2021-2022學(xué)年新疆烏魯木齊101中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2021-2022學(xué)年新疆烏魯木齊101中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（每小題僅有一個(gè)正確答案，共12小題，每小題5分，共60分）1．（5分）若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的模等于（）A． B．2 C． D．42．（5分）＝（）A． B． C． D．3．（5分）在△ABC中，a＝2，b＝3，cosB＝，則∠A＝（）A． B． C． D．或4．（5分）河水的流速為2m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10m/s的速度駛向?qū)Π?，則小船的靜水速度為（）A．10m/s B．2m/s C．4m/s D．12m/s5．（5分）在△ABC中，，．若點(diǎn)D滿足，則＝（）A． B． C． D．6．（5分）如圖是一個(gè)水平放置的直觀圖，它是一個(gè)底角為45°，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積為（）A．2+ B． C． D．1+7．（5分）若m，n，l為空間三條不同的直線，α，β，γ為空間三個(gè)不同的平面，則下列為真命題的是（）A．若m⊥l，n⊥l，則m∥n B．若m∥α，m∥β，則α∥β C．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β D．若m⊥α，n⊥β，m∥n，則α∥β8．（5分）在△ABC，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量，，若，則C＝（）A． B． C． D．9．（5分）已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且acosC+bcosA＝b，則△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形10．（5分）如圖，點(diǎn)A，B，C，M，N是正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中不能滿足MN∥平面ABC的是（）A． B． C． D．11．（5分）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了“三斜”求積公式，即△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則△ABC的面積．已知在△ABC中，accosB＝8，，則△ABC面積的最大值為（）A． B． C． D．12．（5分）在△ABC中，?＝9，sinB＝cosAsinC，S△ABC＝6，P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，且＝x?+y?，則+的最小值為（）A． B． C． D．二．填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13．（5分）已知平面向量∥，＝（1，2），＝（﹣3，t），則||＝．14．（5分）若與3+4i互為共軛復(fù)數(shù)，則a﹣b＝．15．（5分）在△ABC中，a＝2，b＝1，cosA＝，則c＝．16．（5分）如圖，多面體ABCDEF中，面ABCD為正方形，DE⊥平面ABCD，CF∥DE，且AB＝DE＝2，CF＝1，G為棱BC的中點(diǎn)，H為棱DE上的動(dòng)點(diǎn)，有下列結(jié)論：①當(dāng)H為棱DE的中點(diǎn)時(shí)，GH∥平面ABE；②存在點(diǎn)H，使得GH⊥AC；③三棱錐B﹣GHF的體積為定值；④三棱錐A﹣BCF的外接球表面積為9π．其中正確的結(jié)論序號(hào)為．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）三．解答題（共6道題，17題10分，其余每題12分，共70分）17．（10分）已知z是復(fù)數(shù)，且z﹣i和都是實(shí)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位．（1）求復(fù)數(shù)z和|z|；（2）若復(fù)數(shù)z+m+（m2﹣m﹣3）i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．18．（12分）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為2，母線長(zhǎng)為4．（1）求圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的扇形的圓心角；（2）若圓錐中內(nèi)接一個(gè)高為的圓柱．求圓柱的表面積．19．（12分）已知向量，．（1）若a＝2，b＝1，且，求實(shí)數(shù)λ的值；（2）若，求的最小值．20．（12分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，b＝6．（1）若a＝4，c＝8，求△ABC外接圓的半徑；（2）若△ABC的周長(zhǎng)為16，cosC＝，求a．21．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，E是棱PA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（Ⅰ）若E為PA的中點(diǎn)，求證：PC∥平面BDE；（Ⅱ）求證：平面PAC⊥平面BDE；（Ⅲ）若三棱錐P﹣BDE的體積是四棱錐P﹣ABCD體積的，求的值．22．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，2sinAcosC﹣sinBcosC＝sinB﹣cosAsinC，且．（1）若，，求C；（2）若，求的最大值．

