湖北省襄陽市宜城一中、棗陽一中、襄州一中、曾都一中2023年新高三起點調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題試卷_第1頁
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文檔簡介

湖北省襄陽市宜城一中、棗陽一中、襄州一中、曾都一中2023年新高三起點調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.《周易》歷來被人們視作儒家群經(jīng)之首,它表現(xiàn)了古代中華民族對萬事萬物的深刻而又樸素的認(rèn)識,是中華人文文化的基礎(chǔ),它反映出中國古代的二進(jìn)制計數(shù)的思想方法.我們用近代術(shù)語解釋為:把陽爻“-”當(dāng)作數(shù)字“1”,把陰爻“--”當(dāng)作數(shù)字“0”,則八卦所代表的數(shù)表示如下:卦名符號表示的二進(jìn)制數(shù)表示的十進(jìn)制數(shù)坤0000震0011坎0102兌0113依此類推,則六十四卦中的“屯”卦,符號“”表示的十進(jìn)制數(shù)是()A.18 B.17 C.16 D.152.一個正三角形的三個頂點都在雙曲線的右支上,且其中一個頂點在雙曲線的右頂點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.3.若直線與曲線相切,則()A.3 B. C.2 D.4.設(shè)全集U=R,集合,則()A. B. C. D.5.函數(shù)滿足對任意都有成立,且函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱,,則的值為()A.0 B.2 C.4 D.16.中國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道算術(shù)題:“今有物不知其數(shù),三三數(shù)之余二,五五數(shù)之余三,問物幾何?”人們把此類題目稱為“中國剩余定理”,若正整數(shù)除以正整數(shù)后的余數(shù)為,則記為,例如.現(xiàn)將該問題以程序框圖的算法給出,執(zhí)行該程序框圖,則輸出的等于().A. B. C. D.7.一個幾何體的三視圖及尺寸如下圖所示,其中正視圖是直角三角形,側(cè)視圖是半圓,俯視圖是等腰三角形,該幾何體的表面積是()A.B.C.D.8.在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù),使直線與圓相交的概率為()A. B. C. D.9.已知函數(shù)為奇函數(shù),且,則()A.2 B.5 C.1 D.310.已知雙曲線:的焦距為,焦點到雙曲線的漸近線的距離為,則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.11.設(shè),則()A. B. C. D.12.已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,且,,成等差數(shù)列,則公比的值為(

