對坐標的曲面積分

對坐標的曲面積分一、對坐標的曲面積分的概念與性質(zhì)有向曲面：通常我們遇到的曲面都是雙側(cè)的.例如由方程z=z(x,y)表示的曲面分為上側(cè)與下側(cè).設n=(cosa,cosp,cosy)為曲面上的法向量，在曲面的上側(cè)cosy>0,在曲面的下側(cè)cosy<0.閉曲面有內(nèi)側(cè)與外側(cè)之分.類似地，如果曲面的方程為y=y(z,x),則曲面分為左側(cè)與右側(cè)，在曲面的右側(cè)cosp>0,在曲面的左側(cè)cosp<0.如果曲面的方程為x=x(y,z),則曲面分為前側(cè)與后側(cè)，在曲面的前側(cè)cosa>0,在曲面的后側(cè)cosa<0.設刀是有向曲面.在刀上取一小塊曲WAS,把AS投影到xOy面上得一投影區(qū)域，這投影區(qū)域的面積記為(Aq).假定AS上各點處的法向量與z軸的夾角y的余弦cosy有相同的符xy號(即cosy都是正的或都是負的).我們規(guī)定AS在xOy面上的投影(AS)為xy”(Aq) cosy>0(AS)=(Aq) cosy<0xy xy0 cosy三0其中cosy三0也就是(AQ)xy=0的情形.類似地可以定義AS在yOz面及在zOx面上的投影(AS)yz及叫流向曲面一側(cè)的流量：設穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場由v(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))給出Q是速度場中的一片有向曲面，函數(shù)P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)都在工上連續(xù)，求在單位時間內(nèi)流向刀指定側(cè)的流體的質(zhì)量，即流量①.如果流體流過平面上面積為A的一個閉區(qū)域,且流體在這閉區(qū)域上各點處的流速為(常向量)v,又設n為該平面的單位法向量，那么在單位時間內(nèi)流過這閉區(qū)域的流體組成一個底面積為A、斜高為VI的斜柱體.當(v仰)=°<與時，這斜柱體的體積為AIvIcosO=Av-n.當(v/n)=2時，顯然流體通過閉區(qū)域A的流向n所指一側(cè)的流量①為零，而Av-n=0,故①=Av-n;冗當(v,w)>—時,Av-n<0,這時我們?nèi)园袮v-n稱為流體通過閉區(qū)域A流向n所指一側(cè)的流量，它表示流體通過閉區(qū)域A實際上流向-n所指一側(cè)，且流向-n所指一側(cè)的流量為-Av--n.因此，不論(v/n)為何值，流體通過閉區(qū)域A流向n所指一側(cè)的流量均為Av-n.把曲面工分成n小塊:AS2,--?,ASn(ASi同時也代表第i小塊曲面的面積).在工是光滑的和v是連續(xù)的前提下，只要AS,的直徑很小，我們就可以用AS”任一點(?)處的流速vWn,qwn,s+g,n,?滬R?n,Gk代替as,上其它各點處的流速，以該點?q,G處曲面工的單位法向量ni=cosa.i+cosp,j+cosy,k代替AS.上其它各點處的單位法向量.從而得到通過AS.流向指定側(cè)的流量的近似值為vi-niASi(i=1,2,---,n)于是，通過刀流向指定側(cè)的流量n①v-nASiiii=1=￡［P(g,n.,C.)cosa+Q(g,q，匚.)cosP.+R(g,n.,C.)cosy」AS.,iiiiiiiiiiiii.=1但 cosa.-AS~(AS.),cosp.-AS.~(AS.),cosy.-AS~(AS.),...yz...zx...xy因此上式可以寫成①?酋P(g,n.,c.)(AS.)+QE,n.,C.)(AS.)+R(g,n.，匚.)(as.)］；....yz....zx....xy.=1令尢TO取上述和的極限，就得到流量①的精確值.這樣的極限還會在其它問題中遇到.抽去它們的具體意義，就得出下列對坐標的曲面積分的概念.提示：把AS.看成是一小塊平面，其法線向量為叫則通過AS.流向指定側(cè)的流量近似地等于一個斜柱體的體積.此斜柱體的斜高為叫，高為1卩膽05仇，人叫)=卩叫體積為v.-n.AS..因為n.FCossi+cosp.j+cosyk，v=唯n⑺才免,nq)i+QG，nq)j+R(^.,nq)k，卩嚴郃.=［戶(￡,n.,Ocoss+QCn.,Ocosp+RCn.,OcosylAS.，cosa.-AS-(AS.)，cosp.-AS-(AS.)，cosy.-AS-(AS.)，yzzxxy所以v.-nQs.-PG，n.,SEyz+QG，n.,3(竺)『臟.，n.,3(竺兒?對于刀上的一個小塊5顯然在At時間內(nèi)流過Q的是一個彎曲的柱體.它的體積近似于以Q為底，而高為(IVIAt)cos(V,An)=V-nAt的柱體的體積:VnAtAS,這里n=(cosa,cosp,cosy)是q上的單位法向量,AS表示Q的面積.所以單位時間內(nèi)流向q指定側(cè)的流體的質(zhì)量近似于V-nAS~(P(x,y,z)cosa+Q(x,y,z)cosp+R(x,y,z)cosy)AS.如果把曲面工分成n小塊Q(i=1,2,???,n),單位時間內(nèi)流向工指定側(cè)的流體的質(zhì)量近似于屮￡{P(x.,y.,z.)cosa.+Q(x,,y.,z.)cosp.+R(x.,y.,z.)cosy}AS.iiiiiiiiiiii.=1按對面積的曲面積分的定義,卩=B*{P(x,y,z)cosa+Q(x,y,z)cosP+R(x,y,z)cosy}dS=BV?ndS舍去流體這個具體的物理內(nèi)容,我們就抽象出如下對坐標的曲面積分的概念.nlim工R(g,q.，匚,)(AS.)ixy定義設z為光滑的有向曲面，函數(shù)R(x,y,z)在z上有界.把z任意分成n塊小曲面AS.XAS.同時也代表第.小塊曲面的面積).在xOy面上的投影為(AS.)xy,(.q,匚nlim工R(g,q.，匚,)(AS.)ixy九tO.=]y的曲面積分:，記作JJR(x,y,z)dxdy=lim工R(g.,q,匚.)(AS.)ixy總存在，y的曲面積分:，記作JJR(x,y,z)dxdy=lim工R(g.,q,匚.)(AS.)ixy九to.=]類似地有JJP(x,y,z)dydz=lim工P(g.,q,匚.)(AS.)iiiiyzz XtO.=1JJq(x,y,z)dzdx=S嚴.,q人円)其中R(x,y,z)叫做被積函數(shù),z叫做積分曲面.定義設z是空間內(nèi)一個光滑的曲面,n=(cosa,cosp,cosy)是其上的單位法向量,V(x,y,

