同一選手的打分：小組A424548465247495542514745小組B553670667549466842625847B小組的第75百分位數(shù)是67；從評委打分相似性上看更像專業(yè)人士組成的小組是A．【分析】將B小組的分數(shù)進行升序排序，取第9個和第10個的平均值，即為小組的第75百分位數(shù)，分別求出A，B兩組的方差，即可確定那組評委為專業(yè)人士組成，即可求解．【解答】解：將小組B的數(shù)據(jù)進行排序，可得36，42，46，47，49，55，58，62，66，68，70，75，∵12×75%＝9，∴B小組的第75百分位數(shù)為，A組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，∵≈17.08，∴標準差sA≈3.75，B組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，∵≈139，∴標準差sB≈11.79，∵專業(yè)人士組成的小組打分相似性更高，∴A組是專業(yè)人士組成的．故答案為：67，A．【點評】本題考主要考查了百分位和方差的計算，需要學生熟練掌握公式，屬于基礎題．15．（5分）已知點A（1，1），點B（5，3），將向量繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到向量，則點C坐標為（﹣1，5）；＝．【分析】由于向量繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到向量，結(jié)合旋轉(zhuǎn)后兩個向量互相垂直，以及向量的模相等，可得點C的坐標為（﹣1，5），再結(jié)合向量的模長公式，即可求解．【解答】解：設點C的坐標為（x，y），∵A（1，1），點B（5，3），∴，∵向量繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到向量，∴，，即，解得或，又∵該次旋轉(zhuǎn)是逆時針，∴點C的坐標為（﹣1，5），∴，．故答案為：（﹣1，5），．【點評】本題考查向量的旋轉(zhuǎn)，以及向量模的公式，需要學生熟練掌握公式，屬于基礎題．16．（5分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點P在面對角線AC上運動，給出下列四個說法：①D1P∥平面A1BC1；②D1P⊥BD；③平面PDB1⊥平面A1BC1；④三棱錐P﹣A1BC1的體積為定值．則其中所有正確說法的序號是①③④．【分析】通過證明平面D1AC∥平面A1BC1可判斷①；通過證明BD不與平面D1AC垂直可判斷②；通過證明DB1⊥平面A1BC1可判斷③；三棱錐P﹣A1BC1的體積?三棱錐B﹣PA1C1的體積，然后計算即可判斷④．【解答】解：如圖所示：由正方體ABCD﹣A1B1C1D1可知AD1∥BC1，A1B∥D1C可得平面D1AC∥平面A1BC1，又D1P?平面D1AC，∴得D1P∥平面A1BC1∴①對；由正方體ABCD﹣A1B1C1D1可知BD⊥AC，假設D1P⊥BD，則BD⊥平面D1AC，則BD⊥AD1，可知△AB1D1是等邊三角形，∴B1D1不與AD1垂直，又B1D1∥BD，∴BD不與AD1垂直，∴假設不成立，∴②錯；連接B1C、BC1，由正方體ABCD﹣A1B1C1D1可知B1C⊥BC1，BC1⊥DC，可得BC1⊥平面DCB1，又B1D?平面DCB1，可得B1D⊥BC1，同理B1D⊥BC1，可得B1D⊥平面A1BC1，又B1D?平面PDB1，∴得平面PDB1⊥平面A1BC1∴③對；設點B到平面A1ACC1的距離為d、正方體棱長為a，V＝V＝S?d＝××a×a×a＝a3，與點P位置無關(guān)∴④對．故答案為：①③④．【點評】本題考查棱柱棱錐的結(jié)構(gòu)特征、線線平行、線面平行、線線垂直、線面垂直，考查數(shù)學運算能力及直觀想象能力，屬于難題．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．17．（12分）某公司入職筆試中有兩道必答題，某應試者答對第一題的概率為0.9，答對第二題的概率為0.8，假設每道題目是否答對是相互獨立的．（1）求該應試者兩道題都答對的概率；（2）求該應試者只答對一題的概率．【分析】利用相互獨立事件概率乘法公式求解．【解答】解：（1）設該應試者兩道題都答對為事件A，則p（A）＝0.9×0.8＝0.72．（2）設該應試者只答對一題為事件B，則p（B）＝0.9×（1﹣0.8）+（1﹣0.9）×0.8＝0.26．【點評】本題考查概率的求法，注意相互獨立事件乘法公式和對立事件概率計算公式的合理運用．18．（13分）某校從參加高一年級期中考試的學生中抽取n名學生，統(tǒng)計了他們的某科成績（成績均為整數(shù)，且滿分為100分），繪制成頻率分布直方圖如圖所示，已知分數(shù)在[40，50）的頻數(shù)為2．（1）求a，n的值；（2）抽取n名學生中，甲同學期中該科成績?yōu)?5分，乙同學期中該科成績?yōu)?3分．