)A. B. C.或 D.或二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知雙曲線(a>0)的一條漸近線方程為,則a=_______.14.過直線上一動點向圓引兩條切線MA,MB,切點為A,B,若,則四邊形MACB的最小面積的概率為________.15.雙曲線的焦距為__________,漸近線方程為________.16.若奇函數(shù)滿足,為R上的單調(diào)函數(shù),對任意實數(shù)都有,當(dāng)時,,則________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,四棱錐中,底面是邊長為的菱形,,點分別是的中點.(1)求證:平面;(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)已知△ABC的兩個頂點A,B的坐標(biāo)分別為(,0),(,0),圓E是△ABC的內(nèi)切圓,在邊AC,BC,AB上的切點分別為P,Q,R,|CP|=2,動點C的軌跡為曲線G.(1)求曲線G的方程;(2)設(shè)直線l與曲線G交于M,N兩點,點D在曲線G上,是坐標(biāo)原點,判斷四邊形OMDN的面積是否為定值?若為定值,求出該定值;如果不是,請說明理由.19.(12分)為提供市民的健身素質(zhì),某市把四個籃球館全部轉(zhuǎn)為免費民用(1)在一次全民健身活動中,四個籃球館的使用場數(shù)如圖,用分層抽樣的方法從四場館的使用場數(shù)中依次抽取共25場,在中隨機(jī)取兩數(shù),求這兩數(shù)和的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)設(shè)四個籃球館一個月內(nèi)各館使用次數(shù)之和為,其相應(yīng)維修費用為元,根據(jù)統(tǒng)計,得到如下表的數(shù)據(jù):x10152025303540y100001176113010139801477115440160202.993.494.054.504.995.495.99①用最小二乘法求與的回歸直線方程;②叫做籃球館月惠值,根據(jù)①的結(jié)論,試估計這四個籃球館月惠值最大時的值參考數(shù)據(jù)和公式:,20.(12分)如圖,直三棱柱中,分別是的中點,.(1)證明:平面;(2)求二面角的余弦值.21.(12分)已知如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=30°,∠ABC=90°,D為AC中點,AEBD于E,延長AE交BC于F,將△ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,如圖2所示。(Ⅰ)求證:AE平面BCD;(Ⅱ)求二面角A-DC-B的余弦值;(Ⅲ)求三棱錐B-AEF與四棱錐A-FEDC的體積的比(只需寫出結(jié)果,不要求過程).22.(10分)某單位準(zhǔn)備購買三臺設(shè)備,型號分別為已知這三臺設(shè)備均使用同一種易耗品,提供設(shè)備的商家規(guī)定:可以在購買設(shè)備的同時購買該易耗品,每件易耗品的價格為100元,也可以在設(shè)備使用過程中,隨時單獨購買易耗品,每件易耗品的價格為200元.為了決策在購買設(shè)備時應(yīng)購買的易耗品的件數(shù).該單位調(diào)查了這三種型號的設(shè)備各60臺,調(diào)査每臺設(shè)備在一個月中使用的易耗品的件數(shù),并得到統(tǒng)計表如下所示.每臺設(shè)備一個月中使用的易耗品的件數(shù)678型號A30300頻數(shù)型號B203010型號C04515將調(diào)查的每種型號的設(shè)備的頻率視為概率,各臺設(shè)備在易耗品的使用上相互獨立.(1)求該單位一個月中三臺設(shè)備使用的易耗品總數(shù)超過21件的概率;(2)以該單位一個月購買易耗品所需總費用的期望值為決策依據(jù),該單位在購買設(shè)備時應(yīng)同時購買20件還是21件易耗品?

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由題意可知“屯”卦符號“”表示二進(jìn)制數(shù)字010001,將其轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)即可.【詳解】由題意類推,可知六十四卦中的“屯”卦符號“”表示二進(jìn)制數(shù)字010001,轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的計算為1×20+1×24=1.故選:B.【點睛】本題主要考查數(shù)制是轉(zhuǎn)化,新定義知識的應(yīng)用等,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.2、D【解析】

因為雙曲線分左右支,所以,根據(jù)雙曲線和正三角形的對稱性可知:第一象限的頂點坐標(biāo)為,,將其代入雙曲線可解得.【詳解】因為雙曲線分左右支,所以,根據(jù)雙曲線和正三角形的對稱性可知:第一象限的頂點坐標(biāo)為,,將其代入雙曲線方程得:,即,由得.故選:.【點睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì),意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.3、A【解析】

設(shè)切點為,對求導(dǎo),得到,從而得到切線的斜率,結(jié)合直線方程的點斜式化簡得切線方程,聯(lián)立方程組,求得結(jié)果.【詳解】設(shè)切點為,∵,∴由①得,代入②得,則,,故選A.【點睛】該題考查的是有關(guān)直線與曲線相切求參數(shù)的問題,涉及到的知識點有導(dǎo)數(shù)的幾何意義,直線方程的點斜式,屬于簡單題目.4、A【解析】

求出集合M和集合N,,利用集合交集補(bǔ)集的定義進(jìn)行計算即可.【詳解】,,則,故選:A.【點睛】本題考查集合的交集和補(bǔ)集的運算,考查指數(shù)不等式和二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱可得為奇函數(shù),結(jié)合可得是周期為4的周期函數(shù),利用及可得所求的值.【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱,所以的圖象關(guān)于原點對稱,所以為上的奇函數(shù).由可得,故,故是周期為4的周期函數(shù).因為,所以.因為,故,所以.故選:C.【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性,一般地,如果上的函數(shù)滿足,那么是周期為的周期函數(shù),本題屬于中檔題.6、C【解析】從21開始,輸出的數(shù)是除以3余2,除以5余3,滿足條件的是23,故選C.7、D【解析】