2021-2022學(xué)年新疆烏魯木齊101中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（每小題僅有一個(gè)正確答案，共12小題，每小題5分，共60分）1．（5分）若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的模等于（）A． B．2 C． D．4【分析】根據(jù)已知條件，運(yùn)用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)模的公式，即可求解．【解答】解：∵＝，∴．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模的公式，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）＝（）A． B． C． D．【分析】直接利用向量的加法及減法法則寫出結(jié)果即可．【解答】解：由向量加法及減法的運(yùn)算法則可知：向量＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的基本運(yùn)算，基本知識(shí)的考查，是基礎(chǔ)題．3．（5分）在△ABC中，a＝2，b＝3，cosB＝，則∠A＝（）A． B． C． D．或【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB的值，利用正弦定理可求sinA的值，結(jié)合大邊對(duì)大角可求A為銳角，進(jìn)而可求A的值．【解答】解：因?yàn)閍＝2，b＝3，cosB＝，所以sinB＝＝，因?yàn)橛烧叶ɡ砜傻?，所以sinA＝＝＝，又b＞a，可得A為銳角，所以A＝．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦定理，大邊對(duì)大角在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）河水的流速為2m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10m/s的速度駛向?qū)Π?，則小船的靜水速度為（）A．10m/s B．2m/s C．4m/s D．12m/s【分析】根據(jù)題意，設(shè)河水的流速為V1，小船的靜水速度為V2，合速度為V，則有V2＝V﹣V1，由向量數(shù)量積的計(jì)算公式計(jì)算|V2|，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)河水的流速為V1，則|V1|＝2m/s，小船的靜水速度為V2，合速度為V，|V|＝10，且V⊥V1，有V＝V1+V2，則V2＝V﹣V1，則有|V2|＝＝＝2，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量在物理中的應(yīng)用，涉及向量的加法和向量模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）在△ABC中，，．若點(diǎn)D滿足，則＝（）A． B． C． D．【分析】由題意先求出，，再求出．【解答】解：在△ABC中，，；如圖；∴＝﹣＝﹣，又，∴＝＝（﹣）；∴＝+＝+（﹣）＝+；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的基本應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)結(jié)合圖形標(biāo)出向量，從而解答問(wèn)題．6．（5分）如圖是一個(gè)水平放置的直觀圖，它是一個(gè)底角為45°，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積為（）A．2+ B． C． D．1+【分析】根據(jù)斜二側(cè)畫法畫平面圖形的直觀圖的步驟，判斷平面圖形為直角梯形，且直角腰長(zhǎng)為2，上底邊長(zhǎng)為1，再求出下底邊長(zhǎng)，代入梯形的面積公式計(jì)算．【解答】解：∵平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為45°，腰和上底長(zhǎng)均為1的等腰梯形，∴平面圖形為直角梯形，且直角腰長(zhǎng)為2，上底邊長(zhǎng)為1，∴梯形的下底邊長(zhǎng)為1+，∴平面圖形的面積S＝×2＝2+．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面圖形的直觀圖，熟練掌握斜二側(cè)畫法的步驟與原則是解答本題的關(guān)鍵．7．（5分）若m，n，l為空間三條不同的直線，α，β，γ為空間三個(gè)不同的平面，則下列為真命題的是（）A．若m⊥l，n⊥l，則m∥n B．若m∥α，m∥β，則α∥β C．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β D．若m⊥α，n⊥β，m∥n，則α∥β【分析】對(duì)于A：由m，n的位置關(guān)系是相交，平行或者異面即可判斷；對(duì)于B：舉反例：m是平面α，β外的直線，當(dāng)m∥l時(shí)，滿足m∥α，m∥β，不滿足α∥β即可判斷；對(duì)于C：由α，β可能相交，可能平行即可判斷；對(duì)于D：利用線面垂直的性質(zhì)可以證明．