注冊(cè)巖土工程師基礎(chǔ)培訓(xùn)資料無窮級(jí)數(shù)和微分

無窮級(jí)數(shù)一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)二、冪級(jí)數(shù)討論斂散性求收斂范圍，將函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)，求和。1.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及收斂定義：給定一個(gè)數(shù)列將各項(xiàng)依即稱上式為無窮級(jí)數(shù)，其中第

n

項(xiàng)叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),級(jí)數(shù)的前

n

項(xiàng)和稱為級(jí)數(shù)的部分和.次相加,簡記為收斂,則稱無窮級(jí)數(shù)并稱S為級(jí)數(shù)的和。

等比級(jí)數(shù)(又稱幾何級(jí)數(shù))(q

稱為公比).級(jí)數(shù)收斂,級(jí)數(shù)發(fā)散

.其和為P-級(jí)數(shù)2.無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)

性質(zhì)1.設(shè)

c

是非零常數(shù)，則級(jí)數(shù)收斂于S,則有相同的斂散性。若與收斂于cS.性質(zhì)2.

設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)也收斂,其和為說明:(2)若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散,則必發(fā)散.但若二級(jí)數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散.(1)性質(zhì)2表明收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加或減.(用反證法可證)性質(zhì)3.在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng),不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散性.性質(zhì)5：設(shè)收斂級(jí)數(shù)則必有可見:

若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0,則級(jí)數(shù)必發(fā)散.*例1.判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性:(比較審斂法)設(shè)且存在對(duì)一切有(1)若強(qiáng)級(jí)數(shù)則弱級(jí)數(shù)(2)若弱級(jí)數(shù)則強(qiáng)級(jí)數(shù)則有收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),

(常數(shù)k>0),3.正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法

(比較審斂法的極限形式)則有兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散;(2)當(dāng)

l=

0(3)當(dāng)

l=∞設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足(1)當(dāng)0<l<∞時(shí),的斂散性.例3.

判別級(jí)數(shù)解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知發(fā)散比值審斂法(D’alembert判別法)設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂;或時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散

..

根值審斂法(Cauchy判別法)設(shè)

為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且則因此級(jí)數(shù)收斂.解:4.交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法

則各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)

.

(Leibnitz

判別法)

若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件:則級(jí)數(shù)收斂。5.絕對(duì)收斂與條件收斂

定義:

對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)若若原級(jí)數(shù)收斂,但取絕對(duì)值以后的級(jí)數(shù)發(fā)散,則稱原級(jí)收斂,數(shù)絕對(duì)收斂；則稱原級(jí)數(shù)條件收斂.

絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂.由絕對(duì)收斂概念和萊布尼茲定理知:交錯(cuò)級(jí)數(shù)例5.

證明下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂:證:

而收斂,收斂因此絕對(duì)收斂.判斷數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散的方法1、利用已知結(jié)論：等比級(jí)數(shù)、P-級(jí)數(shù)及級(jí)數(shù)性質(zhì)2、利用必要條件：主要判別發(fā)散3、求部分和數(shù)列的極限4、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法1）比值審斂法（根值審斂法）2）比較審斂法（或極限形式）5、交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法：萊布尼茲定理6、一般級(jí)數(shù)審斂法：先判斷是否絕對(duì)收斂，如果絕對(duì)收斂則一定收斂；否則判斷是否條件收斂發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散

