菱形的性質與判定第三課時

第一章 特殊平行四邊形

1．1 菱形的性質與判定(第三課時)

典型例題精析

例1如圖1-1-37，將直角三角形紙片ABC沿邊BC所在直線向右平移，使B點移至斜邊BC的中點E處，連接AD、AE、CD．(1)求證：四邊形AECD是菱形；(2)若直角三角形紙片ABC的斜邊BC的長為100cm，且AC=60cm．求ED的長和四邊形AECD的面積．變式練習

D2．(2016六盤水)如圖1-1-39，在菱形ABCD中，對角線AC=6，BD=10，則菱形ABCD的面積為

．303．如圖1-1-40，等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于點D，在線段AD上任取一點P(點A除外)，過點P作EF∥AB，分別交AC、BC于點E和點F，作PQ∥AC，交AB于點Q，連接QE．

(1)求證：四邊形AEPQ為菱形；

(2)當點P在何處時，菱形AEPQ的面積為四邊形EFBQ面積的一半？(1)證明：∵EF∥AB，PQ∥AC，∴四邊形AEPQ為平行四邊∴∠BAD=∠EPA.∵AB=AC，AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，∴∠CAD=∠EPA，∴EA=EP，∴四邊形AEPQ為菱形．證明：(1)連接AC.∵菱形ABCD中，∠B=60°，∴AB=BC=CD，∠BCD=180°-∠B=120°，∴△ABC是等邊三角形.又∵E是BC的中點，∴AE⊥BC.∵∠AEF=60°，∴∠FEC=90°-∠AEF=30°，∴∠CFE=180°-∠FEC-∠BCD=180°-30°-120°=30°，∴∠FEC=∠CFE，∴EC=CF，∴BE=DF.例2在菱形ABCD中，∠B=60°，點E在邊BC上，點F在邊CD上．(1)如圖1-1-41①，若E是BC的中點，∠AEF=60°，求證：BE=DF；(2)如圖1-1-41②，若∠EAF=60°，求證：△AEF是等邊三角形．變式練習

A5．(2015蘭州)如圖1-1-43，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，

AF⊥CD，垂足分別為E、F，連接EF，則△AEF的面積是

．6．如圖1-1-44，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一點，BE交AC于點F，連接DF．(1)求證：∠AFD=∠CFE；(2)若AB∥CD，試證明四邊形ABCD是菱形；(3)在(2)的條件下，試確定E點的位置，使得∠EFD=∠BCD，并說明理由．(1)證明：在△ABC和△ADC中，AB=AD，BC=DC，AC=AC∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠BAC=∠DAC.在△ABF和△ADF中，AB=AD,∠BAF=∠DAF,AF=AF,∴△ABF≌△ADF(SAS)，∴∠AFB=∠AFD.又∵∠AFB=∠CFE，∴∠AFD=∠CFE.(2)證明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD.又∵∠BAC=∠DAC，∴∠CAD=∠ACD，∴AD=CD.又∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四邊形ABCD是菱形.基礎過關精練

1．已知菱形的邊長和一條對角線的長均為2cm，則菱形的面積為( )D2．如圖1-1-45，已知四邊形ABCD為菱形，對角線AC=6，BD=8，將△AOB沿射線AD的方向平移，平移的距離為線段AD的長，平移后得△DEC，則四邊形ACED的周長等于( )A．14 B．16 C．18 D．20C5．如圖1-1-47,將兩張等寬的長方形紙條交叉疊放,重疊部分是一個四邊形ABCD,若AD=6cm,∠ABC=60°,則四邊形ABCD

的面積等于

cm2．23．(2016棗莊)如圖1-1-46，四邊形ABCD是菱形，若AC=8，

DB=6，DH⊥AB于點H，則DH等于( )A7．如圖1-1-49，菱形ABCD的周長為12cm，BC的垂直平分線EF經(jīng)過點A，則對角線BD的長是

cm．1：216能力拓展演練8．(2015黔南)如圖1-1-50，已知△ABC，直線PQ垂直平分AC，與邊AB交于點E，連接CE，過點C作CF∥BA交PQ于點F，連接AF．(1)求證：△AED≌△CFD；(2)求證：四邊形AECF是菱形；(3)若AD=3，AE=5，則菱形AECF的面積是多少？(1)證明：∵PQ為線段AC的垂直平分線，∴AE=CE，AD=CD.∵CF∥AB，∴∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED.在△AED與△CFD中，∠EAC=∠FCA，AD=CD，∠CFD=∠AED∴△AED≌△CFD. (2)證明：∵△AED≌△CFD，∴AE=CF.∵PQ為線段AC的垂直平分線，∴EC=EA，F(xiàn)C=FA，∴EC=EA=FC=FA，∴四邊形AECF為菱形. 9．如圖1-1-51，△ABC是邊長為2的等邊三角形，將△ABC沿射線BC向右平移到△DCE，連接AD、BD.下列結論錯誤的是( ) A．AD=BC B．BD⊥DEC．四邊形ACED是菱形D10．如圖1-1-52，O是菱形ABCD的對角線AC、BD的交點，E、F分別是OA、OC的中點．下列結論：①S△ADE=S△EOD；②四邊形BFDE也是菱形；③四邊形ABCD的面積為EF·BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是軸對稱圖形．其中正確的結論是

(填序號)．①②③⑤11．(2015遵義)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F．(1)求證：△AEF≌△DEB；(2)證明：四邊形ADCF是菱形；(3)若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面積．拓展探究訓練

12．如圖1-1-54，在菱形ABCD中，AB=4c