3z)=(P(x，們定義y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))是確在Z上的向量場.如果下列各式右端的積分存在，我JJP(x,y,z)dydz=JJP(x,y,z)cosadS,JJQ(x,y,z)dzdx=JJQ(x,y,z)cos卩dS,JJR(x,y,z)dxdy=JJR(x,y,z)cosydS.并稱JJP(x,y,z)dydz為P在曲面工上對坐標y、z的曲面積分，J!Q(x,y,z)dzdx為Q在曲面工上對坐標z、x的曲面積分，JJR(x,y,z)dxdy為R在曲面工上對坐標y、z的曲面積分.其中P、Q、R叫做被積函數(shù),Z叫做積分曲面.以上三個曲面積分也稱為第二類曲面積分.對坐標的曲面積分的存在性：對坐標的曲面積分的簡記形式:在應用上出現(xiàn)較多的是JJP(x,y,z)dydz+JJQ(x,y,z)dzdx+JJR(x,y,z)dxdyzzz=JJP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy.z流向Z指定側(cè)的流量①可表示為①=JJP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy.z一個規(guī)定：如果Z是分片光滑的有向曲面，我們規(guī)定函數(shù)在Z上對坐標的曲面積分等于函數(shù)在各片光滑曲面上對坐標的曲面積分之和.對坐標的曲面積分的性質(zhì)：對坐標的曲面積分具有與對坐標的曲線積分類似的一些性質(zhì).例如⑴如果把z分成z1和爲，貝yJJPdydz+Qdzdx+Rdxdyz=JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy+JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy.z1zz1⑵設工是有向曲面，-工表示與刀取相反側(cè)的有向曲面，貝yJJPdydz+Qdzdx+Rdxdy=-JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy.-z z這是因為如果n=(cosa,cosp,cosy)是Z的單位法向量，貝J-E上的單位法向量是-n=(-cosa,-cosp,-cosy).JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy=-JJ{P(x,y,z)cosa+Q(x,y,z)cosP+R(x,y,z)cosy}dS=-JJPdydz+Qdzdx+Rdxdyz二、對坐標的曲面積分的計算法將曲面積分化為二重積分：設積分曲面Z由方程z=z(x,y)給出的,Z在xOy面上的投影區(qū)域為D,函數(shù)z=z(x,y)在D上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，被積函數(shù)R(x,y,z)在Z上連續(xù)，則xy xy有JJR(x,y,z)dxdy=±JJR[x,y,z(x,y)]dxdy,

zDxy其中當Z取上側(cè)時，積分前取“+”；當Z取下側(cè)時，積分前取“-”這是因為,按對坐標的曲面積分的定義,有—t …ixyJJR(x,y,z)dxdy=lim為R(Jq?，匚i)(ASi)—t …ixyz當Z取上側(cè)時,cosy〉0,所以(AS.)=(Aq.).TOC\o"1-5"\h\zixy ixy又因(￡,q,◎是z上的一點，故?=z(￡,q).從而有為R(g.,q,匚.)(AS.) ,z(g.,q.)](AG.).... .xy .. .. .xyi=1 i=l令尢TO取上式兩端的極限，就得到JJR(x,y,z)dxdy=JJR[x,y,z(x,y)]dxdy.zDxy同理當?shù)度∠聜?cè)時，有JJR(x,y,z)dxdy=一JJR[x,y,z(x,y)]dxdy.為 Dxy