1.Abel定理

若冪級(jí)數(shù)則對(duì)滿足不等式的一切x

冪級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂.反之,若當(dāng)?shù)囊磺衳,該冪級(jí)數(shù)也發(fā)散.時(shí)該冪級(jí)數(shù)發(fā)散,則對(duì)滿足不等式二、求冪級(jí)數(shù)收斂域*例6.已知冪級(jí)數(shù)在處收斂，則該級(jí)數(shù)在處是收斂還是發(fā)散？若收斂，是條件收斂還是絕對(duì)收斂？解：由Abel定理，該冪級(jí)數(shù)在處絕對(duì)收斂，故在絕對(duì)收斂。例7.已知處條件痛收斂,問該帽級(jí)數(shù)莊收斂半徑是亦多少?答:根據(jù)Ab鍛el定理可網(wǎng)知,級(jí)數(shù)在收斂,時(shí)發(fā)鋼散.故收斂許半徑為若的系數(shù)臉滿足1)當(dāng)≠0時(shí),2)當(dāng)＝0時(shí),3)當(dāng)＝∞時(shí),則的收僵斂半肚徑為2.求收斂充半徑對(duì)端牲點(diǎn)x壯=－1,的收撥斂半壘徑及凱收斂采域.解:對(duì)端點(diǎn)x=1,級(jí)數(shù)牲為交盈錯(cuò)級(jí)工數(shù)收斂;級(jí)數(shù)為發(fā)散.故收斂鳥域?yàn)槔?..求冪級(jí)右數(shù)例9.的收斂抬域.解:令級(jí)數(shù)潔變?yōu)楫?dāng)t=2時(shí),級(jí)數(shù)傻為此級(jí)數(shù)立發(fā)散;當(dāng)t=猴–住2時(shí),級(jí)數(shù)為此級(jí)惠數(shù)條粥件收臉斂;因此小級(jí)數(shù)忍的收結(jié)斂域席為故原級(jí)鐘數(shù)的收霸斂域?yàn)榧慈⒍Ｇ蠛崝?shù)的甜冪級(jí)仙數(shù)展考開式1、對(duì)晝函數(shù)濁作恒選等變留形（負(fù)如果糞需要宰的話窯）2、利只用已歇知結(jié)咽論，蔽用變師量代愧換或蕩求導(dǎo)糖積分醬得所陜求函穴數(shù)的軍冪級(jí)湖數(shù)3、寫中出收娃斂范課圍的冪級(jí)塑數(shù)展開晨式展開夜成解：例10冷.求函波數(shù)四、津求冪瓶級(jí)數(shù)左的和視函數(shù)這是沒冪級(jí)聞數(shù)展女開問只題的迎逆問嘩題，燥利用杯已知俗結(jié)論嫂或求都導(dǎo)積洪分，蓄求冪永級(jí)數(shù)仁在收取斂域驚內(nèi)的丑和函泰數(shù)。微分方鈴程一、借微分豈方程壟的基招本概鍋念二、解嗚微分方升程含未婚知函與數(shù)及鍬其導(dǎo)斧數(shù)的鵲方程唱叫做微分鄉(xiāng)豐方程.方程中底所含未衡知函數(shù)跳導(dǎo)數(shù)的緞最高階背數(shù)叫做開微分方希程一、們微分盒方程追的基勤本概界念的階.例如：一階千微分央方程二階微呀分方程—使方服程成草為恒斑等式稱的函婚數(shù).通解—解中譯所含宿獨(dú)立轟的任齊意常車數(shù)的妙個(gè)數(shù)江與方惹程—確定合通解促中任寸意常稱數(shù)的緩條件.初始條瞞件(或邊芝值條冤件):的階數(shù)龍相同.特解微分方零程的解—不含任拐意常數(shù)至的解,定解條朝件其圖形嫂稱為積分察曲線.例1.驗(yàn)證退函數(shù)是微據(jù)分方搬程的解.解:是方程適的解.二、解壇微分方闊程1.一階微密分方程可分離蹈變量，唇一階線賞性2.高階微瞧分方程可降朗階微報(bào)分方現(xiàn)程，秧二階初線性臘微分驢方程乏解的借結(jié)構(gòu)出，二歐階線抱性常稅系數(shù)膜齊次不微分冷方程叮求解耕。分離變鴿量方程腐的解法:(2)兩邊臭積分①②(3棕)得到曉通解稱②為耗方程①進(jìn)的隱式通扛解,或通積分.(1呆)分離變臂量*例2.求微分籠方程的通念解.解:分離變煙量得兩邊積綢分得即(C為任剪意常姥數(shù))因此可急能增、減解.一階線紹性微分低方程一階旋線性老微分夠方程百標(biāo)準(zhǔn)織形式:若Q(x)0,若Q(x)0,稱為非齊次低方程.稱為齊次方非程;解*例3.利用一趕階線性泉方程的屯通解公猴式得：令因此即同理可克得依次聯(lián)通過n次積罪分,可得拌含n個(gè)任意旨常數(shù)的您通解.型的繼微分謝方程例5.求解解:型的傻微分杰方程設(shè)原方閱程化配為一掩階方覆程設(shè)其通講解為則得再一次褲積分,得原方求程的通腰解例6.求解解:代入方糊程得分離變器量積分截得利用于是羅有兩端螞再積養(yǎng)分得利用因此飼所求波特解意為型的脆微分搞方程令故方程字化為設(shè)其通沒解為即得分離猛變量狂后積貧分,得原方濁程的通察解例7.求解代入方殼程得兩端積奴分得故所耳求通汪解為解:定理1.是二階宅線性齊臉次方程亦的兩個(gè)擊線性無關(guān)程特解,則數(shù))是該方馬程的通儲(chǔ)解.例如,方程有特倘解且常數(shù),故方須程的銷通解曾為二階線趙性齊次然方程解繪的結(jié)構(gòu)特征方境程:實(shí)根特征根通解二階線陽性常系功數(shù)齊次把微分方適程求解例9.的通解.解:特征方筋程特征滅根:因此楊原方棟程的另通解擦為例10.求解模初值姐問題解:特征洪方程有重根因此花原方渡程的悅通解劈燕為利用初籠始條件耍得于是所珠求初值換問題的婚解為*例11眉.的通濕解.解:特征挪方程特征世根:因此