【解答】解：對(duì)于A：m⊥l，n⊥l時(shí)，m，n的位置關(guān)系是相交，平行或者異面，故A錯(cuò)；對(duì)于B：若α∩β＝l，m是平面α，β外的直線，當(dāng)m∥l時(shí)，滿足m∥α，m∥β，不滿足α∥β，故B錯(cuò)；對(duì)于C：若α⊥γ，β⊥γ，則α，β可能相交，可能平行，故C錯(cuò)；對(duì)于D：由m⊥α，m∥n，則n⊥α，又n⊥β，由線面垂直的性質(zhì)可得：α∥β．故D正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面與平面之間的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）在△ABC，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量，，若，則C＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，由向量平行的坐標(biāo)表示方法可得a2+b2﹣c2＝﹣ab，由余弦定理可得cosC的值，結(jié)合C的范圍分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，向量，，若，必有a2+b2﹣c2＝﹣ab，則cosC＝＝﹣，而C為三角形內(nèi)角，故C＝；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理的應(yīng)用，涉及向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題．9．（5分）已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且acosC+bcosA＝b，則△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【分析】由已知結(jié)合正弦定理及和差角，誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解．【解答】解：由acosC+bcosA＝b及正弦定理得，sinAcosC+sinBcosA＝sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+sinCcosA，所以sinBcosA＝sinCcosA，所以sinB＝sinC或cosA＝0，所以B＝C或A＝90°，故△ABC是等腰三角形或直角三角形．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，和差角公式及誘導(dǎo)公式在三角形判斷中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10．（5分）如圖，點(diǎn)A，B，C，M，N是正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中不能滿足MN∥平面ABC的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，利用線面平行的判定定理和面面平行的性質(zhì)，判斷各選項(xiàng)即可．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，易得MN∥AC，而MN不在平面ABC內(nèi)，則有MN∥平面ABC；對(duì)于B，如圖①，易得MN在平面ABC內(nèi)，不能滿足MN∥平面ABC，對(duì)于C，易得MN∥BC，而MN不在平面ABC內(nèi)，則有MN∥平面ABC；對(duì)于D，如圖：G為所在棱的中點(diǎn)，易得MG∥AB，NG∥BC，則平面MNG∥平面ABC，則有MN∥平面ABC；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面平行的判斷，注意線面平行的判斷定理，屬于基礎(chǔ)題．11．（5分）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了“三斜”求積公式，即△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則△ABC的面積．已知在△ABC中，accosB＝8，，則△ABC面積的最大值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合余弦定理得＝8，a2+c2＝28，ac≤＝14，再根據(jù)公式求解即可．【解答】解：因?yàn)閍ccosB＝ac?＝＝8，又因?yàn)閎＝2，所以a2+c2＝28，所以ac≤＝14，（當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝時(shí)取等號(hào)），所以S△ABC＝＝≤＝．所以△ABC面積的最大值為．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）在△ABC中，?＝9，sinB＝cosAsinC，S△ABC＝6，P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，且＝x?+y?，則+的最小值為（）A． B． C． D．【分析】設(shè)||＝c，||＝b，根據(jù)題意得，解此方程組，然后結(jié)合A、P、B三點(diǎn)共線可解決此題．【解答】解：設(shè)||＝c，||＝b，根據(jù)題意得，解得b＝3，c＝5，sinA＝，cosA＝，∴||＝4，∴＝x?+y?＝+，又∵A、P、B三點(diǎn)共線，∴+＝1，∴+＝（+）（+）＝++≥+2＝+，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積性質(zhì)及基本不等式應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于難題．