若從[40，50）內(nèi)的兩名同學中選一人，從[90，100]中選出兩名同學組成學習小組，求甲、乙兩同學恰好在該小組的概率；（3）假設[40，50）內(nèi)的兩名同學在期末考試中，甲同學該科考了68分，另一名考了72分，樣本中其他學生該科期末成績不變，試比較n名學生期中成績方差s12與期末成績方差s22的大?。ńY(jié)論不要求證明）【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)能求出a，n；（2）根據(jù)成績在[90，100]和[40，50）的學生數(shù)，分別所有情形數(shù)及甲、乙兩同學恰好被安排在同一小組的情形數(shù)，代入古典概型概率公式計算；（3）利用方差的計算公式分析判斷即可．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)得：（0.004+0.006+a+0.024+0.028+0.030）×10＝1，解得a＝0.008；由圖可得[40，50）的頻率為0.04，又頻數(shù)為2，故n＝＝50；（2）成績在[40，50）的學生有2人，記為A、B．成績在[90，100]的學生有4人，記為a，b，c，d，甲同學為A，乙同學為a，則共有Aab，Aac，Aad，Abc，Abd，Acd，Bab，Bac，Bad，Bbc，Bbd，Bcd，共12種情形，其中甲、乙兩同學恰好被安排在同一小組的有3種情形，所以甲、乙兩同學恰好被安排在同一小組的概率為；（3）由頻率分布直方圖可知，期中考試成績的平均分為0.04×45+0.06×55+0.28×65+0.3×75+0.24×85+0.08×95＝73.8，由方差的計算公式可知，兩名同學在期中考試的成績在[40，50）內(nèi)，期末考試時，兩名同學的成績?yōu)?8，72，相比較，期末考試的成績更接近平均值，故方差更小，則期中成績方差s12大于期末成績方差s22．【點評】本題考查了頻率分布直方圖的應用，古典概型概率公式的應用，平均數(shù)與方差的應用，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于中檔題．19．（14分）如圖，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA＝2DC，AC＝BC，F(xiàn)是BE中點．（1）求證：DC∥平面AEB；（2）求證：DF⊥平面AEB．【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)定理可得EA∥DC，再由線面平行的判定定理證得DC∥平面AEB；（2）取AB的中點M，連接CM，F(xiàn)M，推導出四邊形DCMF為平行四邊形，可得DF∥CM，由線面垂直的判定定理可得CM⊥平面AEB，即可得證．【解答】證明：（1）因為EA和DC都垂直于平面ABC，所以EA∥DC，又EA?平面AEB，DC?平面AEB，所以DC∥平面AEB．（2）取AB的中點M，連接CM，F(xiàn)M，在△ABE中，F(xiàn)，M分別為EB，AB的中點，所以FM∥AE，EA＝2FM，由DC∥AE，EA＝2DC，所以DC∥FM，DC＝FM，所以四邊形DCMF為平行四邊形，則DF∥CM，因為AC＝BC，M為AB的中點，所以CM⊥AB，由EA⊥平面ABC，CM?平面ABC，所以EA⊥CM，AB∩EA＝A，所以CM⊥平面AEB，所以DF⊥平面AEB．【點評】本題主要考查線面平行與線面垂直的判斷，考查邏輯推理能力，屬于中檔題．20．（13分）已知向量＝（，cosθ），＝（1，﹣2sinθ），θ∈[0，π]．（1）求向量的模的取值范圍；（2）從條件①：∥，②：⊥這兩個條件中選擇一個作為條件，求向量＝（cosθ，sinθ）與夾角的余弦值．【分析】（1）可得出，根據(jù)θ∈[0，π]即可求出的模的取值范圍；（2）選擇條件①時：根據(jù)即可得出θ的值，進而可求出和的坐標，進而根據(jù)向量夾角的余弦公式即可求出的值；選擇條件②時：根據(jù)即可得出θ的值，進而可求出cos的值．【解答】解：（1）∵，且θ∈[0，π]，∴0≤cos2θ≤1，，∴，∴向量的模的取值范圍為：；（2）若選擇條件①：∵，∴，∴，且θ∈[0，π]，∴；∴，∴，∴．若選擇條件②：∵，∴，∴，且θ∈[0，π]，∴或，∴或，1）當時，，∴，∴；2）當時，，∴，∴．【點評】本題考查了根據(jù)向量坐標求向量長度的方法，余弦函數(shù)的值域，平行向量的坐標關(guān)系，向量垂直的充要條件，向量坐標的數(shù)量積運算，向量夾角的余弦公式，考查了計算能力，屬于基礎題．21．（13分）在△ABC中，已知AB＝2，∠BAC＝，cos∠ACB＝，D為AC中點．（1）求BC的長；（2）求BD的長及△BCD的面積．【分析】（1）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin∠ACB的值，進而在△ABC中，由正弦定理可解得BC的值．（2）由已知在△ABC中利用余弦定理得AC2﹣2AC﹣15＝0，解得AC的值，由已知可求得AD＝CD＝，在△ABD中，由余弦定理可得BD的值，進而利用三角形的面積公式可求S△BCD的值．【解答】解：（1）因為AB＝2，∠BAC＝，cos∠ACB＝，所以sin∠ACB＝＝，所以在△ABC中，由正弦定理＝，可得＝，解得BC＝．（2）因為在△ABC中，