由三視圖可知該幾何體的直觀圖是軸截面在水平面上的半個圓錐,表面積為,故選D.8、C【解析】

根據(jù)直線與圓相交,可求出k的取值范圍,根據(jù)幾何概型可求出相交的概率.【詳解】因為圓心,半徑,直線與圓相交,所以,解得所以相交的概率,故選C.【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系,幾何概型,屬于中檔題.9、B【解析】

由函數(shù)為奇函數(shù),則有,代入已知即可求得.【詳解】.故選:.【點睛】本題考查奇偶性在抽象函數(shù)中的應(yīng)用,考查學(xué)生分析問題的能力,難度較易.10、A【解析】

利用雙曲線:的焦點到漸近線的距離為,求出,的關(guān)系式,然后求解雙曲線的漸近線方程.【詳解】雙曲線:的焦點到漸近線的距離為,可得:,可得,,則的漸近線方程為.故選A.【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,構(gòu)建出的關(guān)系是解題的關(guān)鍵,考查計算能力,屬于中檔題.11、C【解析】試題分析:,.故C正確.考點:復(fù)合函數(shù)求值.12、D【解析】

由成等差數(shù)列得,利用等比數(shù)列的通項公式展開即可得到公比q的方程.【詳解】由題意,∴2aq2=aq+a,∴2q2=q+1,∴q=1或q=故選:D.【點睛】本題考查等差等比數(shù)列的綜合,利用等差數(shù)列的性質(zhì)建立方程求q是解題的關(guān)鍵,對于等比數(shù)列的通項公式也要熟練.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、3【解析】

雙曲線的焦點在軸上,漸近線為,結(jié)合漸近線方程為可求.【詳解】因為雙曲線(a>0)的漸近線為,且一條漸近線方程為,所以.故答案為:.【點睛】本題主要考查雙曲線的漸近線,明確雙曲線的焦點位置,寫出雙曲線的漸近線方程的對應(yīng)形式是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).14、.【解析】

先求圓的半徑,四邊形的最小面積,轉(zhuǎn)化為的最小值為,求出切線長的最小值,再求的距離也就是圓心到直線的距離,可解得的取值范圍,利用幾何概型即可求得概率.【詳解】由圓的方程得,所以圓心為,半徑為,四邊形的面積,若四邊形的最小面積,所以的最小值為,而,即的最小值,此時最小為圓心到直線的距離,此時,因為,所以,所以的概率為.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,及與長度有關(guān)的幾何概型,考查了學(xué)生分析問題的能力,難度一般.15、6【解析】由題得所以焦距,故第一個空填6.由題得漸近線方程為.故第二個空填.16、【解析】

根據(jù)可得,函數(shù)是以為周期的函數(shù),令,可求,從而可得,代入解析式即可求解.【詳解】令,則,由,則,所以,解得,所以,由時,,所以時,;由,所以,所以函數(shù)是以為周期的函數(shù),,又函數(shù)為奇函數(shù),所以.故答案為:【點睛】本題主要考查了換元法求函數(shù)解析式、函數(shù)的奇偶性、周期性的應(yīng)用,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2).【解析】

(1)取的中點,連接,通過證明,即可證得;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】(1)證明:取的中點,連接.是的中點,,又,四邊形是平行四邊形.,又平面平面,平面.(2),,同理可得:,又平面.連接,設(shè),則,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)平面的法向量為,則,則,取.直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】此題考查證明線面平行,求線面角的大小,關(guān)鍵在于熟練掌握線面平行的證明方法,法向量法求線面角的基本方法,根據(jù)公式準(zhǔn)確計算.18、(1).(2)四邊形OMDN的面積是定值,其定值為.【解析】