—.=1 …ixy因為當?shù)度∩蟼?cè)時,cospO,(AS.)xy=(Aa)xy.當(￡,q,◎空時,孑進,q).從而有JJR(x,y,z)dxdy=lim昱R(Jq,匚.)(AS—.=1 …ixy=limXR[g.,q,z(g.,q)](Aq.)=JJR[x,y,z(x,y)]dxdy.—o — — .xyi=1 Dxy同理當Z取下側(cè)時，有JJR(x,y,z)dxdy=一JJR[x,y,z(x,y)]dxdy.zDxy11TOC\o"1-5"\h\z這是因為n=(cosa,cosp,cosy)=±— {—z,—z,1},cosy=^ ,J1+z2+z2 xy J1+z2+z2xy xydS=J1+z2+z2dxdy,xyJJR(x,y,z)dxdy=JJR(x,y,z)cosydS=±JJR[x,y,z(x,y)]dxdy.z z Dxy類似地，如果Z由x=x(y,z)給出，則有JJP(x,y,z)dydz=±JJP[x(y,z),y,z]dydz.ZDyz如果Z由y=y(z,x)給出,則有,z]dzdx.JJQ(x,y,z)dzdx=±JJ,z]dzdx.zx應注意的問題：應注意符號的確定.例1.計算曲面積分JJx2dydz+y2dzdx+z2dxdy,其中z是長方體O的整個表面的Z外側(cè),O=((x,y,z)IO<x<a,0<y<b,0<z<c).解：把o的上下面分別記為z1和z2；前后面分別記為z3和z4；左右面分別記為z5和Z6.Z］：z=c(0<x<a,0<y<b)的上側(cè)；Z2：z=0(0<x<a,0<y<b)的下側(cè)；

刀3：x=a(0<y<b,0<z<c)的前側(cè);

力4：x=0(0<y<b,0<z<c)的后側(cè);刀5：y=0(0<x<a,0<z<c)的左側(cè).

力6：y=b(0<x<a,0<z<c)的右側(cè);除工3、%外，其余四片曲面在yOz面上的投影為零，因此JJx2dydz=JJy2dydz+JJx2dyd=JJa2dydz-ffOdydz=aibc.s3 s3 s4 DyzDyz類似地可得JJy2dzdx=b2ac，JJz2dxdy=c2ab.ss于是所求曲面積分為(a+b+c)abc.其中s是球面x2+其中s是球面x2+y2+z2=l外側(cè)在x>0,y>0的部分.s解把有向曲面s分成以下兩部分：S1:Z=J1-x2-y2(x>0,y>0)的上側(cè)，s2:z=-Jl-X2-y2(x>0,y>0)的下側(cè).S,和S2在xOy面上的投影區(qū)域都是D:x2+y2<1(x>0,y>0).1 2 xy于是JJxyzdxdy=JJxyzdxdy+JJxyzdxdys2s1Dxy1-xs2s1Dxy1-x2-y2)dxdyDxy215.=2JJxyJl-x2-y2dxdy=2J2d0J1r2sin0cosO\；'1-r2215.Dxy三、兩類曲面積分之間的聯(lián)系設積分曲面s由方程z=z(x,y)給出的，S在xOy面上的投影區(qū)域為D,函數(shù)z=z(x,y)xy在Dxy上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，被積函數(shù)R(x,y,z)在S上連續(xù).如果S取上側(cè)，則有JJR(x,y,z)dxdy=JJR[x,y,z(x,y)]dxdy.sDxy

另一方面，因上述有向曲面刀的法向量的方向余弦為TOC\o"1-5"\h\z-z 。一z 1cosa=tx^=,cosB=y^=,cosy= ,J1+z2+z2 1+z2+z2' J1+z2+z25xy 'xy xy故由對面積的曲面積分計算公式有JJR(x,y,z)cosydS=JJR[x,y,z(x,y)]dxdy.zDxy由此可見，有JJR(x,y,z)dxdy=JJR(x,y,z)cosydS.如果z取下側(cè)，則有JJR(x,y,z)dxdy=一JJR[x,y,z(x,y)]dxdy.zDxy但這時cosy= 一1 ,因此仍有J1+z2+z2xyJJR(x,y,z)dxdy=JJR(x,y,z)cosydS,zz類似地可推得JJP(x,y,z)dydz=JJP(x,y,z)cosadS,JJQ(x,y,z)dzdx=JJP(x,y,z)cosBdS.zz綜合起來有zzzz綜合起來有zz其中cosa、cosB、cosy是有向曲面Z上點(x,y,z)處的法向量的方向余弦.兩類曲面積分之間的聯(lián)系也可寫成如下向量的形式：JJA?dS=JJAndS或JJA?dS=JJAdSnz z z z其中A=(P,Q,R),n=(cosa,cosB,cosy)是有向曲面Z上點(x,y,z)處的單位法向量,dS=ndS=(dydz,dzdx,dxdy)