二．填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13．（5分）已知平面向量∥，＝（1，2），＝（﹣3，t），則||＝．【分析】由已知結(jié)合向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求得t，再由向量模的計(jì)算公式求解．【解答】解：∵＝（1，2），＝（﹣3，t），且∥，∴1×t﹣2×（﹣3）＝0，解得t＝﹣6．∴＝（﹣3，﹣6），則||＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量模的求法，是基礎(chǔ)題．14．（5分）若與3+4i互為共軛復(fù)數(shù)，則a﹣b＝1．【分析】分別利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)兩復(fù)數(shù)，由共軛復(fù)數(shù)的概念求解a，b，再求出a﹣b．【解答】解：＝＝b﹣ai，∵（a，b∈R）與3+4i互為共軛復(fù)數(shù)，∴b＝3，a＝4，則a﹣b＝1，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．15．（5分）在△ABC中，a＝2，b＝1，cosA＝，則c＝2．【分析】由已知利用余弦定理可得2c2﹣c﹣6＝0，解方程即可得解c的值．【解答】解：因?yàn)閍＝2，b＝1，cosA＝，所以由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得4＝1+c2﹣2×，整理可得2c2﹣c﹣6＝0，解得c＝2，或﹣（舍去）．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題．16．（5分）如圖，多面體ABCDEF中，面ABCD為正方形，DE⊥平面ABCD，CF∥DE，且AB＝DE＝2，CF＝1，G為棱BC的中點(diǎn)，H為棱DE上的動(dòng)點(diǎn)，有下列結(jié)論：①當(dāng)H為棱DE的中點(diǎn)時(shí)，GH∥平面ABE；②存在點(diǎn)H，使得GH⊥AC；③三棱錐B﹣GHF的體積為定值；④三棱錐A﹣BCF的外接球表面積為9π．其中正確的結(jié)論序號(hào)為①③④．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）【分析】①如圖所示，取AE的中點(diǎn)M，連接MH，BM，利用三角形中位線定理與平行四邊形的判定定理可得四邊形BGHM為平行四邊形，再利用線面平行的判定定理可得GH∥平面ABE．②連接BD，AC，由已知可得DE⊥平面ABCD，進(jìn)而得出AC⊥平面BDE，而GH?平面BDE，GH與平面BDE不平行，即可判斷出正誤．③設(shè)點(diǎn)H到平面BCF的距離為d，由DE∥平面BCF，可得d為定值，而三棱錐B﹣GHF的體積＝×S△BGF×d，即可判斷出正誤．④由AB，BC，CF兩兩垂直，可得棱錐A﹣BCF的外接球的直徑為以CD，CB，CF為相鄰的棱的長(zhǎng)方體的對(duì)角線，進(jìn)而判斷出正誤．【解答】解：①如圖所示，取AE的中點(diǎn)M，連接MH，BM，∵H為DE的中點(diǎn)，∴MH＝AD，∵BG＝AD，∴MHBG，∴四邊形BGHM為平行四邊形，GH?平面ABE，MB?平面ABE．∴當(dāng)H為棱DE的中點(diǎn)時(shí)，GH∥平面ABE．因此①正確．②連接BD，AC，∵平面ABCD為正方形，∴AC⊥BD，∵DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AC，又DB∩DE＝D，∴AC⊥平面BDE，點(diǎn)H∈平面BDE，G?平面BDE，∴GH?平面BDE，GH與平面BDE不平行，∴不存在點(diǎn)H，使得GH⊥AC，因此②不正確．③設(shè)點(diǎn)H到平面BCF的距離為d，∵DE∥CF，DE?平面BCF，CF?平面BCF，∴DE∥平面BCF，∴d為定值．三棱錐B﹣GHF的體積＝×S△BGF×d為定值，因此③正確．④∵AB，BC，CF兩兩垂直，∴棱錐A﹣BCF的外接球的直徑為以CD，CB，CF為相鄰的棱的長(zhǎng)方體的對(duì)角線，∴三棱錐A﹣BCF的外接球的半徑R＝＝，∴三棱錐A﹣BCF的外接球表面積＝4πR2＝9π，因此④正確．綜上可得其中正確的結(jié)論序號(hào)為①③④．故答案為：①③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間位置關(guān)系及其判定、三棱錐與球的體積，考查了空間想象能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．三．解答題（共6道題，17題10分，其余每題12分，共70分）17．（10分）已知z是復(fù)數(shù)，且z﹣i和都是實(shí)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位．（1）求復(fù)數(shù)z和|z|；（2）若復(fù)數(shù)z+m+（m2﹣m﹣3）i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【分析】（1）設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），利用z﹣i與都是實(shí)數(shù)求解a與b的值，可得z，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求|z|；（2）把（1）中求得的z代入z+m+（m2﹣m﹣3）i＝﹣1+i+m+（m2﹣m﹣3）i，整理后利用實(shí)部與虛部均小于0聯(lián)立不等式組求解實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解答】解：（1）設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），則z﹣i＝a+（b﹣1）i，∵z﹣i是實(shí)數(shù)，∴b＝1，則z＝a+i，∴＝＝，又是實(shí)數(shù)，∴，即a＝﹣1．