(1)根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)證得,由此判斷出點的軌跡為橢圓,并由此求得曲線的方程.(2)將直線的斜率分成不存在或存在兩種情況,求出平行四邊形的面積,兩種情況下四邊形的面積都為,由此證得四邊形的面積為定值.【詳解】(1)因為圓E為△ABC的內(nèi)切圓,所以|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|PA|+|QB|=2|CP|+|AR|+|BR|=2|CP|+|AB|=4>|AB|所以點C的軌跡為以點A和點B為焦點的橢圓(點不在軸上),所以c,a=2,b,所以曲線G的方程為,(2)因為,故四邊形為平行四邊形.當(dāng)直線l的斜率不存在時,則四邊形為為菱形,故直線MN的方程為x=﹣1或x=1,此時可求得四邊形OMDN的面積為.當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l方程是y=kx+m,代入到,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣4=0,∴x1+x2,x1x2,△=8(4k2+2﹣m2)>0,∴y1+y2=k(x1+x2)+2m,|MN|點O到直線MN的距離d,由,得xD,yD,∵點D在曲線C上,所以將D點坐標(biāo)代入橢圓方程得1+2k2=2m2,由題意四邊形OMDN為平行四邊形,∴OMDN的面積為S,由1+2k2=2m2得S,故四邊形OMDN的面積是定值,其定值為.【點睛】本小題主要考查用定義法求軌跡方程,考查橢圓中四邊形面積的計算,考查橢圓中的定值問題,考查運算求解能力,屬于中檔題.19、(1)見解析,12.5(2)①②20【解析】

(1)運用分層抽樣,結(jié)合總場次為100,可求得的值,再運用古典概型的概率計算公式可求解果;(2)①由公式可計算的值,進(jìn)而可求與的回歸直線方程;②求出,再對函數(shù)求導(dǎo),結(jié)合單調(diào)性,可估計這四個籃球館月惠值最大時的值.【詳解】解:(1)抽樣比為,所以分別是,6,7,8,5所以兩數(shù)之和所有可能取值是:10,12,13,15,,,所以分布列為期望為(2)因為所以,,;②,設(shè),所以當(dāng)遞增,當(dāng)遞減所以約惠值最大值時的值為20【點睛】本題考查直方圖的實際應(yīng)用,涉及求概率,平均數(shù)、擬合直線和導(dǎo)數(shù)等問題,關(guān)鍵是要讀懂題意,屬于中檔題.20、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)連接交于點,由三角形中位線定理得,由此能證明平面.(2)以為坐標(biāo)原點,的方向為軸正方向,的方向為軸正方向,的方向為軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.分別求出平面的法向量和平面的法向量,利用向量法能求出二面角的余弦值.【詳解】證明:證明:連接交于點,則為的中點.又是的中點,連接,則.因為平面,平面,所以平面.(2)由,可得:,即所以又因為直棱柱,所以以點為坐標(biāo)原點,分別以直線為軸、軸、軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,設(shè)平面的法向量為,則且,可解得,令,得平面的一個法向量為,同理可得平面的一個法向量為,則所以二面角的余弦值為.【點睛】本題主要考查直線與平面平行、二面角的概念、求法等知識,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.21、(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)1:5【解析】

(Ⅰ)由平面ABD⊥平面BCD,交線為BD,AE⊥BD于E,能證明AE⊥平面BCD;(Ⅱ)以E為坐標(biāo)原點,分別以EF、ED、EA所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz,利用向量法求出二面角A-DC-B的余弦值;(Ⅲ)利用體積公式分別求出三棱錐B-AEF與四棱錐A-FEDC的體積,再作比寫出答案即可.【詳解】(Ⅰ)證明:∵平面ABD⊥平面BCD,交線為BD,又在△ABD中,AE⊥BD于E,AE?平面ABD,∴AE⊥平面BCD.(Ⅱ)由(1)知AE⊥平面BCD,∴AE⊥EF,由題意知EF⊥BD,又AE⊥BD,如圖,以E為坐標(biāo)原點,分別以EF、ED、EA所在直線為x軸,y軸,z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz,設(shè)AB=BD=DC=AD=2,

則BE=ED=1,∴AE=,BC=2,BF=,則E(0,0,0),D(0,1,0),B(0,-1,0),A(0,0,),

F(,0,0),C(,2,0),,,由AE⊥平面BCD知平面BCD的一個法向量為

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