∴z＝﹣1+i，|z|＝；（2）z+m+（m2﹣m﹣3）i＝﹣1+i+m+（m2﹣m﹣3）i＝（m﹣1）+（m2﹣m﹣2）i，由題意，，解得﹣1＜m＜1．∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣1，1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．18．（12分）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為2，母線長(zhǎng)為4．（1）求圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的扇形的圓心角；（2）若圓錐中內(nèi)接一個(gè)高為的圓柱．求圓柱的表面積．【分析】（1）由圓錐的底面周長(zhǎng)等于展開(kāi)后扇形的弧長(zhǎng)列式求解求解；（2）由三角形相似求得圓柱的半徑，再由圓的面積公式及圓柱側(cè)面積公式求解．【解答】解：（1）圓錐的底面周長(zhǎng)為2×2π＝4π，設(shè)圓心角度數(shù)為n°，則，n＝180，故圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的扇形的圓心角是180°；（2）由圓錐的底面半徑為2，母線長(zhǎng)為4，得AO＝，由△AEB∽△AOC，可得＝，得EB＝．則圓柱的表面積S＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐的展開(kāi)圖、考查圓柱表面積的求法，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．19．（12分）已知向量，．（1）若a＝2，b＝1，且，求實(shí)數(shù)λ的值；（2）若，求的最小值．【分析】（1）先求出和的坐標(biāo)，再由可得，列方程可求出實(shí)數(shù)λ的值；（2）由可得a2+4b2＝16﹣4ab，然后利用基本不等式可求得ab≤2，而，從而可求出的最小值．【解答】解：（1）由題意，得，，所以，，因?yàn)?，所以，?×（2﹣λ）﹣（1+2λ）＝0，解得；（2）由，，得，由，得，即a2+4b2＝16﹣4ab，因?yàn)閍2+4b2≥4ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時(shí)取等號(hào)，所以16﹣4ab≥4ab，解得ab≤2，所以，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝2時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題．20．（12分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，b＝6．（1）若a＝4，c＝8，求△ABC外接圓的半徑；（2）若△ABC的周長(zhǎng)為16，cosC＝，求a．【分析】（1）先由余弦定理求出cosA，再求，可求結(jié)論；（2）由余弦定理可得（10﹣a）2＝a2﹣2a+36，解可求a．【解答】解：（1）因?yàn)閍＝4，b＝6，c＝8，所以cosA＝＝，因?yàn)閟inA＝＝，所以＝，所以△ABC的外接圓的半徑為；（2）因?yàn)椤鰽BC的周長(zhǎng)為16，b＝6所以a+c＝10，因?yàn)閏osC＝，所以c2＝a2+b2﹣2abcosC＝，因?yàn)閏＝10﹣a，所以（10﹣a）2＝a2﹣2a+36，解得a＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正余弦定理，屬基礎(chǔ)題．21．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，E是棱PA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（Ⅰ）若E為PA的中點(diǎn)，求證：PC∥平面BDE；（Ⅱ）求證：平面PAC⊥平面BDE；（Ⅲ）若三棱錐P﹣BDE的體積是四棱錐P﹣ABCD體積的，求的值．【分析】（Ⅰ）設(shè)AC交BD于O，連接EO，推導(dǎo)出EO∥PC，由此能證明PC∥平面BDE．（Ⅱ）推導(dǎo)出AC⊥BD，PA⊥BD，由此能證明平面PAC⊥平面BDE．（Ⅲ）設(shè)四棱錐P﹣ABCD的體積為V，由PA⊥平面ABCD，得．由，得，由，得．由此能求出的值．【解答】（本小題滿分14分）證明：（Ⅰ）如圖，設(shè)AC交BD于O，連接EO．因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以O(shè)是AC的中點(diǎn)．又因?yàn)镋為PA的中點(diǎn)，所以EO∥PC．因?yàn)镻C?平面BDE，EO?平面BDE，所以PC∥平面BDE．…（4分）（Ⅱ）因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以AC⊥BD．又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD．因?yàn)镻A∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC．因?yàn)锽D?平面BDE，